一、选择题
1. 下列对学生评价正确的是().
A.两名学生的各科平均分相同,说明他们的学习成绩一样
B.学生各科成绩的方差大,说明他的成绩稳定
C.从全面发展看,各科平均分相等时,成绩方差小的学生成绩好
D.学生各科成绩的方差小,说明他的成绩好

1. C

【分析】
要判断各选项的正误，需明确平均数和方差的统计意义：平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。我们逐个分析选项：
1. 对于A选项：两名学生各科平均分相同，仅说明平均水平一致，但成绩的波动情况（方差）可能不同，比如一名学生偏科、一名学生各科成绩均衡，平均分相同但学习成绩的实际情况有差异，因此不能说明他们学习成绩一样。
2. 对于B选项：方差越大，数据的波动越大，成绩越不稳定，该选项与方差的意义相悖，错误。
3. 对于C选项：当各科平均分相等时，说明两人平均水平相同，此时方差小的学生成绩波动小，各科成绩更均衡，从全面发展角度看，这样的成绩更好，该选项正确。
4. 对于D选项：方差小仅说明成绩波动小，但平均分可能较低，比如一名学生各科都考60分，方差小，但成绩并不优秀，因此不能仅根据方差小就说明成绩好，该选项错误。
【解析】
选项A：平均分相同仅代表平均水平一致，成绩的波动情况可能不同，无法说明学习成绩完全一样，A错误。
选项B：方差越大，成绩波动越大，稳定性越差，B错误。
选项C：平均分相等时，平均水平相同，方差小意味着成绩波动小、各科更均衡，从全面发展角度看成绩更好，C正确。
选项D：方差小仅体现成绩稳定，若平均分低，不能说明成绩好，D错误。
【答案】
C
【知识点】
平均数的意义、方差的意义
【点评】
本题核心考查平均数与方差的统计意义，解题关键是明确两者的不同作用：平均数反映平均水平，方差反映成绩波动程度，需结合“全面发展”的实际情境综合判断，避免混淆概念。
【难度系数】
0.7

2. 甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次,他们命中环数的平均数$\bar{x}$相等,但方差不同,$s_{甲}^{2} =$4,$s_{乙}^{2} =25$,则射击成绩较稳定的是().

A.甲
B.乙
C.甲与乙一样稳定
D.无法确定

2. A

【分析】
要解决这道题，首先需明确方差的统计意义：方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据的波动幅度越小，对应的成绩就越稳定。题目中已知甲、乙两人命中环数的平均数相等，只需比较两人方差的大小，即可判断谁的射击成绩更稳定。
【解析】
方差用于反映数据的波动程度，其规律为：方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。
已知$s_{甲}^{2}=4$，$s_{乙}^{2}=25$，由于$4 ＜ 25$，即$s_{甲}^{2} ＜ s_{乙}^{2}$，说明甲的射击成绩波动更小，因此甲的成绩更稳定，故选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题是方差的基础应用题型，核心在于牢记“方差越小，数据越稳定”这一关键结论，只要掌握方差的统计意义就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

3. 某班有 40 人,一次体能测试后,老师对测试成绩进行了统计.由于小亮没有参加本次集体测试,因此计算其他 39 人的平均分为 90 分,方差$s^{2} =41$. 后来小亮进行了补测,成绩为90 分,关于该班 40 人的测试成绩,下列说法正确的是().

A.平均分不变,方差变大
B.平均分不变,方差变小
C.平均分和方差都不变
D.平均分和方差都改变

3. B

39人的总分为$39×90 = 3510$分，40人的总分为$3510 + 90=3600$分，40人的平均分为$\frac{3600}{40}=90$分，平均分不变。
设39人的成绩为$x_1,x_2,···,x_{39}$，则$\frac{1}{39}\sum_{i = 1}^{39}(x_i - 90)^2=41$，即$\sum_{i = 1}^{39}(x_i - 90)^2=39×41 = 1599$。
40人的方差为$\frac{1}{40}[\sum_{i = 1}^{39}(x_i - 90)^2+(90 - 90)^2]=\frac{1599}{40}=39.975$，$39.975＜41$，方差变小。
B

二、填空题
4. 某灯具厂为了比较甲、乙两种灯的使用寿命,各抽出 8 个做试验,结果(单位: h)如下:
甲:457,438,460,443,464,459,444,451;
乙:466,455,467,439,459,452,464,438.
由以上数据可估计:种灯的使用寿命长,种灯的质量比较稳定.

