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8.古代有一种计时器称为“漏刻”,其计时原理是通过漏壶或箭壶中水量的均匀变化来度量时间。图7甲所示为我国国家博物馆收藏的西汉时期的计时工具青铜漏壶。图7乙所示为某同学设计的计时工具箭壶模型,该模型由薄壁圆柱形玻璃容器、长方体木块(不吸水)和标有刻度的箭尺构成,箭尺受到的重力忽略不计,它的底部与木块相连,向容器内均匀注水,可使箭尺和木块随水面匀速竖直上升,从而计时。已知容器高为50 cm,底面积为700 cm²;木块重1.5 N,高为5 cm。初始状态下,容器内有部分水,刚好使木块在浮力作用下与容器底部脱离接触,此时水深为3 cm。工作状态下,当木块上升至上表面刚好与容器上沿相平时,一个计时周期结束(g取$10 N/kg, \rho_{水}=1.0×10^3 kg/m³,$不计容器底和容器壁的厚度)。求:
(1)初始状态下木块受到的浮力。
(2)木块的密度。
(3)计时周期结束时,木块底部受到水的压强和容器内水的质量。
(1)初始状态下木块受到的浮力。
(2)木块的密度。
(3)计时周期结束时,木块底部受到水的压强和容器内水的质量。
答案
8.(1)1.5N (2)$0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ (3)300 Pa 33.45 kg
解析
【分析】
本题需结合漂浮条件、阿基米德原理、密度公式和液体压强公式逐步求解：
(1) 初始状态木块刚好脱离容器底部，处于漂浮，浮力等于重力，直接利用漂浮条件求浮力；
(2) 求木块密度需先算质量（由重力公式）和体积，体积需先通过初始浮力算出排开体积，结合浸入深度得木块底面积，进而得体积，再用密度公式计算；
(3) 计时结束时，木块上表面与容器上沿齐平，先确定水的深度，木块底部到水面的深度为浸入深度，用液体压强公式算压强；容器内水的体积为容器内总容积（到水面）减去排开体积，再算水的质量。
【解析】
(1) 初始状态下，木块与容器底部脱离接触，处于漂浮状态，根据漂浮条件，木块受到的浮力等于自身重力：
$F_{\mathrm{浮}} = G_{\mathrm{木}} = 1.5\ \mathrm{N}$。
(2) 由重力公式$G=mg$得，木块的质量：
$m_{\mathrm{木}} = \frac{G_{\mathrm{木}}}{g} = \frac{1.5\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 0.15\ \mathrm{kg}$。
初始时，木块排开水的体积：
$V_{\mathrm{排}} = \frac{F_{\mathrm{浮}}}{\rho_{\mathrm{水}}g} = \frac{1.5\ \mathrm{N}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg}} = 1.5 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 150\ \mathrm{cm}^3$。
初始时木块浸入水中的深度$h_{\mathrm{浸}}=3\ \mathrm{cm}$，由$V_{\mathrm{排}} = S_{\mathrm{木}}h_{\mathrm{浸}}$得木块底面积：
$S_{\mathrm{木}} = \frac{V_{\mathrm{排}}}{h_{\mathrm{浸}}} = \frac{150\ \mathrm{cm}^3}{3\ \mathrm{cm}} = 50\ \mathrm{cm}^2$。
木块的体积：
$V_{\mathrm{木}} = S_{\mathrm{木}}h_{\mathrm{木}} = 50\ \mathrm{cm}^2 × 5\ \mathrm{cm} = 250\ \mathrm{cm}^3 = 2.5 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$。
木块的密度：
$\rho_{\mathrm{木}} = \frac{m_{\mathrm{木}}}{V_{\mathrm{木}}} = \frac{0.15\ \mathrm{kg}}{2.5 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 0.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 计时周期结束时，木块上表面与容器上沿相平，容器高$50\ \mathrm{cm}$，木块高$5\ \mathrm{cm}$，故木块底部高度为$50\ \mathrm{cm} -5\ \mathrm{cm}=45\ \mathrm{cm}$。
木块始终漂浮，浮力不变，排开水的体积不变，故浸入水中的深度仍为$h_{\mathrm{浸}}=3\ \mathrm{cm}$，因此木块底部到水面的深度$h=3\ \mathrm{cm}=0.03\ \mathrm{m}$。
木块底部受到水的压强：
$p = \rho_{\mathrm{水}}gh = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} × 0.03\ \mathrm{m} = 300\ \mathrm{Pa}$。
容器内水的体积等于容器内总容积（到水面）减去木块排开水的体积：
$V_{\mathrm{水}} = S_{\mathrm{容}}H - V_{\mathrm{排}} = 700\ \mathrm{cm}^2 × 48\ \mathrm{cm} - 150\ \mathrm{cm}^3 = 33600\ \mathrm{cm}^3 - 150\ \mathrm{cm}^3 = 33450\ \mathrm{cm}^3 = 3.345 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^3$。
