1.(多选)给定的四个函数是奇函数的有()

A.$f(x)=x^3$
B.$f(x)=\frac{2}{x}$
C.$f(x)=x^2+1$
D.$f(x)=|x|-1$

AB 因为$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$,且定义域为$\mathbb{R}$,所以$f(x)=x^3$是奇函数,故A正确;因为$f(-x)=\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}=-f(x)$,且定义域为$\{x ∣ x ≠ 0\}$,所以$f(x)=\frac{2}{x}$是奇函数,故B正确;因为$f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)$,显然$f(x)=x^2+1$不是奇函数,故C错误;因为$f(-x)=|-x|-1=|x|-1=f(x)$,显然$f(x)=|x|-1$不是奇函数,故D错误.

2.若奇函数$f(x)$的定义域为$[-5,5]$，当$x\in[-5,0]$时，函数$f(x)$的图象如图所示，则不等式$f(x)＞0$的解集为（）

A.$(-5,-2)$
B.$(0,2)$
C.$(-5,-2)\cup(0,2)$
D.$(-2,0)\cup(2,5)$

C 因为函数$f(x)$是奇函数,所以$f(x)$在$[-5,5]$上的图象关于原点对称.由$f(x)$在$x \in [-5,0]$上的图象,知$f(x)$在$x \in [0,5]$上的图象如图所示,则不等式$f(x)＞0$的解集为$(-5,-2)\cup(0,2)$.

3.(多选)已知$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，当$x＞0$时，$f(x)=x^2+x+5$，则（）

A.$f(0)=0$
B.函数$g(x)=xf(x)$为奇函数
C.$f(-1)=-7$
D.当$x＜0$时，$f(x)=-x^2+x-5$

ACD 因为$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数,所以$f(0)=0$,故A正确;由$g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)$,得$g(x)$为偶函数,(也可根据"奇·奇=偶"快速判断)故B错误;$f(-1)=-f(1)=-7$,故C正确;当$x＜0$时,$-x＞0$,$f(x)=-f(-x)=-x^2+x-5$,故D正确.

4.(一题多解)设函数$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数,在区间$[-1,0)$上单调递增,且$f(x+2)=-f(x)$,则（）

A.$f(\dfrac{1}{3})＜f(\dfrac{3}{2})＜f(1)$
B.$f(\dfrac{3}{2})＜f(\dfrac{1}{3})＜f(1)$
C.$f(1)＜f(\dfrac{1}{3})＜f(\dfrac{3}{2})$
D.$f(\dfrac{3}{2})＜f(1)＜f(\dfrac{1}{3})$

A 方法1:因为$f(x)$为奇函数,且在区间$[-1,0)$上单调递增,所以$f(x)$在区间$(0,1]$上单调递增.
又因为$f(x+2)=-f(x)$,所以$f(\frac{3}{2})=f(-\frac{1}{2}+2)=-f(-\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})$.由$\frac{1}{3}＜\frac{1}{2}＜1$,得$f(\frac{1}{3})＜f(\frac{1}{2})＜f(1)$,即$f(\frac{1}{3})＜f(\frac{3}{2})＜f(1)$.
方法2:因为$f(x)$为奇函数,所以$f(-x)=-f(x)$,
所以$f(\frac{1}{3})=-f(-\frac{1}{3})$,$f(1)=-f(-1)$.
因为$f(x+2)=-f(x)$,
所以$f(\frac{3}{2})=f(-\frac{1}{2}+2)=-f(-\frac{1}{2})$.
因为$-1＜-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{3}＜0$,且函数在区间$[-1,0)$上单调递增,所以$f(-1)＜f(-\frac{1}{2})＜f(-\frac{1}{3})$,所以$-f(-1)＞-f(-\frac{1}{2})＞-f(-\frac{1}{3})$,即$f(1)＞f(\frac{3}{2})＞f(\frac{1}{3})$.

5.函数$f(x)$是定义在$[-1,2a+1]$上的偶函数，则实数$a$的值为。

0 因为$f(x)$是定义在$[-1,2a+1]$上的偶函数,(定义域关于原点对称)所以$-1+2a+1=0$,解得$a=0$.

6.已知函数$f(x)$和$g(x)$的定义域均为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$，且奇函数$f(x)$和偶函数$g(x)$满足$f(x)+g(x)=2x^2+x-\frac{1}{x}$，则$\frac{f(-2)}{g(2)}=$。

$-\frac{3}{16}$ 因为$f(x)+g(x)=2x^2+x-\frac{1}{x}$,①
所以$f(-x)+g(-x)=2x^2-x+\frac{1}{x}$.
又因为函数$f(x)$为奇函数,$g(x)$为偶函数,
所以$-f(x)+g(x)=2x^2-x+\frac{1}{x}$.②
联立①②,得$g(x)=2x^2$,$f(x)=x-\frac{1}{x}$,
所以$g(2)=8$,$f(-2)=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$,
所以$\frac{f(-2)}{g(2)}=-\frac{3}{16}$.

7.已知$f(x)$是偶函数，且在$[0,+∞)$上单调递增.若$f(-2)=1$，则不等式$f(x-1)＜1$的解集为.

$(-1,3)$ 因为$f(x)$是偶函数,所以$f(2)=f(-2)=1$,
所以$f(x-1)＜f(2)$.又因为$f(x)$在$[0,+∞)$上单调递增,所以$|x-1|＜2$,(除利用结论外,也可利用图象)得出$-2＜x-1＜2$
解得$-1＜x＜3$.故原不等式的解集为$(-1,3)$.

