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一、四边形及多边形
1. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍,则从这个多边形的一个顶点处可以引条对角线 （
A.6
B.7
C.8
D.9
1. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍,则从这个多边形的一个顶点处可以引条对角线 （
B
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案
1.B
解析
【分析】
解题时可按两步思考：第一步，先回忆多边形的基本性质，任意多边形的外角和恒为360°，n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，结合“内角和是外角和的4倍”的等量关系列方程，求出多边形的边数n；第二步，牢记从n边形一个顶点引对角线的规则：不能连接自身和相邻的2个顶点，所以对角线条数为$n-3$，代入n的值计算即可得到结果。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
① 任意多边形的外角和为$360°$，根据题意列方程：
$\begin{aligned}(n-2)×180°&=4×360°\\n-2&=8\\n&=10\end{aligned}$
② 从n边形一个顶点可引出的对角线条数为$n-3$，代入n=10得：
$10-3=7$（条）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质；多边形对角线计数
【点评】
本题是多边形模块的基础常考题，核心是对多边形基础性质的应用，只要牢记相关公式和规则，计算不出错就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
解题时可按两步思考：第一步，先回忆多边形的基本性质，任意多边形的外角和恒为360°，n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，结合“内角和是外角和的4倍”的等量关系列方程，求出多边形的边数n；第二步，牢记从n边形一个顶点引对角线的规则：不能连接自身和相邻的2个顶点，所以对角线条数为$n-3$，代入n的值计算即可得到结果。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
① 任意多边形的外角和为$360°$，根据题意列方程：
$\begin{aligned}(n-2)×180°&=4×360°\\n-2&=8\\n&=10\end{aligned}$
② 从n边形一个顶点可引出的对角线条数为$n-3$，代入n=10得：
$10-3=7$（条）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质；多边形对角线计数
【点评】
本题是多边形模块的基础常考题，核心是对多边形基础性质的应用，只要牢记相关公式和规则，计算不出错就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. 如图21-1,直线$a// b$,正六边形$ABCDEF$的顶点$A,C$分别在直线$a,b$上,若$∠ 1=40°$,则$∠ 2$的度数是 (
A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
B
)A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
2.B
解析
【分析】解题时先利用正多边形内角和公式求出正六边形的每个内角度数，再结合平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，找到∠1、正六边形内角、∠2之间的和为180°的数量关系，代入已知角度即可求出∠2的度数。
【解析】
1. 计算正六边形的单个内角度数：
根据正多边形内角和公式$(n-2)×180°$，正六边形边数$n=6$，因此每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$。
2. 利用平行线性质求∠2：
已知直线$a// b$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠1 + 120° + ∠2 = 180°$。
将$∠1=40°$代入上式，得：
$∠2=180° - 120° - 40°=20°$。
【答案】B
【知识点】正多边形内角计算、平行线的性质
【点评】本题是角度计算的基础综合题，将正多边形特征和平行线性质结合考查，解题关键是准确找到各角度之间的数量关系。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算正六边形的单个内角度数：
根据正多边形内角和公式$(n-2)×180°$，正六边形边数$n=6$，因此每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$。
2. 利用平行线性质求∠2：
已知直线$a// b$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠1 + 120° + ∠2 = 180°$。
将$∠1=40°$代入上式，得：
$∠2=180° - 120° - 40°=20°$。
【答案】B
【知识点】正多边形内角计算、平行线的性质
【点评】本题是角度计算的基础综合题，将正多边形特征和平行线性质结合考查，解题关键是准确找到各角度之间的数量关系。
【难度系数】0.7
3. 如图21-2为矩形ABCD,一条直线将该矩形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为a和b,则a+b不可能是
(
A.$360°$
B.$540°$
C.$630°$
D.$720°$
(
C
)A.$360°$
B.$540°$
C.$630°$
