登录
2. [原创题]小明在解方程$x^{2}-5x=-3$的过程中出现了错误,其解答如下:
解:$\because a=1,b=-5,c=-3$, …………………………………………………………… 第①步
$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-3)=37$, ……………………………………………… 第②步
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{2}$, ………………………………………………………………………… 第③步
$\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{37}}{2},x_{2}=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$. ……………………………………………………… 第④步
(1) 问:小明的解答是从第
(2) 请写出本题正确的解答.
解:$\because a=1,b=-5,c=-3$, …………………………………………………………… 第①步
$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-3)=37$, ……………………………………………… 第②步
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{2}$, ………………………………………………………………………… 第③步
$\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{37}}{2},x_{2}=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$. ……………………………………………………… 第④步
(1) 问:小明的解答是从第
①
步开始出错的;(2) 请写出本题正确的解答.
答案
2. (1) ① (2) $x_{1}=\frac{5+\sqrt{13}}{2}, x_{2}=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$.
解析
【分析】
要解决这道题，需明确一元二次方程求根公式的应用前提：必须先将方程化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），再确定$a、b、c$的值，最后用求根公式计算。小明的错误在于未将原方程整理为一般形式就直接确定系数，导致$c$的值错误，进而后续计算出错。解题时第一步应先移项把方程化为标准形式，再正确确定系数，最后计算求解。
【解析】
(1) 原方程$x^2 -5x = -3$整理为一般形式是$x^2 -5x +3 =0$，此时$a=1$，$b=-5$，$c=3$，小明错误地取$c=-3$，因此从第①步开始出错。
(2) 正确解答：
移项得$x^2 -5x +3 =0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-5)^2 -4×1×3 =25 -12=13$，
代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{5±\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
(1) ①；(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的正确应用，核心是需先将方程化为标准形式再确定系数，避免符号错误，属于基础题型，重点考查学生对求根公式应用前提的掌握。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需明确一元二次方程求根公式的应用前提：必须先将方程化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），再确定$a、b、c$的值，最后用求根公式计算。小明的错误在于未将原方程整理为一般形式就直接确定系数，导致$c$的值错误，进而后续计算出错。解题时第一步应先移项把方程化为标准形式，再正确确定系数，最后计算求解。
【解析】
(1) 原方程$x^2 -5x = -3$整理为一般形式是$x^2 -5x +3 =0$，此时$a=1$，$b=-5$，$c=3$，小明错误地取$c=-3$，因此从第①步开始出错。
(2) 正确解答：
移项得$x^2 -5x +3 =0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-5)^2 -4×1×3 =25 -12=13$，
代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{5±\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
(1) ①；(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的正确应用，核心是需先将方程化为标准形式再确定系数，避免符号错误，属于基础题型，重点考查学生对求根公式应用前提的掌握。
【难度系数】
0.7
3. 已知关于$x$的方程$x^{2}+3mx+2m^{2}-1=0$($m$为常数).
(1) 求证:不论$m$为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程有一个根是-2,求$2\ 025-2m^{2}+6m$的值.
(1) 求证:不论$m$为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程有一个根是-2,求$2\ 025-2m^{2}+6m$的值.
答案
$\because a=1, b=3 m, c=2 m^{2}-1$,
$\therefore b^{2}-4 a c=(3 m)^{2}-4 × 1 ×(2 m^{2}-1)=m^{2}+4$.
$\because m^{2} ≥ 0, \therefore m^{2}+4＞0$.
$\therefore$ 不论 $m$ 为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2) 2028.
$\therefore b^{2}-4 a c=(3 m)^{2}-4 × 1 ×(2 m^{2}-1)=m^{2}+4$.
$\because m^{2} ≥ 0, \therefore m^{2}+4＞0$.
$\therefore$ 不论 $m$ 为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2) 2028.
