3. 如图，在横线本上画了两条平行线 $ AB // CD $，则下列等式一定成立的是()。


A.$ ∠ 3 = 2 ∠ 1 $
B.$ ∠ 3 = ∠ 2 + 90° $
C.$ ∠ 2 + ∠ 1 = 90° $
D.$ ∠ 3 + ∠ 1 = 180° $

3. D

解：因为 $AB // CD$，所以$∠ 1$的对顶角与$∠ 3$是同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ 3 + ∠ 1 = 180°$。
D

4. 将 $ AD $ 与 $ BC $ 两边平行的纸条 $ ABCD $ 按如图所示折叠，则 $ ∠ 1 $ 的度数为()。


A.$ 72° $
B.$ 45° $
C.$ 56° $
D.$ 60° $

4. C

【分析】
我们可以按三步思路来解题：首先，先明确题目给出的核心条件：纸条的AD边和BC边互相平行；其次，利用折叠的特性，折叠前后对应的角大小完全相等，就能得到∠C'FE和已知的62°角相等；接着利用F点在直线BC上，平角为180°，算出∠C'FB的度数；最后根据平行线的内错角相等的性质，直接得到∠1的度数，匹配选项即可选出正确答案。
【解析】
解：1. 根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得：
$∠ C'FE = ∠ CFE = 62°$
2. 因为点F在直线BC上，平角为$180°$，因此：
$∠ C'FB = 180° - ∠ C'FE - ∠ CFE = 180° - 62° × 2 = 56°$
3. 已知纸条对边$AD // BC$，根据两直线平行、内错角相等，可得：
$∠ 1 = ∠ C'FB = 56°$
因此答案为选项C。
【答案】
C
【知识点】
折叠性质，平行线性质，平角定义
【点评】
本题是非常经典的纸条折叠基础题型，核心考察折叠的角度不变特性和平行线的角度关系，解题门槛低，只要掌握平角计算、平行线内错角相等的知识点就可以快速算出结果，是初中几何入门阶段的常考习题。
【难度系数】
0.8

5. 如图，$ AB // CD $，$ EF // GH $，$ ∠ 1 = 55° $，则下列结论中错误的是()。

A.$ ∠ 2 = 125° $
B.$ ∠ 3 = 55° $
C.$ ∠ 4 = 125° $
D.$ ∠ 5 = 55° $

5. C

【分析】
我们的解题思路是结合题目给出的两组平行条件，利用平行线的相关性质，逐个计算出∠2、∠3、∠4、∠5的度数，再和选项对比找出错误结论。首先从已知的∠1=55°出发，第一步利用AB//CD的性质，得到∠1对应的同位角等于55°，由此推出邻补角∠2的度数；第二步利用EF//GH的性质，直接得到同位角∠5的度数；第三步结合平行线的同位角、对顶角性质推导∠3的度数；最后推导∠4的度数，逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
解：已知$AB // CD$，$∠ 1 = 55°$：
1. 根据两直线平行，同位角相等，可得AB与EF的交点处，EF上方、AB右侧的角等于$∠ 1=55°$。
由于$∠ 2$和该角是邻补角，和为$180°$，因此$∠ 2=180°-55°=125°$，A选项结论正确；
2. 已知$EF // GH$，CD为截线，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ 5=∠ 1=55°$，D选项结论正确；
3. 已知$EF // GH$，AB为截线，AB与EF交点处EF下方、AB左侧的角等于$55°$，该角和$∠ 3$是同位角，由两直线平行同位角相等，得$∠ 3=55°$，B选项结论正确；
4. 已知$EF // GH$，AB为截线，AB与EF交点处EF下方、AB右侧的角等于$∠ 2=125°$，该角和$∠ 4$是同旁内角，由两直线平行同旁内角互补，可得$∠ 4=180°-125°=55°$，并非$125°$，C选项结论错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，邻补角性质，对顶角相等
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题，解题核心是准确识别同位角、同旁内角的位置，不要混淆不同位置角的关系，避免错把内错角和同旁内角的性质用反，是对平行线三线八角识别能力的基础考查。
【难度系数】
0.8