D.$720°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题首先要明确核心规律：任意n（n≥3，n为整数）边形的内角和都是180°的整数倍，因此两个多边形的内角和a+b也必然是180°的整数倍。也可以通过分类讨论直线分割矩形的所有可能情况，分别计算对应的a+b的数值，再对照选项排除错误答案，两种方法都可快速解题。
【解析】
多边形内角和公式为：$n$边形内角和$=(n-2)×180°$（$n≥3$，$n$为整数），由此可得所有多边形的内角和均为$180°$的整数倍，因此$a+b$一定是$180°$的整数倍。
对各选项验证：
A. $360° ÷ 180° = 2$，是整数，有可能；
B. $540° ÷ 180° = 3$，是整数，有可能；
C. $630° ÷ 180° = 3.5$，不是整数，不可能；
D. $720° ÷ 180° = 4$，是整数，有可能。
也可通过分类讨论分割情况验证：
1. 直线过矩形两个顶点（沿对角线分割），得到2个三角形，$a+b=180°+180°=360°$；
2. 直线过矩形1个顶点和对边上非顶点的点，得到1个三角形和1个四边形，$a+b=180°+360°=540°$；
3. 直线过矩形一组对边上两个非顶点的点，得到2个四边形，$a+b=360°+360°=720°$。
综上，$a+b$不可能是$630°$。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和定理；图形的分割；整除性质
【点评】
本题解题的核心是抓住多边形内角和必为$180°$整数倍的规律，可快速得出结论，也可通过分类讨论所有分割情况验证结果，解题时要注意考虑分割的所有可能性，避免漏判。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确核心规律：任意n（n≥3，n为整数）边形的内角和都是180°的整数倍，因此两个多边形的内角和a+b也必然是180°的整数倍。也可以通过分类讨论直线分割矩形的所有可能情况，分别计算对应的a+b的数值，再对照选项排除错误答案，两种方法都可快速解题。
【解析】
多边形内角和公式为：$n$边形内角和$=(n-2)×180°$（$n≥3$，$n$为整数），由此可得所有多边形的内角和均为$180°$的整数倍，因此$a+b$一定是$180°$的整数倍。
对各选项验证：
A. $360° ÷ 180° = 2$，是整数，有可能；
B. $540° ÷ 180° = 3$，是整数，有可能；
C. $630° ÷ 180° = 3.5$，不是整数，不可能；
D. $720° ÷ 180° = 4$，是整数，有可能。
也可通过分类讨论分割情况验证：
1. 直线过矩形两个顶点（沿对角线分割），得到2个三角形，$a+b=180°+180°=360°$；
2. 直线过矩形1个顶点和对边上非顶点的点，得到1个三角形和1个四边形，$a+b=180°+360°=540°$；
3. 直线过矩形一组对边上两个非顶点的点，得到2个四边形，$a+b=360°+360°=720°$。
综上，$a+b$不可能是$630°$。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和定理；图形的分割；整除性质
【点评】
本题解题的核心是抓住多边形内角和必为$180°$整数倍的规律，可快速得出结论，也可通过分类讨论所有分割情况验证结果，解题时要注意考虑分割的所有可能性，避免漏判。
【难度系数】
0.7
4. 若一个多边形的内角和为$900°$,则这个多边形是________边形;若正多边形的一个外角为$30°$,则这个多边形为正________边形.
答案
4. 七 十二
解析
【分析】
本题分为两个小问，解题思路分别如下：
1. 求内角和为900°的多边形边数：回忆多边形内角和公式，内角和与边数n存在固定对应关系，可通过列方程求解边数n；
2. 求外角为30°的正多边形边数：任意多边形的外角和恒为360°，正多边形的每个外角大小相等，因此用外角和除以单个外角的度数即可得到边数。
【解析】
1. 设内角和为900°的多边形边数为n，根据多边形内角和公式：$\mathrm{内角和}=(n-2)×180°$，可列方程：
$(n-2)×180°=900°$
两边同时除以$180°$得：$n-2=5$，解得$n=7$，因此这个多边形是七边形。
2. 任意多边形的外角和均为$360°$，正多边形的每个外角度数相等，因此该正多边形的边数为：
$360°÷30°=12$
因此这个多边形为正十二边形。
【答案】
七；十二
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题是多边形相关性质的基础应用题，只需牢记多边形内角和公式、外角和为360°的性质，就能快速计算得到结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题分为两个小问，解题思路分别如下：
1. 求内角和为900°的多边形边数：回忆多边形内角和公式，内角和与边数n存在固定对应关系，可通过列方程求解边数n；
2. 求外角为30°的正多边形边数：任意多边形的外角和恒为360°，正多边形的每个外角大小相等，因此用外角和除以单个外角的度数即可得到边数。
【解析】
1. 设内角和为900°的多边形边数为n，根据多边形内角和公式：$\mathrm{内角和}=(n-2)×180°$，可列方程：
$(n-2)×180°=900°$
两边同时除以$180°$得：$n-2=5$，解得$n=7$，因此这个多边形是七边形。
2. 任意多边形的外角和均为$360°$，正多边形的每个外角度数相等，因此该正多边形的边数为：
$360°÷30°=12$
因此这个多边形为正十二边形。
【答案】
七；十二
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题是多边形相关性质的基础应用题，只需牢记多边形内角和公式、外角和为360°的性质，就能快速计算得到结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
5. 在四边形 $ABCD$ 中，$∠ D = 60°$，$∠ B$ 比 $∠ A$ 大 $20°$，$∠ C$ 是 $∠ A$ 的 $2$ 倍，则 $∠ A$ 的度数为 ______，$∠ B$ 的度数为 ______，$∠ C$ 的度数为 ______。
