登录
一、选择题
1. 在实数 $0, \frac{π}{2}, -\frac{1}{2}, 3.1415926, 1.\dot{2}\dot{3}, 1.01001000100001···$（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 在实数 $0, \frac{π}{2}, -\frac{1}{2}, 3.1415926, 1.\dot{2}\dot{3}, 1.01001000100001···$（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
根据无理数定义，逐个判断：0是整数，属于有理数；$\frac{π}{2}$是无限不循环小数，属于无理数；$-\frac{1}{2}$是分数，属于有理数；3.1415926是有限小数，属于有理数；$1.\dot{2}\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；1.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）是无限不循环小数，属于无理数。故无理数共2个。
2. 下列说法正确的是 （）
A.无限小数都是无理数
B.无限不循环小数是无理数
C.无理数是带根号的数
D.分数是无理数
A.无限小数都是无理数
B.无限不循环小数是无理数
C.无理数是带根号的数
D.分数是无理数
答案
B
解析
根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数。A选项，无限小数包含无限循环小数，属于有理数，错误；B选项，符合无理数定义，正确；C选项，带根号的数如√4是有理数，错误；D选项，分数是有理数，错误。
3. 若$2＜\sqrt{a}＜3$，则下列符合条件的$a$的值是（）
A.1
B.3
C.6
D.9
A.1
B.3
C.6
D.9
答案
C
解析
已知$2＜\sqrt{a}＜3$，两边同时平方（因两边均为正数，不等号方向不变），可得$2^2 ＜ a ＜ 3^2$，即$4 ＜ a ＜ 9$。观察选项，只有6符合该范围。
4. 比较下列各数的大小：
(1) $\frac{\sqrt{7} - 1}{3}$ $\frac{2}{3}$；
(2) $-2$ $-\sqrt{5}$.(填“＞”“＜”或“=”)
(1) $\frac{\sqrt{7} - 1}{3}$ $\frac{2}{3}$；
(2) $-2$ $-\sqrt{5}$.(填“＞”“＜”或“=”)
答案
(1) $＜$；(2) $＞$
解析
(1) 比较$\frac{\sqrt{7}-1}{3}$与$\frac{2}{3}$，分母相同，只需比较分子：因为$\sqrt{7}\approx2.645$，所以$\sqrt{7}-1\approx1.645$，显然$1.645＜2$，故$\frac{\sqrt{7}-1}{3}＜\frac{2}{3}$。
(2) 先比较两数的绝对值：$2=\sqrt{4}$，由于$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$|-2|=2＜|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$；根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”，可得$-2＞-\sqrt{5}$。
(2) 先比较两数的绝对值：$2=\sqrt{4}$，由于$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$|-2|=2＜|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$；根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”，可得$-2＞-\sqrt{5}$。
5. 若$5a + 2$的立方根是$3$，$b^2 = 16$，则$\sqrt{a - b} =$。
答案
1或3
解析
根据立方根的定义，若$5a + 2$的立方根是$3$，则$5a + 2 = 3^3 = 27$，解得$a = 5$；由$b^2 = 16$，得$b = ±4$。因为二次根式中被开方数非负，所以$a - b ≥ 0$，即$5 - b ≥ 0$，故$b = 4$或$b = -4$。当$b = 4$时，$\sqrt{a - b} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1$；当$b = -4$时，$\sqrt{a - b} = \sqrt{5 - (-4)} = \sqrt{9} = 3$。
三、解答题
6. 已知某正数的两个平方根分别是$1-2a$和$3a-6$，且$a+b-12$的立方根为$-2$，求$a$和$b$的值。
6. 已知某正数的两个平方根分别是$1-2a$和$3a-6$，且$a+b-12$的立方根为$-2$，求$a$和$b$的值。
答案
$a = 5$，$b = -1$
解析
因为正数的两个平方根互为相反数，所以可得方程：$(1 - 2a) + (3a - 6) = 0$，化简得$a - 5 = 0$，解得$a = 5$；又因为$a + b - 12$的立方根为$-2$，根据立方根的定义，若一个数的立方根为$-2$，则这个数为$(-2)^3 = -8$，因此有$a + b - 12 = -8$，将$a = 5$代入该式，得$5 + b - 12 = -8$，解得$b = -1$。
7. 某小区准备开发一块长为 32 m，宽为21 m的长方形空地.
（1）方案1:如图,将这块空地种上草坪,中间修一条弯曲的小路,小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线.则这块草地的面积为 m².
（2）方案2:修建一个长是宽的1.5倍,面积为384 m²的篮球场,若比赛用的篮球场要求长在23 m到30 m之间,宽在13 m到20 m之间.这个篮球场能用做比赛吗?
（1）方案1:如图,将这块空地种上草坪,中间修一条弯曲的小路,小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线.则这块草地的面积为 m².
（2）方案2:修建一个长是宽的1.5倍,面积为384 m²的篮球场,若比赛用的篮球场要求长在23 m到30 m之间,宽在13 m到20 m之间.这个篮球场能用做比赛吗?
答案
（1）651；（2）能
解析
（1）根据平移的性质，弯曲小路的宽度为1m，因此草地可视为长为$32 - 1 = 31\ \mathrm{m}$、宽为21m的长方形，面积为$31×21 = 651\ \mathrm{m}^2$。（2）设篮球场的宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$1.5x\ \mathrm{m}$，由面积公式得$x·1.5x = 384$，化简为$x^2 = 256$，解得$x = 16$（$x=-16$舍去，长度为正），则长为$1.5×16 = 24\ \mathrm{m}$。比赛要求长在23~30m之间，宽在13~20m之间，24m符合长的要求，16m符合宽的要求，因此该篮球场能做比赛。
