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例 根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力 $ y $ 与提出概念所用的时间 $ x $（分钟）之间有如下关系（其中 $ 0 ≤ x ≤ 30 $）：
| 提出概念所用时间 $ x $/分钟 | $ 2 $ | $ 5 $ | $ 7 $ | $ 10 $ | $ 12 $ | $ 13 $ | $ 14 $ | $ 17 $ | $ 20 $ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 对概念的接受能力 $ y $ | $ 47.8 $ | $ 53.5 $ | $ 56.3 $ | $ 59 $ | $ 59.8 $ | $ 59.9 $ | $ 59.8 $ | $ 58.3 $ | $ 55 $ |
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？
| 提出概念所用时间 $ x $/分钟 | $ 2 $ | $ 5 $ | $ 7 $ | $ 10 $ | $ 12 $ | $ 13 $ | $ 14 $ | $ 17 $ | $ 20 $ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 对概念的接受能力 $ y $ | $ 47.8 $ | $ 53.5 $ | $ 56.3 $ | $ 59 $ | $ 59.8 $ | $ 59.9 $ | $ 59.8 $ | $ 58.3 $ | $ 55 $ |
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？
答案
（1）上表反映了提出概念所用时间 $x$ 与学生对概念的接受能力 $y$ 之间的关系；
提出概念所用时间 $x$ 是自变量，学生对概念的接受能力 $y$ 是因变量。
（2）当 $x = 13$ 时，$y$ 达到最大值 $59.9$，因此提出概念所用时间为 $13$ 分钟时，学生的接受能力最强。
（3）当 $0 ＜ x ＜ 13$ 时，学生的接受能力逐渐增强；
当 $13 ＜ x ≤ 30（或题目给定范围20及之后）$（根据题目数据至 $x = 20$） 时，学生的接受能力逐渐减弱。
提出概念所用时间 $x$ 是自变量，学生对概念的接受能力 $y$ 是因变量。
（2）当 $x = 13$ 时，$y$ 达到最大值 $59.9$，因此提出概念所用时间为 $13$ 分钟时，学生的接受能力最强。
（3）当 $0 ＜ x ＜ 13$ 时，学生的接受能力逐渐增强；
当 $13 ＜ x ≤ 30（或题目给定范围20及之后）$（根据题目数据至 $x = 20$） 时，学生的接受能力逐渐减弱。
解析
【分析】
这道题是变量关系的基础应用题，解题思路可以对应三个小问逐步推进：第一问先观察表格的两列标题，直接定位到对应的两个变量，再结合自变量、因变量的定义区分二者：主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而同步改变的量是因变量。第二问只需要遍历表格里所有y的取值，找到y的最大值对应的x数值，就能得到接受能力最强的时间。第三问顺着x从小到大的顺序观察y的数值变化趋势：x增大时y同步上升的区间就是接受能力逐渐增强的时间段，x增大时y逐步下降的区间就是接受能力逐渐减弱的时间段，结合题目给出的x取值范围就能得到最终结果。
【解析】
（1）观察表格的两组对应数据，可知表格呈现的是提出概念所用时间x和学生对概念的接受能力y的对应关系；其中提出概念所用时间x是可以主动调整变化的量，属于自变量，学生对概念的接受能力y会随着x的变化而发生改变，属于因变量。
（2）对比表格中所有y的取值：47.8、53.5、56.3、59、59.8、59.9、59.8、58.3、55，其中最大值为59.9，对应的x取值为13，因此提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强。
（3）观察y随x的变化趋势：当x从2逐步增加到13的过程中，y的数值持续上升，结合题目给定的x范围0≤x≤30，可知在0＜x＜13的区间内，学生的接受能力逐渐增强；当x从13继续增大到20的过程中，y的数值持续下降，因此在13＜x≤30（结合题目给出的统计数据到x=20）的区间内，学生的接受能力逐渐减弱。
【答案】
（1）上表反映了提出概念所用时间 $x$ 与学生对概念的接受能力 $y$ 之间的关系； 提出概念所用时间 $x$ 是自变量，学生对概念的接受能力 $y$ 是因变量。
