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10. 如图，$ BD $ 平分 $ ∠ ABC $ 交 $ AC $ 于点 $ D $，$ DE // BC $，交 $ AB $ 于点 $ E $。
(1) 请说明 $ ∠ EBD = ∠ EDB $；
(2) 如果 $ BD ⊥ AC $，$ ∠ ADE = 70° $，求 $ ∠ ABC $ 的度数。
(1) 请说明 $ ∠ EBD = ∠ EDB $；
(2) 如果 $ BD ⊥ AC $，$ ∠ ADE = 70° $，求 $ ∠ ABC $ 的度数。
答案
10. 解：(1)因为BD平分∠ABC，
所以∠CBD=∠EBD。
因为DE//BC，
所以∠CBD=∠EDB。
所以∠EBD=∠EDB。
(2)因为BD⊥AC，∠ADE=70°，
所以∠ADB=90°，∠BDE=∠ADB - ∠ADE=90° - 70°=20°。
所以∠CBD=∠EBD=∠BDE=20°。
所以∠ABC=20° + 20°=40°。
所以∠CBD=∠EBD。
因为DE//BC，
所以∠CBD=∠EDB。
所以∠EBD=∠EDB。
(2)因为BD⊥AC，∠ADE=70°，
所以∠ADB=90°，∠BDE=∠ADB - ∠ADE=90° - 70°=20°。
所以∠CBD=∠EBD=∠BDE=20°。
所以∠ABC=20° + 20°=40°。
解析
【分析】
我们先梳理第一问的解题思路：要证明∠EBD=∠EDB，先从已知条件提取等角关系，BD是角平分线，根据角平分线定义能直接得到∠CBD和∠EBD相等；又已知DE平行BC，根据平行线的内错角相等性质，能得到∠CBD和∠EDB相等，最后通过等量代换就能推出要证的两个角相等。
再梳理第二问的解题思路：已知BD垂直AC，根据垂直的定义可知∠ADB是90°，结合已知的∠ADE=70°，用∠ADB减去∠ADE就能算出∠BDE的度数；再结合第一问已经推导得到的∠EDB=∠EBD=∠CBD，就能得到两个相等的分角的度数，相加即可得到∠ABC的总度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠CBD = ∠EBD（角平分线的定义）。
∵ DE // BC，
∴ ∠CBD = ∠EDB（两直线平行，内错角相等）。
通过等量代换可得：∠EBD = ∠EDB。
(2) 解：
∵ BD ⊥ AC，
∴ ∠ADB = 90°（垂直的定义）。
已知∠ADE = 70°，
∴ ∠BDE = ∠ADB - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
由(1)的结论可知∠CBD = ∠EDB = ∠EBD = 20°，
∴ ∠ABC = ∠CBD + ∠EBD = 20° + 20° = 40°。
【答案】
(1) 已证得∠EBD=∠EDB；(2) ∠ABC的度数为40°
【知识点】
角平分线定义；平行线性质；垂直定义
【点评】
本题是几何基础经典题型，属于“角平分线+平行线”构造等角的基础模型，重点考察学生对平行线性质、角平分线定义的掌握程度，锻炼基础角度推导和等量代换的逻辑能力，也是后续学习等腰三角形相关内容的前置铺垫题。
【难度系数】
0.8
我们先梳理第一问的解题思路：要证明∠EBD=∠EDB，先从已知条件提取等角关系，BD是角平分线，根据角平分线定义能直接得到∠CBD和∠EBD相等；又已知DE平行BC，根据平行线的内错角相等性质，能得到∠CBD和∠EDB相等，最后通过等量代换就能推出要证的两个角相等。
再梳理第二问的解题思路：已知BD垂直AC，根据垂直的定义可知∠ADB是90°，结合已知的∠ADE=70°，用∠ADB减去∠ADE就能算出∠BDE的度数；再结合第一问已经推导得到的∠EDB=∠EBD=∠CBD，就能得到两个相等的分角的度数，相加即可得到∠ABC的总度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠CBD = ∠EBD（角平分线的定义）。
∵ DE // BC，
∴ ∠CBD = ∠EDB（两直线平行，内错角相等）。
通过等量代换可得：∠EBD = ∠EDB。