6. 如图，直线 $ a // b $，$ ∠ 1 = 38° $，$ ∠ 2 = 90° $，则 $ ∠ 3 $ 的度数为()。


A.$ 125° $
B.$ 138° $
C.$ 148° $
D.$ 128° $

6. D

解：过∠2的顶点作直线c//a，
∵a//b，
∴c//b，
∴∠1=∠4=38°（两直线平行，内错角相等），
∵∠2=90°，
∴∠5=∠2 - ∠4=90° - 38°=52°，
∵c//b，
∴∠3 + ∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠3=180° - 52°=128°。
答案：D

7. 将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：① 若 $ ∠ 2 = 30° $，则 $ AC // DE $；② $ ∠ BAE + ∠ CAD = 180° $；③ 若 $ BC // AD $，则 $ ∠ 2 = 30° $。其中正确的结论有()。

A.1个
B.2个
C.3个
D.0个

7. B

解：①
∵∠2=30°，∠EAD=90°，
∴∠1=∠EAD - ∠2=60°，
∵∠C=60°，
∴∠1=∠C，
∴AC//DE，①正确；
②
∵∠BAE + ∠CAD = (∠BAD - ∠2) + (∠CAB + ∠2) = ∠BAD + ∠CAB = 90° + 90° = 180°，②正确；
③
∵BC//AD，∠B=45°，
∴∠3=∠B=45°，
∵∠CAB=90°，
∴∠2=∠CAB - ∠3=45°，③错误。
正确的结论有2个。
B

8. 如图，直线 $ AB // DE $，$ CD $ 平分 $ ∠ ACE $，$ ∠ 1 = 64° $，求 $ ∠ 2 $ 的度数。

8. 解：因为AB//DE，
所以∠ACD=∠1=64°(两直线平行，同位角相等)，
∠ACE+∠DEC=180°(两直线平行，同旁内角互补)。
因为CD平分∠ACE，
所以∠ACE=2∠ACD=128°(角平分线的定义)。
所以∠DEC=180° - 128°=52°。
所以∠2=∠DEC=52°(对顶角相等)。

【分析】
我们可以顺着已知条件逐步推导：首先已知$AB // DE$，先观察已知角$∠ 1$的位置，它和$∠ ACD$是同位角，根据平行线同位角相等的性质，就能直接得到$∠ ACD$的度数；接下来题目给出$CD$平分$∠ ACE$，根据角平分线的定义，$∠ ACE$的度数就是$∠ ACD$的2倍，算出$∠ ACE$后，再利用平行线同旁内角互补的性质，得到$∠ ACE$和$∠ DEC$的和为$180°$，就能求出$∠ DEC$的度数；最后观察$∠ 2$和$∠ DEC$是对顶角，根据对顶角相等的性质，就可以得到$∠ 2$的度数，整个推导逻辑连贯，每一步都有对应的几何定理支撑。
【解析】
解：
1. 因为 $AB // DE$，根据两直线平行，同位角相等，可得 $∠ ACD = ∠ 1 = 64°$；
2. 同样由 $AB // DE$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得 $∠ ACE + ∠ DEC = 180°$；
3. 已知$CD$平分$∠ ACE$，根据角平分线的定义，可得 $∠ ACE = 2∠ ACD = 2×64° = 128°$；
4. 代入同旁内角互补的关系式，计算得 $∠ DEC = 180° - 128° = 52°$；
5. 最后根据对顶角相等，可得 $∠ 2 = ∠ DEC = 52°$。
【答案】
$\boldsymbol{52°}$
【知识点】
平行线性质，角平分线定义，对顶角相等
【点评】
本题是平行线相关性质的基础综合题，串联了同位角、同旁内角的平行线性质，同时结合角平分线定义、对顶角相等的基础知识点，解题思路清晰，引导学生逐步推导几何问题，适合巩固平行线相关的基础定理应用。
【难度系数】
0.8

9. 为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯[图(1)]，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图(2)所示。其中，$ BC ⊥ AB $，$ ED // AB $。经使用发现，当 $ ∠ DCB = 140° $ 时，台灯光线最佳，此时 $ ∠ EDC $ 的度数为。

9. 130°

解：延长 $ED$ 交 $BC$ 于点 $F$。
因为 $ED // AB$，$BC ⊥ AB$，所以 $EF ⊥ BC$，即 $∠ DFC = 90°$。
在 $△ DFC$ 中，$∠ DCB = 140°$，则 $∠ FCD = 180° - 140° = 40°$。
所以 $∠ EDC = ∠ DFC + ∠ FCD = 90° + 40° = 130°$。
130°