8.已知函数$f(x)$和$g(x)$都是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，$F(x)=af(x)+bg(x)+2$.若$F(-2)=5$，则$F(2)=$（）

A.1
B.$-1$
C.$-5$
D.5

B 因为函数$f(x)$和$g(x)$都是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数,所以$f(-2)=-f(2)$,$g(-2)=-g(2)$.因为$F(-2)=af(-2)+bg(-2)+2=-[af(2)+bg(2)]+2=5$,所以$af(2)+bg(2)=-3$,$F(2)=af(2)+bg(2)+2=-3+2=-1$.

9.(多选)已知狄利克雷函数$D(x)=\begin{cases}1, x\in\mathbf{Q}, \\0, x\in \complement_{\mathbf{R}}\mathbf{Q},\end{cases}$则下列选项正确的有（ ）

A.$D(\sqrt{2025})=0$
B.$D(D(x))=1$
C.$D(x)$是偶函数
D.对$∀ a\in\mathbf{Q}$,都有$D(x+a)=D(x)$

BCD 由于$\sqrt{2025}=45 \in \mathbf{Q}$,故$D(\sqrt{2025})=1$,故A错误.
对$∀ x \in \mathbb{R}$,有$D(x)=0$或$D(x)=1$,故$D(x) \in \mathbf{Q}$,因此$D(D(x))=1$,故B正确.
当$x \in \mathbf{Q}$,则$-x \in \mathbf{Q}$,故$D(x)=1$,$D(-x)=1$,满足$D(-x)=D(x)$,
当$x \in \complement_{\mathbb{R}}\mathbf{Q}$,则$-x \in \complement_{\mathbb{R}}\mathbf{Q}$,此时$D(x)=0$,$D(-x)=0$,满足$D(-x)=D(x)$,
故对$∀ x \in \mathbb{R}$,都有$D(-x)=D(x)$,故$D(x)$是偶函数,故C正确.
当$x \in \mathbf{Q}$,则$x+a \in \mathbf{Q}$,故$D(x)=1$,$D(x+a)=1$,满足$D(x+a)=D(x)$,
当$x \in \complement_{\mathbb{R}}\mathbf{Q}$,则$x+a \in \complement_{\mathbb{R}}\mathbf{Q}$,故$D(x)=0$,$D(x+a)=0$,满足$D(x+a)=D(x)$,
故对$∀ a \in \mathbf{Q}$,都有$D(x+a)=D(x)$,故D正确.

10.(全国甲卷改编)已知$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数,对于任意的正实数$x$都有$f(1+x)=\dfrac{-2}{f(x)}$,已知$f(-1)=4$,则$f(6)$的值为.

$\frac{1}{2}$ 因为$f(x)$是奇函数,所以$f(-x)=-f(x)$,
所以$f(-1)=-f(1)=4$,即$f(1)=-4$.
又$f(1+x)=\frac{-2}{f(x)}$,
所以$f(x+2)=\frac{-2}{f(x+1)}=\frac{-2}{\frac{-2}{f(x)}}=f(x)$,
所以$f(6)=f(4)=f(2)=\frac{-2}{f(1)}=\frac{1}{2}$.

11.已知函数$f(x)=x+\frac{a}{x}$，且$f(2)=0$.
(1)求实数$a$的值，判断函数$f(x)$在$(0,+∞)$上的单调性，并用定义证明；
(2)利用函数的单调性与奇偶性，解关于$t$的不等式$f(t^2+3)+f(-2t^2+t-1)＞0$.
答案 P28

(1)由题意,知$f(2)=2+\frac{a}{2}=0$,则$a=-4$,
所以$f(x)=x-\frac{4}{x}$.
函数$f(x)$在$(0,+∞)$上单调递增.证明如下:
对$∀ x_1,x_2 \in (0,+∞)$,且$x_1＜x_2$,
则$f(x_1)-f(x_2)=x_1-\frac{4}{x_1}-(x_2-\frac{4}{x_2})=x_1-x_2-(\frac{4}{x_1}-\frac{4}{x_2})=x_1-x_2-\frac{4(x_2-x_1)}{x_1x_2}=(x_1-x_2)(1+\frac{4}{x_1x_2})$.
因为$0＜x_1＜x_2$,所以$x_1-x_2＜0$,$1+\frac{4}{x_1x_2}＞0$,
所以$f(x_1)-f(x_2)＜0$,即$f(x_1)＜f(x_2)$,所以函数$f(x)$在$(0,+∞)$上单调递增.
(2)由(1),知$f(x)=x-\frac{4}{x}$,
其定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$,且关于原点对称.
又$∀ x \in (-∞,0)\cup(0,+∞)$,都有$-x \in (-∞,0)\cup(0,+∞)$,且$f(-x)=-x+\frac{4}{x}=-f(x)$,所以$f(x)$为奇函数.
由$f(t^2+3)+f(-2t^2+t-1)＞0$,
得$f(t^2+3)＞-f(-2t^2+t-1)$,
即$f(t^2+3)＞f(2t^2-t+1)$.
因为$t^2+3＞0$,$2t^2-t+1=2(t-\frac{1}{4})^2+\frac{7}{8}＞0$,且由(1),知$f(x)$在$(0,+∞)$上单调递增,所以$t^2+3＞2t^2-t+1$,解得$-1＜t＜2$,所以原不等式的解集为$(-1,2)$.