(2) 解：
∵ BD ⊥ AC，
∴ ∠ADB = 90°（垂直的定义）。
已知∠ADE = 70°，
∴ ∠BDE = ∠ADB - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
由(1)的结论可知∠CBD = ∠EDB = ∠EBD = 20°，
∴ ∠ABC = ∠CBD + ∠EBD = 20° + 20° = 40°。
【答案】
(1) 已证得∠EBD=∠EDB；(2) ∠ABC的度数为40°
【知识点】
角平分线定义；平行线性质；垂直定义
【点评】
本题是几何基础经典题型，属于“角平分线+平行线”构造等角的基础模型，重点考察学生对平行线性质、角平分线定义的掌握程度，锻炼基础角度推导和等量代换的逻辑能力，也是后续学习等腰三角形相关内容的前置铺垫题。
【难度系数】
0.8
11. 下面是兴趣小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务。
任务：
(1) 上面分情况画出图形并猜想，最后分情况进行证明验证，体现的数学思想是
A. 统计思想
B. 分类讨论思想
C. 函数思想
D. 方程思想
(2) 请将报告中的猜想和结论直接填在横线上，并将说明过程补充完整。
(3) 请你把解决问题的解答过程补充完整。
任务：
(1) 上面分情况画出图形并猜想，最后分情况进行证明验证，体现的数学思想是
B
。A. 统计思想
B. 分类讨论思想
C. 函数思想
D. 方程思想
(2) 请将报告中的猜想和结论直接填在横线上，并将说明过程补充完整。
(3) 请你把解决问题的解答过程补充完整。
答案
11. 解：(1)B
(2)∠α=∠β ∠α+∠β=180°
相等或互补
第一种情况，如图1,
因为AB//DE,
所以∠α=∠1。
因为BC//EF,
所以∠β=∠1,
所以∠α=∠β。
第二种情况，如图2,
因为AB//DE,
所以∠α+∠1=180°。
因为BC//EF,
所以∠β=∠1,
所以∠α+∠β=180°。
综上，∠α=∠β或∠α+∠β=180°。
(3)设其中一角为x°，则
另一角为(4x - 40)°，
根据(2)的结论，
列方程为x=4x - 40或x+4x - 40=180，
解得x=40/3或x=44。
当x=40/3时，4x - 40=40/3；
当x=44时，4x - 40=136。
答：这两个角分别是(40/3)°与(40/3)°或44°与136°。
解析
【分析】
首先处理第(1)问，题干明确提到“分情况画图形、分情况证明验证”，对比四个选项对应的数学思想定义：统计思想用于数据统计分析，函数思想依托变量对应关系解题，方程思想通过列等式求解未知量，只有分类讨论思想符合分不同场景逐一探究的特征，可直接选出对应答案。
第(2)问探究两边分别平行的两个角的数量关系，可分为两类位置：第一类两组边朝向完全一致，借助平行线同位角相等的性质可推导出两角相等；第二类一组边同向、另一组边反向，借助平行线同旁内角互补的性质可推导出两角和为180°，分别证明后即可得到完整结论。
第(3)问依托第(2)问得到的“两边分别平行的两角相等或互补”的结论，设其中一个角为x，根据题干给出的两角的数量关系表示出另一个角，分相等、互补两种情况列一元一次方程求解，就能得到全部符合要求的角度结果。
【解析】
解：
(1) 题干要求分不同情况作图、猜想、验证，完全符合分类讨论思想的特征，因此选B。
(2) 猜想和结论依次为：∠α=∠β，∠α+∠β=180°，相等或互补。
第一种情况，如图1,
因为AB//DE,
所以∠α=∠1。
因为BC//EF,
所以∠β=∠1,
所以∠α=∠β。
第二种情况，如图2,
因为AB//DE,
所以∠α+∠1=180°。
因为BC//EF,
所以∠β=∠1,
所以∠α+∠β=180°。
综上，∠α=∠β或∠α+∠β=180°。
(3) 设其中一角为x°，则另一角为(4x - 40)°，
根据(2)的结论，分两种情况列方程：
① 两角相等时：x=4x - 40，解得x=40/3，此时另一角为40/3；
② 两角互补时：x+4x - 40=180，解得x=44，此时另一角为136。