解析
【分析】
本题分为两小问：第(1)问要证明方程总有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式，计算判别式并证明其恒大于0；第(2)问已知方程的一个根，将根代入方程得到关于m的等式，再通过整体代入法变形所求代数式，简化计算。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 -4ac$。
在方程$x^2+3mx+2m^2 -1=0$中，$a=1$，$b=3m$，$c=2m^2 -1$，
则$\Delta = (3m)^2 -4×1×(2m^2 -1) = 9m^2 -8m^2 +4 = m^2 +4$。
因为任何数的平方都非负，即$m^2≥0$，所以$m^2 +4＞0$，
因此不论$m$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 因为$x=-2$是方程的根，将$x=-2$代入方程得：
$(-2)^2 +3m×(-2) +2m^2 -1 =0$，
计算得：$4 -6m +2m^2 -1 =0$，整理得$2m^2 -6m = -3$。
对所求代数式$2025 -2m^2 +6m$变形：
$2025 -2m^2 +6m =2025 - (2m^2 -6m)$，
将$2m^2 -6m=-3$代入上式：
原式$=2025 - (-3)=2028$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $2028$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式求值（整体代入）
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用和代数式的整体代入求值，解题关键是掌握根的判别式的计算方法，以及利用整体思想简化计算，避免复杂的求根过程，属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问：第(1)问要证明方程总有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式，计算判别式并证明其恒大于0；第(2)问已知方程的一个根，将根代入方程得到关于m的等式，再通过整体代入法变形所求代数式，简化计算。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 -4ac$。
在方程$x^2+3mx+2m^2 -1=0$中，$a=1$，$b=3m$，$c=2m^2 -1$，
则$\Delta = (3m)^2 -4×1×(2m^2 -1) = 9m^2 -8m^2 +4 = m^2 +4$。
因为任何数的平方都非负，即$m^2≥0$，所以$m^2 +4＞0$，
因此不论$m$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 因为$x=-2$是方程的根，将$x=-2$代入方程得：
$(-2)^2 +3m×(-2) +2m^2 -1 =0$，
计算得：$4 -6m +2m^2 -1 =0$，整理得$2m^2 -6m = -3$。
对所求代数式$2025 -2m^2 +6m$变形：
$2025 -2m^2 +6m =2025 - (2m^2 -6m)$，
将$2m^2 -6m=-3$代入上式：
原式$=2025 - (-3)=2028$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $2028$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式求值（整体代入）
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用和代数式的整体代入求值，解题关键是掌握根的判别式的计算方法，以及利用整体思想简化计算，避免复杂的求根过程，属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
4. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2k+1)x+k^{2}+1=0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$.
(1) 求$k$的取值范围;
(2) 若$x_{1}x_{2}=10$,求$k$的值.
(1) 求$k$的取值范围;
(2) 若$x_{1}x_{2}=10$,求$k$的值.
答案
(1) $k＞\frac{3}{4}$ (2) $k=3$
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步分析：
1. 第一问：一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ＞0，代入方程系数计算并解不等式，得到k的取值范围；
2. 第二问：已知两根之积，利用韦达定理（根与系数的关系）列出关于k的方程，解方程后结合第一问的k的取值范围，舍去不符合条件的解，得到最终k的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
在方程$x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$中，$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2+1$，代入判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(2k+1)^2 - 4×1×(k^2+1)\\&=4k^2 +4k +1 -4k^2 -4\\&=4k -3\end{aligned}$
令$\Delta＞0$，即$4k -3＞0$，解得$k＞\frac{3}{4}$。
(2) 根据韦达定理，一元二次方程两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，所以：
$x_1x_2 = k^2 +1$
已知$x_1x_2=10$，则：
$k^2 +1=10$
解得$k^2=9$，即$k=3$或$k=-3$。
结合第一问中$k＞\frac{3}{4}$，舍去$k=-3$，故$k=3$。
【答案】
(1) $k＞\frac{3}{4}$；(2) $k=3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，是初中数学基础题型，解题时需注意：利用判别式时确认方程为一元二次方程，解出k后需结合第一问的取值范围舍去不符合的解，避免出错。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分两步分析：
1. 第一问：一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ＞0，代入方程系数计算并解不等式，得到k的取值范围；
2. 第二问：已知两根之积，利用韦达定理（根与系数的关系）列出关于k的方程，解方程后结合第一问的k的取值范围，舍去不符合条件的解，得到最终k的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
在方程$x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$中，$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2+1$，代入判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(2k+1)^2 - 4×1×(k^2+1)\\&=4k^2 +4k +1 -4k^2 -4\\&=4k -3\end{aligned}$
令$\Delta＞0$，即$4k -3＞0$，解得$k＞\frac{3}{4}$。
(2) 根据韦达定理，一元二次方程两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，所以：
$x_1x_2 = k^2 +1$
已知$x_1x_2=10$，则：
$k^2 +1=10$
解得$k^2=9$，即$k=3$或$k=-3$。
结合第一问中$k＞\frac{3}{4}$，舍去$k=-3$，故$k=3$。
【答案】
(1) $k＞\frac{3}{4}$；(2) $k=3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，是初中数学基础题型，解题时需注意：利用判别式时确认方程为一元二次方程，解出k后需结合第一问的取值范围舍去不符合的解，避免出错。
【难度系数】
0.6
5. 对实数$a,b$定义运算$*$如下:
当$a≤ b$时,$a*b=ab$;当$a＞b$时,$a*b=a^{2}-ab+b^{2}$.
