1. 要使二次根式$\sqrt{x+1}$有意义，则$x$的取值范围是 （）

A.$x≠-1$
B.$x≥-1$
C.$x≤-1$
D.$x＞-1$

B

二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此对于$\sqrt{x+1}$，需满足$x+1≥0$，解得$x≥-1$，对应选项B。

2. 已知实数$ a $满足条件$ |2023 - a| + \sqrt{a - 2024} = a $，则$ a - 2023^2 $的值为（）

A.2021
B.2022
C.2023
D.2024

D

根据二次根式有意义的条件，得$a - 2024 ≥ 0$，即$a ≥ 2024$，则$|2023 - a| = a - 2023$。代入原式得：$a - 2023 + \sqrt{a - 2024} = a$，化简得$\sqrt{a - 2024} = 2023$，两边平方得$a - 2024 = 2023^2$，故$a - 2023^2 = 2024$。

3. 若式子$\sqrt{x-1}-2$在实数范围内有意义，
则x的取值范围是。

$x≥1$

根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数。对于式子$\sqrt{x-1}-2$，其中二次根式$\sqrt{x-1}$的被开方数$x-1$需满足$x-1≥0$，解这个不等式得$x≥1$，因此式子在实数范围内有意义时，$x$的取值范围是$x≥1$。

4. 若$a＜\sqrt{80}-\sqrt{20}＜a+1$，则正整数a的值是。

4

先化简二次根式：$\sqrt{80} = \sqrt{16 × 5} = 4\sqrt{5}$，$\sqrt{20} = \sqrt{4 × 5} = 2\sqrt{5}$，则$\sqrt{80} - \sqrt{20} = 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$。因为$\sqrt{5} \approx 2.236$，所以$2\sqrt{5} \approx 4.472$。已知$a ＜ \sqrt{80} - \sqrt{20} ＜ a+1$，即$a ＜ 4.472 ＜ a+1$，正整数$a$满足该不等式，故$a=4$。

5. 计算：
(1) $(2\sqrt{3} -5)^0 + |4 - 3\sqrt{2}| - \sqrt{18}$；
(2) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} + (2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})$。

(1) $-3$；(2) $\sqrt{2}+1$

(1) 根据零指数幂的性质：非零数的0次幂为1，得$(2\sqrt{3}-5)^0=1$；判断绝对值内符号：$3\sqrt{2}\approx4.24＞4$，故$|4-3\sqrt{2}|=3\sqrt{2}-4$；化简$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。代入计算：
原式$=1 + (3\sqrt{2}-4) - 3\sqrt{2}=1+3\sqrt{2}-4-3\sqrt{2}=-3$。
(2) 化简分式：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}-1$；利用平方差公式计算：$(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2^2 - (\sqrt{2})^2=4-2=2$。代入计算：
原式$=(\sqrt{2}-1)+2=\sqrt{2}+1$。

6. 小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积。以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务。

（1）请根据思路1的公式，求△ABC的面积.
（2）请你结合思路2，在如图所示的网格中(正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点)，完成下列任务.
① 画出△ABC，要求三个顶点都在格点上；
② 结合图形，写出△ABC面积的计算过程，以及边AC上的高.

（1）$\boxed{4}$；（2）① 画图略（符合条件的格点三角形即可）；② 面积为$\boxed{4}$，AC边上的高为$\boxed{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$

（1）根据秦九韶公式计算：已知△ABC三边为$AC=\sqrt{5}$，$BC=4$，$AB=\sqrt{13}$，代入公式$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$（取$a=BC=4$，$b=AC=\sqrt{5}$，$c=AB=\sqrt{13}$），计算得：$a^2=16$，$b^2=5$，$c^2=13$，则$a^2b^2=16×5=80$，$\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=\frac{16+5-13}{2}=4$，因此$S=\sqrt{\frac{1}{4}×(80-4^2)}=\sqrt{16}=4$。
（2）① 格点三角形画法：取格点$A(1,2)$、$B(4,0)$、$C(0,0)$，连接三点即可（满足三边长度要求）；② 面积计算：△ABC中$BC=4$，点A到BC（x轴）的距离为2，故面积$S=\frac{1}{2}×4×2=4$；设AC边上的高为$h$，由面积公式$\frac{1}{2}×AC×h=S$，代入$AC=\sqrt{5}$、$S=4$，得$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×h=4$，解得$h=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。