答案
5. 70° 90° 140°
解析
【分析】
首先回忆四边形内角和定理，可知四边形内角和为360°。观察题干条件，∠B、∠C的度数都和∠A相关，且已知∠D的度数，因此可以设∠A的度数为未知数，将∠B、∠C都用含该未知数的式子表示，再根据内角和为360°列方程求解即可。
【解析】
四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$。
设$∠ A$的度数为$x$，由题意得：
$∠ B = x + 20°$，$∠ C = 2x$，$∠ D = 60°$。
根据四边形内角和列方程：
$x + (x + 20°) + 2x + 60° = 360°$
合并同类项得：$4x + 80° = 360°$
移项计算得：$4x = 280°$
解得：$x = 70°$
因此$∠ B = 70° + 20° = 90°$，$∠ C = 2×70° = 140°$。
【答案】
$70°$；$90°$；$140°$
【知识点】
四边形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的核心是熟练掌握四边形内角和公式，通过设未知数建立方程的方法能快速理清各角度关系求解。
【难度系数】
0.85
首先回忆四边形内角和定理，可知四边形内角和为360°。观察题干条件，∠B、∠C的度数都和∠A相关，且已知∠D的度数，因此可以设∠A的度数为未知数，将∠B、∠C都用含该未知数的式子表示，再根据内角和为360°列方程求解即可。
【解析】
四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$。
设$∠ A$的度数为$x$，由题意得：
$∠ B = x + 20°$，$∠ C = 2x$，$∠ D = 60°$。
根据四边形内角和列方程：
$x + (x + 20°) + 2x + 60° = 360°$
合并同类项得：$4x + 80° = 360°$
移项计算得：$4x = 280°$
解得：$x = 70°$
因此$∠ B = 70° + 20° = 90°$，$∠ C = 2×70° = 140°$。
【答案】
$70°$；$90°$；$140°$
【知识点】
四边形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的核心是熟练掌握四边形内角和公式，通过设未知数建立方程的方法能快速理清各角度关系求解。
【难度系数】
0.85
6. 如图21-3,过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P,且∠ABP=60°,则∠APB的度数为
图21-3
66°
.图21-3
答案
6. 66°
解析
【分析】
解题时先利用正多边形内角和公式求出正五边形的内角∠EAB的度数，再根据角平分线的性质得到∠PAB的度数，最后在△ABP中利用三角形内角和为180°，即可计算出∠APB的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角$∠ EAB=540°÷5=108°$。
2. 求$∠ PAB$的度数：
因为$AP$平分$∠ EAB$，所以$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ EAB=\frac{1}{2}×108°=54°$。
3. 计算$∠ APB$的度数：
在$△ ABP$中，三角形内角和为$180°$，已知$∠ ABP=60°$，因此$∠ APB=180°-∠ PAB-∠ ABP=180°-54°-60°=66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
正多边形内角和计算；角平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是先明确正五边形的内角度数，再结合角平分线和三角形内角和的性质逐步推导，解题的关键是牢记正多边形内角和公式。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正多边形内角和公式求出正五边形的内角∠EAB的度数，再根据角平分线的性质得到∠PAB的度数，最后在△ABP中利用三角形内角和为180°，即可计算出∠APB的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角$∠ EAB=540°÷5=108°$。
2. 求$∠ PAB$的度数：
因为$AP$平分$∠ EAB$，所以$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ EAB=\frac{1}{2}×108°=54°$。
3. 计算$∠ APB$的度数：
在$△ ABP$中，三角形内角和为$180°$，已知$∠ ABP=60°$，因此$∠ APB=180°-∠ PAB-∠ ABP=180°-54°-60°=66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
正多边形内角和计算；角平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是先明确正五边形的内角度数，再结合角平分线和三角形内角和的性质逐步推导，解题的关键是牢记正多边形内角和公式。
【难度系数】
0.7
7. 如图21-4,八年级数学兴趣小组在探究“$n(n＞3)$边形的相关性质”这一知识点时,设计了如下表格:
图21-4
| 多边形的边数 | 4 | 5 | 6 | … | $n$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 | 1 | 2 | 3 | … | $a$ |
| 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 | 2 | 3 | 4 | … | $b$ |
(1)填空:$a=$
(2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为2 025吗?若能,求出这个多边形的边数;若不能,请说明理由.