（2）当 $x = 13$ 时，$y$ 达到最大值 $59.9$，因此提出概念所用时间为 $13$ 分钟时，学生的接受能力最强。
（3）当 $0 ＜ x ＜ 13$ 时，学生的接受能力逐渐增强； 当 $13 ＜ x ≤ 30$（根据题目数据至 $x = 20$） 时，学生的接受能力逐渐减弱。
【知识点】
自变量与因变量，表格表示变量关系，变量增减趋势
【点评】
本题属于变量关系章节的入门基础题，结合实际教学场景设置问题，不需要复杂计算，重点考察学生对基础变量概念的理解能力，以及从表格数据中提取信息、分析变化趋势的能力，难度较低，注意第三问的区间端点不要混淆，结合题目给定的定义域判断增减区间即可。
【难度系数】
0.9
这道题是变量关系的基础应用题，解题思路可以对应三个小问逐步推进：第一问先观察表格的两列标题，直接定位到对应的两个变量，再结合自变量、因变量的定义区分二者：主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而同步改变的量是因变量。第二问只需要遍历表格里所有y的取值，找到y的最大值对应的x数值，就能得到接受能力最强的时间。第三问顺着x从小到大的顺序观察y的数值变化趋势：x增大时y同步上升的区间就是接受能力逐渐增强的时间段，x增大时y逐步下降的区间就是接受能力逐渐减弱的时间段，结合题目给出的x取值范围就能得到最终结果。
【解析】
（1）观察表格的两组对应数据，可知表格呈现的是提出概念所用时间x和学生对概念的接受能力y的对应关系；其中提出概念所用时间x是可以主动调整变化的量，属于自变量，学生对概念的接受能力y会随着x的变化而发生改变，属于因变量。
（2）对比表格中所有y的取值：47.8、53.5、56.3、59、59.8、59.9、59.8、58.3、55，其中最大值为59.9，对应的x取值为13，因此提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强。
（3）观察y随x的变化趋势：当x从2逐步增加到13的过程中，y的数值持续上升，结合题目给定的x范围0≤x≤30，可知在0＜x＜13的区间内，学生的接受能力逐渐增强；当x从13继续增大到20的过程中，y的数值持续下降，因此在13＜x≤30（结合题目给出的统计数据到x=20）的区间内，学生的接受能力逐渐减弱。
【答案】
（1）上表反映了提出概念所用时间 $x$ 与学生对概念的接受能力 $y$ 之间的关系； 提出概念所用时间 $x$ 是自变量，学生对概念的接受能力 $y$ 是因变量。
（2）当 $x = 13$ 时，$y$ 达到最大值 $59.9$，因此提出概念所用时间为 $13$ 分钟时，学生的接受能力最强。
（3）当 $0 ＜ x ＜ 13$ 时，学生的接受能力逐渐增强； 当 $13 ＜ x ≤ 30$（根据题目数据至 $x = 20$） 时，学生的接受能力逐渐减弱。
【知识点】
自变量与因变量，表格表示变量关系，变量增减趋势
【点评】
本题属于变量关系章节的入门基础题，结合实际教学场景设置问题，不需要复杂计算，重点考察学生对基础变量概念的理解能力，以及从表格数据中提取信息、分析变化趋势的能力，难度较低，注意第三问的区间端点不要混淆，结合题目给定的定义域判断增减区间即可。
【难度系数】
0.9
1. 已知测得某物体从 $ 100 \, \mathrm{m} $ 高处的下落时间 $ t $ 和下落高度 $ h $ 之间的有关数据如下表：
则下列说法错误的是(
A.该物体每秒下落的高度不变
B.该物体每秒下落的高度越来越长
C.该物体下落的速度越来越快
D.可以推测，该物体落到地面的时间不超过 $ 5 $ 秒
则下列说法错误的是(
A
)。A.该物体每秒下落的高度不变
B.该物体每秒下落的高度越来越长
C.该物体下落的速度越来越快
D.可以推测，该物体落到地面的时间不超过 $ 5 $ 秒
答案
1. A
解析
【分析】
我们先从表格给出的下落时间和对应总下落高度数据入手，第一步先计算每1秒内物体实际下落的高度：第1秒下落5m，第2秒下落高度是20m-5m=15m，第3秒下落高度是45m-20m=25m，第4秒下落高度是80m-45m=35m。接下来逐个验证选项：对比每秒下落的高度，发现数值逐渐增大，可直接判断A选项描述错误，B选项描述正确；根据相同时间内路程越大速度越大的规律，能判断C选项速度越来越快是正确的；再推导h和t的对应关系，代入总高度100m可算出落地时间约为4.47s，小于5s，因此D选项描述也正确，最终选出错误选项即可。
【解析】
1. 计算每秒下落的高度：
第1s内下落高度：$h_1=5\ \mathrm{m}$