若$3*x=10$,求$[x^{3}-6x]$的值($[x]$表示不超过$x$的最大整数).
当$a≤ b$时,$a*b=ab$;当$a＞b$时,$a*b=a^{2}-ab+b^{2}$.
若$3*x=10$,求$[x^{3}-6x]$的值($[x]$表示不超过$x$的最大整数).
答案
5. 17 或 1.
解析
【分析】
本题定义了分情况的新运算*，需先根据3与x的大小关系分两种情况讨论，分别代入对应运算式得到方程，解出符合条件的x值；再对每个x值计算表达式$x^3 -6x$，最后根据取整函数$[x]$（不超过x的最大整数）的定义求出结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$x≥3$时，根据新运算定义，$3*x=3x$，由$3x=10$，解得$x=\frac{10}{3}\approx3.333$，满足$x≥3$，保留该解。
2. 当$x＜3$时，根据新运算定义，$3*x=3^2 -3x +x^2=x^2 -3x +9$，由$x^2 -3x +9=10$，整理得$x^2 -3x -1=0$，解得$x=\frac{3±\sqrt{13}}{2}$。
$x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.3027＞3$，不符合$x＜3$，舍去；
$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx-0.3027＜3$，保留该解。
接下来计算$[x^3 -6x]$：
对$x=\frac{10}{3}$：$x^3 -6x=(\frac{10}{3})^3 -6×\frac{10}{3}=\frac{1000}{27}-20=\frac{460}{27}\approx17.037$，故$[\frac{460}{27}]=17$；
对$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$：由$x^2 -3x -1=0$得$x^2=3x+1$，则$x^3=x·x^2=x(3x+1)=3x^2 +x=3(3x+1)+x=10x+3$，故$x^3 -6x=10x+3 -6x=4x+3$，代入$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$得：$4×\frac{3-\sqrt{13}}{2}+3=9-2\sqrt{13}\approx1.789$，故$[1.789]=1$。
综上，所求值为17或1。
【答案】
17或1
【知识点】
新定义运算、一元二次方程求解、取整函数
【点评】
本题结合新定义运算、方程求解与取整函数，核心是分情况讨论新运算的适用条件，解出x后需验证解的合理性，再通过代数简化或直接计算得到表达式的值，最后利用取整函数定义得出结果，考查学生的分类讨论能力与运算能力。
【难度系数】
0.4
本题定义了分情况的新运算*，需先根据3与x的大小关系分两种情况讨论，分别代入对应运算式得到方程，解出符合条件的x值；再对每个x值计算表达式$x^3 -6x$，最后根据取整函数$[x]$（不超过x的最大整数）的定义求出结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$x≥3$时，根据新运算定义，$3*x=3x$，由$3x=10$，解得$x=\frac{10}{3}\approx3.333$，满足$x≥3$，保留该解。
2. 当$x＜3$时，根据新运算定义，$3*x=3^2 -3x +x^2=x^2 -3x +9$，由$x^2 -3x +9=10$，整理得$x^2 -3x -1=0$，解得$x=\frac{3±\sqrt{13}}{2}$。
$x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.3027＞3$，不符合$x＜3$，舍去；
$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx-0.3027＜3$，保留该解。
接下来计算$[x^3 -6x]$：
对$x=\frac{10}{3}$：$x^3 -6x=(\frac{10}{3})^3 -6×\frac{10}{3}=\frac{1000}{27}-20=\frac{460}{27}\approx17.037$，故$[\frac{460}{27}]=17$；
对$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$：由$x^2 -3x -1=0$得$x^2=3x+1$，则$x^3=x·x^2=x(3x+1)=3x^2 +x=3(3x+1)+x=10x+3$，故$x^3 -6x=10x+3 -6x=4x+3$，代入$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$得：$4×\frac{3-\sqrt{13}}{2}+3=9-2\sqrt{13}\approx1.789$，故$[1.789]=1$。
综上，所求值为17或1。
【答案】
17或1
【知识点】
新定义运算、一元二次方程求解、取整函数
【点评】
本题结合新定义运算、方程求解与取整函数，核心是分情况讨论新运算的适用条件，解出x后需验证解的合理性，再通过代数简化或直接计算得到表达式的值，最后利用取整函数定义得出结果，考查学生的分类讨论能力与运算能力。
【难度系数】
0.4