4. 乙 甲

【分析】
要判断哪种灯的使用寿命长，需通过计算两组数据的平均数来比较，平均数越大代表平均使用寿命越长；要判断哪种灯的质量更稳定，需计算两组数据的方差，方差越小说明数据波动越小，质量越稳定。具体步骤为：先分别计算甲、乙两种灯使用寿命的平均数，比较大小确定使用寿命更长的灯；再分别计算两者的方差，比较方差大小确定质量更稳定的灯。
【解析】
1. 计算甲、乙两种灯的平均数：
甲的平均数：$\bar{x}_甲 = \frac{457+438+460+443+464+459+444+451}{8} = \frac{3616}{8} = 452$（h）
乙的平均数：$\bar{x}_乙 = \frac{466+455+467+439+459+452+464+438}{8} = \frac{3640}{8} = 455$（h）
因为$\bar{x}_乙 ＞ \bar{x}_甲$，所以乙种灯的使用寿命更长。
2. 计算甲、乙两种灯的方差：
甲的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{8}[(457-452)^2+(438-452)^2+(460-452)^2+(443-452)^2+(464-452)^2+(459-452)^2+(444-452)^2+(451-452)^2]$
$= \frac{1}{8}(25+196+64+81+144+49+64+1) = 78$
乙的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{8}[(466-455)^2+(455-455)^2+(467-455)^2+(439-455)^2+(459-455)^2+(452-455)^2+(464-455)^2+(438-455)^2]$
$= \frac{1}{8}(121+0+144+256+16+9+81+289) = 114.5$
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，所以甲种灯的质量更稳定。
【答案】
乙；甲
【知识点】
平均数的应用、方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差的实际应用，平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，需熟练掌握两者的计算方法及实际意义。
【难度系数】
0.6

5. 甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛,参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表:

某同学分析上表后得出如下结论:① 甲、乙两班学生成绩平均水平相同;② 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字$≥$150 个为优秀);③ 甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的是(填序号).

5. ①②③

【分析】
要判断三个结论的正确性，需分别结合平均数、中位数、方差的统计意义来分析：
1. 对于结论①，平均水平由平均数体现，只需比较甲乙两班的平均字数；
2. 对于结论②，优秀标准是每分钟输入汉字≥150个，结合中位数的定义（将数据排序后，中间位置的数，55个数据的中位数是第28个数据），分析两班中达到优秀的人数多少；
3. 对于结论③，数据的波动程度由方差体现，方差越大，波动越大，比较甲乙两班的方差大小即可。
【解析】
1. 验证结论①：
甲、乙两班的平均字数均为135，说明两班学生成绩的平均水平相同，故①正确。
2. 验证结论②：
参赛人数为55人，将数据从小到大排序后，中位数是第28个数据。
甲班中位数为149，说明甲班至少有28名学生的输入字数≤149，因此输入字数≥150的人数最多为$55-28=27$人；
乙班中位数为151，说明乙班至少有28名学生的输入字数≥151（即≥150），因此乙班优秀的人数多于甲班，故②正确。
3. 验证结论③：
方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越大，数据的波动越大。
甲班方差为191，乙班方差为110，$191＞110$，说明甲班成绩的波动比乙班大，故③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
平均数的意义、中位数的应用、方差的意义
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需准确理解平均数（反映平均水平）、中位数（反映中间水平，可判断数据分布情况）、方差（反映波动程度）的统计意义，结合题目条件逐一分析结论，避免混淆各统计量的作用。
【难度系数】
0.6

6. 若一组数据 0,$-$2,8,1,$x$的众数是$-$2,则这组数据的方差是.

6. 13.6

∵众数是$-2$，
∴$x=-2$。
数据为$0$，$-2$，$8$，$1$，$-2$。
平均数$\bar{x}=\frac{0 + (-2) + 8 + 1 + (-2)}{5}=\frac{5}{5}=1$。
方差$s^{2}=\frac{1}{5}[(0 - 1)^{2}+(-2 - 1)^{2}+(8 - 1)^{2}+(1 - 1)^{2}+(-2 - 1)^{2}]$
$=\frac{1}{5}[(-1)^{2}+(-3)^{2}+7^{2}+0^{2}+(-3)^{2}]$
$=\frac{1}{5}[1 + 9 + 49 + 0 + 9]$
$=\frac{1}{5}×68 = 13.6$。
13.6