答：这两个角分别是(40/3)°与(40/3)°或44°与136°。
【答案】
11. 解：(1)B
(2)∠α=∠β ∠α+∠β=180°
相等或互补
第一种情况，如图1,
因为AB//DE,
所以∠α=∠1。
因为BC//EF,
所以∠β=∠1,
所以∠α=∠β。
第二种情况，如图2,
因为AB//DE,
所以∠α+∠1=180°。
因为BC//EF,
所以∠β=∠1,
所以∠α+∠β=180°。
综上，∠α=∠β或∠α+∠β=180°。
(3)设其中一角为x°，则
另一角为(4x - 40)°，
根据(2)的结论，
列方程为x=4x - 40或x+4x - 40=180，
解得x=40/3或x=44。
当x=40/3时，4x - 40=40/3；
当x=44时，4x - 40=136。
答：这两个角分别是(40/3)°与(40/3)°或44°与136°。
【知识点】
分类讨论思想，平行线的性质，一元一次方程应用
【点评】
本题是平行线角度探究的综合题型，先通过分场景推导两边分别平行的两角的数量关系，再结合方程思想求解角度，解题的高频易错点是容易遗漏两角互补的情况，需要牢记两类位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先处理第(1)问，题干明确提到“分情况画图形、分情况证明验证”，对比四个选项对应的数学思想定义：统计思想用于数据统计分析，函数思想依托变量对应关系解题，方程思想通过列等式求解未知量，只有分类讨论思想符合分不同场景逐一探究的特征，可直接选出对应答案。
第(2)问探究两边分别平行的两个角的数量关系，可分为两类位置：第一类两组边朝向完全一致，借助平行线同位角相等的性质可推导出两角相等；第二类一组边同向、另一组边反向，借助平行线同旁内角互补的性质可推导出两角和为180°，分别证明后即可得到完整结论。
第(3)问依托第(2)问得到的“两边分别平行的两角相等或互补”的结论，设其中一个角为x，根据题干给出的两角的数量关系表示出另一个角，分相等、互补两种情况列一元一次方程求解，就能得到全部符合要求的角度结果。
【解析】
解：
(1) 题干要求分不同情况作图、猜想、验证，完全符合分类讨论思想的特征，因此选B。
(2) 猜想和结论依次为：∠α=∠β，∠α+∠β=180°，相等或互补。
第一种情况，如图1,
因为AB//DE,
所以∠α=∠1。
因为BC//EF,
所以∠β=∠1,
所以∠α=∠β。
第二种情况，如图2,
因为AB//DE,
所以∠α+∠1=180°。
因为BC//EF,
所以∠β=∠1,
所以∠α+∠β=180°。
综上，∠α=∠β或∠α+∠β=180°。
(3) 设其中一角为x°，则另一角为(4x - 40)°，
根据(2)的结论，分两种情况列方程：
① 两角相等时：x=4x - 40，解得x=40/3，此时另一角为40/3；
② 两角互补时：x+4x - 40=180，解得x=44，此时另一角为136。
答：这两个角分别是(40/3)°与(40/3)°或44°与136°。
【答案】
11. 解：(1)B
(2)∠α=∠β ∠α+∠β=180°
相等或互补
第一种情况，如图1,
因为AB//DE,
所以∠α=∠1。
因为BC//EF,
所以∠β=∠1,
所以∠α=∠β。
第二种情况，如图2,
因为AB//DE,
所以∠α+∠1=180°。
因为BC//EF,
所以∠β=∠1,
所以∠α+∠β=180°。
综上，∠α=∠β或∠α+∠β=180°。
(3)设其中一角为x°，则
另一角为(4x - 40)°，
根据(2)的结论，
列方程为x=4x - 40或x+4x - 40=180，
解得x=40/3或x=44。
当x=40/3时，4x - 40=40/3；
当x=44时，4x - 40=136。
答：这两个角分别是(40/3)°与(40/3)°或44°与136°。
【知识点】
分类讨论思想，平行线的性质，一元一次方程应用
【点评】
本题是平行线角度探究的综合题型，先通过分场景推导两边分别平行的两角的数量关系，再结合方程思想求解角度，解题的高频易错点是容易遗漏两角互补的情况，需要牢记两类位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
