1. 若 $ a - \dfrac{1}{a} = 1 $，则 $ \dfrac{a^4 + 1}{a^3 - a} $ 的值为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

C

已知$a - \dfrac{1}{a} = 1$，显然$a≠0$：
1. 等式两边同乘$a$，得$a^2 - 1 = a$；
2. 对所求式的分母因式分解：$a^3 - a = a(a^2 - 1)$，将$a^2-1=a$代入，得分母$=a· a = a^2$，因此原式可化简为$\dfrac{a^4 + 1}{a^2} = a^2 + \dfrac{1}{a^2}$；
3. 将$a - \dfrac{1}{a} = 1$两边平方，展开得$(a-\dfrac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \dfrac{1}{a^2}=1$，整理得$a^2 + \dfrac{1}{a^2}=3$，即原式的值为3。

2.若关于$x$的不等式组$\begin{cases} x＜ a, \\ x≥ -1 \end{cases}$至少有4个整数解，且关于$y$的分式方程$\dfrac{3}{y-2}+\dfrac{a}{2-y}=1$的解是非负数，则符合条件的所有整数$a$的和是________。

9

1. 分析不等式组的解集：
不等式组$\begin{cases} x＜ a \\ x≥ -1 \end{cases}$的解集为$-1 ≤ x ＜ a$。
题目要求不等式组至少有4个整数解，即整数解至少包含$-1,0,1,2$这4个，因此可得$a＞2$。
2. 求解分式方程并结合限制条件推导a的范围：
先将分式方程$\dfrac{3}{y-2}+\dfrac{a}{2-y}=1$变形为$\dfrac{3-a}{y-2}=1$，两边同乘$y-2$去分母得：
$3 - a = y - 2$，解得$y=5-a$。
根据题意，分式方程的解是非负数，且不能为增根（即$y≠2$，避免分母为0）：
由解非负得$y≥0$，即$5-a≥0$，解得$a≤5$；
由排除增根得$y≠2$，即$5-a≠2$，解得$a≠3$。
3. 筛选符合条件的整数a并求和：
综合所有条件得$2 ＜ a ≤5$且$a≠3$，符合要求的整数a为4、5，它们的和为$4+5=9$。

3. 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:如图1,分别以$△ ABC$的边AB，AC为腰,向外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,使$AD=AB,AE=AC$,且$∠BAD=∠CAE$。P,F,G分别是边BC,BD,CE的中点,连接PF,PG,探究PF,PG之间的数量关系。
【特例感知】
(1)如图1,当$∠BAC=120°,∠BAD=60°$时,请直接写出PF,PG之间的数量关系:。
【类比探究】
(2)如图2,当$△ ABC$为任意三角形时,猜想并证明PF,PG之间的数量关系。
【拓展应用】
(3)如图2,若$∠BAD=∠CAE=α$,直接写出$∠FPG$的度数(用含α的式子表示)。
(4)如图3,点D,E分别在$△ ABC$的外部,$∠ADB=∠AEC=90°,∠ABD=∠ACE$,P是$△ ABC$的边BC的中点,连接PD,PE。求证:$PD=PE$。

(1) $\boldsymbol{PF=PG}$
(2) $\boldsymbol{PF=PG}$，证明如上
(3) $\boldsymbol{∠FPG=180°-α}$
(4) 证明如上

(1) 连接CD、BE，由∠BAD=∠CAE=60°，可得∠DAC=∠BAE，结合AD=AB、AC=AE，可证△DAC≌△BAE(SAS)，得到CD=BE。根据三角形中位线性质：PF是△BCD的中位线，故$PF=\frac{1}{2}CD$；PG是△BCE的中位线，故$PG=\frac{1}{2}BE$，因此可得PF和PG的数量关系。
(2) 猜想PF=PG，证明过程如下：
∵ ∠BAD=∠CAE，
∴ ∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE。
在△DAC和△BAE中：
$\begin{cases} AD=AB \\ ∠DAC=∠BAE \\ AC=AE \end{cases}$
∴ △DAC≌△BAE(SAS)，得CD=BE。
∵ P是BC中点，F是BD中点，∴ PF是△BCD的中位线，$PF=\frac{1}{2}CD$。
同理，P是BC中点，G是CE中点，∴ PG是△BCE的中位线，$PG=\frac{1}{2}BE$。
结合CD=BE，可得PF=PG。
(3) 由中位线性质得PF//CD，PG//BE，结合全等三角形对应角相等，可推导出CD与BE的夹角等于∠BAD=α，根据平行线的夹角性质，即可推导出∠FPG的度数。
(4) 证明过程如下：
分别取AB、AC的中点M、N，连接DM、PM、PN、EN。
∵ ∠ADB=90°，M为AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$DM=\frac{1}{2}AB=AM=BM$。
∵ P是BC中点，M是AB中点，∴ PM是△ABC的中位线，得$PM// AC$，$PM=\frac{1}{2}AC$。
同理，∠AEC=90°，N为AC中点，得$EN=\frac{1}{2}AC=AN=CN$；PN是△ABC的中位线，得$PN// AB$，$PN=\frac{1}{2}AB$。
因此$DM=PN=\frac{1}{2}AB$，$PM=EN=\frac{1}{2}AC$。
∵ ∠ADB=∠AEC=90°，∠ABD=∠ACE，
∴ ∠DAB=90°−∠ABD，∠EAC=90°−∠ACE，即∠DAB=∠EAC。
∵ DM=AM，∴ ∠MDA=∠DAM，得∠DMB=∠MDA+∠DAM=2∠DAB。
同理∠ENC=2∠EAC，因此∠DMB=∠ENC。
∵ PM//AC，PN//AB，∴ ∠PMB=∠BAC，∠PNC=∠BAC，
∴ ∠DMB+∠PMB=∠ENC+∠PNC，即∠DMP=∠PNE。
在△DMP和△PNE中：
$\begin{cases} DM=PN \\ ∠DMP=∠PNE \\ PM=EN \end{cases}$
∴ △DMP≌△PNE(SAS)，因此PD=PE。