第2s内下落高度：$h_2=20\ \mathrm{m}-5\ \mathrm{m}=15\ \mathrm{m}$
第3s内下落高度：$h_3=45\ \mathrm{m}-20\ \mathrm{m}=25\ \mathrm{m}$
第4s内下落高度：$h_4=80\ \mathrm{m}-45\ \mathrm{m}=35\ \mathrm{m}$
可见每秒下落的高度依次为5m、15m、25m、35m，是逐渐增大的，因此A说法错误，B说法正确。
2. 判断速度变化：
相等的1秒时间内，物体下落的高度不断变大，由速度公式$v=\frac{s}{t}$可知，物体下落的速度越来越快，C说法正确。
3. 计算落地时间：
由表格数据可得h和t的关系为$h=5t^2$，将$h=100\ \mathrm{m}$代入得$100=5t^2$，解得$t=\sqrt{20}\approx4.47\ \mathrm{s}＜5\ \mathrm{s}$，因此物体落到地面的时间不超过5秒，D说法正确。
综上，错误的是选项A。
【答案】A
【知识点】
速度计算，变速运动，数据分析
【点评】
本题结合表格数据判断下落运动的特点，核心是通过总高度的差值得到每秒的实际下落距离，再推导运动性质和落地时间，易错点是直接把总下落高度当成单秒下落高度，误判A选项正确。
【难度系数】
0.8
我们先从表格给出的下落时间和对应总下落高度数据入手，第一步先计算每1秒内物体实际下落的高度：第1秒下落5m，第2秒下落高度是20m-5m=15m，第3秒下落高度是45m-20m=25m，第4秒下落高度是80m-45m=35m。接下来逐个验证选项：对比每秒下落的高度，发现数值逐渐增大，可直接判断A选项描述错误，B选项描述正确；根据相同时间内路程越大速度越大的规律，能判断C选项速度越来越快是正确的；再推导h和t的对应关系，代入总高度100m可算出落地时间约为4.47s，小于5s，因此D选项描述也正确，最终选出错误选项即可。
【解析】
1. 计算每秒下落的高度：
第1s内下落高度：$h_1=5\ \mathrm{m}$
第2s内下落高度：$h_2=20\ \mathrm{m}-5\ \mathrm{m}=15\ \mathrm{m}$
第3s内下落高度：$h_3=45\ \mathrm{m}-20\ \mathrm{m}=25\ \mathrm{m}$
第4s内下落高度：$h_4=80\ \mathrm{m}-45\ \mathrm{m}=35\ \mathrm{m}$
可见每秒下落的高度依次为5m、15m、25m、35m，是逐渐增大的，因此A说法错误，B说法正确。
2. 判断速度变化：
相等的1秒时间内，物体下落的高度不断变大，由速度公式$v=\frac{s}{t}$可知，物体下落的速度越来越快，C说法正确。
3. 计算落地时间：
由表格数据可得h和t的关系为$h=5t^2$，将$h=100\ \mathrm{m}$代入得$100=5t^2$，解得$t=\sqrt{20}\approx4.47\ \mathrm{s}＜5\ \mathrm{s}$，因此物体落到地面的时间不超过5秒，D说法正确。
综上，错误的是选项A。
【答案】A
【知识点】
速度计算，变速运动，数据分析
【点评】
本题结合表格数据判断下落运动的特点，核心是通过总高度的差值得到每秒的实际下落距离，再推导运动性质和落地时间，易错点是直接把总下落高度当成单秒下落高度，误判A选项正确。
【难度系数】
0.8
2. 下表是摄氏温度和华氏温度之间的对应表，则字母 $ a $ 的值是(
A.$ 45 $
B.$ 50 $
C.$ 53 $
D.$ 68 $
B
)。A.$ 45 $
B.$ 50 $
C.$ 53 $
D.$ 68 $
答案
2. B
解析
设华氏温度为$F$，摄氏温度为$C$，设$F=kC+b$。
当$C=0$时，$F=32$，代入得$32=k×0 + b$，所以$b=32$。
当$C=5$时，$F=41$，代入$F=kC + 32$得$41=5k + 32$，解得$k=\frac{41 - 32}{5}=\frac{9}{5}=1.8$。
所以$F=1.8C + 32$。
当$C=10$时，$F=1.8×10 + 32=18 + 32=50$，即$a=50$。
B
当$C=0$时，$F=32$，代入得$32=k×0 + b$，所以$b=32$。
当$C=5$时，$F=41$，代入$F=kC + 32$得$41=5k + 32$，解得$k=\frac{41 - 32}{5}=\frac{9}{5}=1.8$。
所以$F=1.8C + 32$。
当$C=10$时，$F=1.8×10 + 32=18 + 32=50$，即$a=50$。
B