图21-4
| 多边形的边数 | 4 | 5 | 6 | … | $n$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 | 1 | 2 | 3 | … | $a$ |
| 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 | 2 | 3 | 4 | … | $b$ |
(1)填空:$a=$
$n-3$
,$b=$$n-2$
. (用含$n$的式子表示)(2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为2 025吗?若能,求出这个多边形的边数;若不能,请说明理由.
答案
7. (1)$n-3$ $n-2$
(2)能，
∵ $a+b=n-3+n-2=2n-5$，当$a+b=2025$时，即$2n-5=2025$，
∴ $n=1015$.
∴ 这个多边形的边数为1015.
(2)能，
∵ $a+b=n-3+n-2=2n-5$，当$a+b=2025$时，即$2n-5=2025$，
∴ $n=1015$.
∴ 这个多边形的边数为1015.
解析
【分析】
(1) 先观察表格中边数与对应a、b的数值关系：边数为4时，a=1=4-3，b=2=4-2；边数为5时，a=2=5-3，b=3=5-2；边数为6时，a=3=6-3，b=4=6-2，依此类推即可推出n边形对应的a、b的表达式。
(2) 先将a和b的表达式相加，得到两者和关于n的代数式，再令其等于2025，解一元一次方程，若解得的n是大于3的正整数，则符合多边形边数要求，否则不符合。
【解析】
(1) 对比表格中边数与对应数值的规律：
n边形从一个顶点引出对角线时，该顶点本身和相邻2个顶点无法连对角线，因此对角线条数$a=n-3$；
这些对角线分割出的三角形个数比对角线条数多1，因此三角形个数$b=n-2$。
(2) 能，求解过程如下：
由题意得$a+b=(n-3)+(n-2)=2n-5$，
令$2n-5=2025$，
移项计算得$2n=2030$，
解得$n=1015$，
1015是大于3的正整数，符合多边形边数的要求。
【答案】
(1) $n-3$；$n-2$
(2) 能，这个多边形的边数为$\boxed{1015}$
【知识点】
多边形对角线规律；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的规律探究题，先通过特殊多边形的性质归纳出通用规律，再结合方程思想求解，考查学生的归纳总结能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察表格中边数与对应a、b的数值关系：边数为4时，a=1=4-3，b=2=4-2；边数为5时，a=2=5-3，b=3=5-2；边数为6时，a=3=6-3，b=4=6-2，依此类推即可推出n边形对应的a、b的表达式。
(2) 先将a和b的表达式相加，得到两者和关于n的代数式，再令其等于2025，解一元一次方程，若解得的n是大于3的正整数，则符合多边形边数要求，否则不符合。
【解析】
(1) 对比表格中边数与对应数值的规律：
n边形从一个顶点引出对角线时，该顶点本身和相邻2个顶点无法连对角线，因此对角线条数$a=n-3$；
这些对角线分割出的三角形个数比对角线条数多1，因此三角形个数$b=n-2$。
(2) 能，求解过程如下：
由题意得$a+b=(n-3)+(n-2)=2n-5$，
令$2n-5=2025$，
移项计算得$2n=2030$，
解得$n=1015$，
1015是大于3的正整数，符合多边形边数的要求。
【答案】
(1) $n-3$；$n-2$
(2) 能，这个多边形的边数为$\boxed{1015}$
【知识点】
多边形对角线规律；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的规律探究题，先通过特殊多边形的性质归纳出通用规律，再结合方程思想求解，考查学生的归纳总结能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