容器内水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}} = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 3.345 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^3 = 33.45\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1)1.5N (2)$0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ (3)300 Pa 33.45 kg
【知识点】
浮力、密度、液体压强
【点评】
本题结合古代计时工具的实际场景，考查了漂浮条件、阿基米德原理、密度公式和液体压强的综合应用，需要理清木块的受力、体积与深度的关系，对学生的综合分析能力有一定要求，属于中等难度的力学综合题。
【难度系数】
0.5
本题需结合漂浮条件、阿基米德原理、密度公式和液体压强公式逐步求解：
(1) 初始状态木块刚好脱离容器底部，处于漂浮，浮力等于重力，直接利用漂浮条件求浮力；
(2) 求木块密度需先算质量（由重力公式）和体积，体积需先通过初始浮力算出排开体积，结合浸入深度得木块底面积，进而得体积，再用密度公式计算；
(3) 计时结束时，木块上表面与容器上沿齐平，先确定水的深度，木块底部到水面的深度为浸入深度，用液体压强公式算压强；容器内水的体积为容器内总容积（到水面）减去排开体积，再算水的质量。
【解析】
(1) 初始状态下，木块与容器底部脱离接触，处于漂浮状态，根据漂浮条件，木块受到的浮力等于自身重力：
$F_{\mathrm{浮}} = G_{\mathrm{木}} = 1.5\ \mathrm{N}$。
(2) 由重力公式$G=mg$得，木块的质量：
$m_{\mathrm{木}} = \frac{G_{\mathrm{木}}}{g} = \frac{1.5\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 0.15\ \mathrm{kg}$。
初始时，木块排开水的体积：
$V_{\mathrm{排}} = \frac{F_{\mathrm{浮}}}{\rho_{\mathrm{水}}g} = \frac{1.5\ \mathrm{N}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg}} = 1.5 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 150\ \mathrm{cm}^3$。
初始时木块浸入水中的深度$h_{\mathrm{浸}}=3\ \mathrm{cm}$，由$V_{\mathrm{排}} = S_{\mathrm{木}}h_{\mathrm{浸}}$得木块底面积：
$S_{\mathrm{木}} = \frac{V_{\mathrm{排}}}{h_{\mathrm{浸}}} = \frac{150\ \mathrm{cm}^3}{3\ \mathrm{cm}} = 50\ \mathrm{cm}^2$。
木块的体积：
$V_{\mathrm{木}} = S_{\mathrm{木}}h_{\mathrm{木}} = 50\ \mathrm{cm}^2 × 5\ \mathrm{cm} = 250\ \mathrm{cm}^3 = 2.5 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$。
木块的密度：
$\rho_{\mathrm{木}} = \frac{m_{\mathrm{木}}}{V_{\mathrm{木}}} = \frac{0.15\ \mathrm{kg}}{2.5 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 0.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 计时周期结束时，木块上表面与容器上沿相平，容器高$50\ \mathrm{cm}$，木块高$5\ \mathrm{cm}$，故木块底部高度为$50\ \mathrm{cm} -5\ \mathrm{cm}=45\ \mathrm{cm}$。
木块始终漂浮，浮力不变，排开水的体积不变，故浸入水中的深度仍为$h_{\mathrm{浸}}=3\ \mathrm{cm}$，因此木块底部到水面的深度$h=3\ \mathrm{cm}=0.03\ \mathrm{m}$。
木块底部受到水的压强：
$p = \rho_{\mathrm{水}}gh = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} × 0.03\ \mathrm{m} = 300\ \mathrm{Pa}$。
容器内水的体积等于容器内总容积（到水面）减去木块排开水的体积：
$V_{\mathrm{水}} = S_{\mathrm{容}}H - V_{\mathrm{排}} = 700\ \mathrm{cm}^2 × 48\ \mathrm{cm} - 150\ \mathrm{cm}^3 = 33600\ \mathrm{cm}^3 - 150\ \mathrm{cm}^3 = 33450\ \mathrm{cm}^3 = 3.345 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^3$。
容器内水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}} = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 3.345 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^3 = 33.45\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1)1.5N (2)$0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ (3)300 Pa 33.45 kg
【知识点】
浮力、密度、液体压强
【点评】
本题结合古代计时工具的实际场景，考查了漂浮条件、阿基米德原理、密度公式和液体压强的综合应用，需要理清木块的受力、体积与深度的关系，对学生的综合分析能力有一定要求，属于中等难度的力学综合题。
【难度系数】
0.5
