一、选择题
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是()。
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角互补

1. A

【分析】
要解决这道题，需先明确正方形和矩形的性质差异：正方形是特殊的矩形，具备矩形的所有性质，因此我们要找出正方形特有的、矩形不一定具备的性质。
首先回忆两者的核心性质：
1. 矩形的性质：对角线相等且互相平分，四个角都是直角（对角互补）；
2. 正方形的性质：兼具矩形和菱形的性质，即对角线相等、互相平分且垂直，四个角都是直角。
接下来逐个分析选项，对比两者性质，排除矩形和正方形共有的性质，即可得到答案。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：正方形的对角线互相垂直，而矩形的对角线仅满足相等且互相平分，只有当矩形是正方形时对角线才垂直，因此矩形不一定具有该性质，正方形一定具有，符合题意；
选项B：矩形和正方形的对角线都相等，该性质是两者共有的，不符合要求；
选项C：矩形和正方形均为平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此该性质是两者共有的，不符合要求；
选项D：矩形和正方形的四个角都是直角，对角之和为90°+90°=180°，均满足对角互补，该性质是两者共有的，不符合要求。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、矩形的性质
【点评】
本题主要考查特殊四边形（正方形、矩形）的性质辨析，需要熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的性质差异，明确特殊与一般的关系，避免混淆共性与特性。
【难度系数】
0.8

2. 四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AD // BC$，$AD = BC$。有下列条件：① $AC = BD$；② $AB = AD$；③ $AB = CD$；④ $AC ⊥ BD$。要使四边形 $ABCD$ 为正方形，需要同时满足的两个条件是()。

A.①②
B.②③
C.②④
D.①②或①④

2. D

∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
情况一：添加①AC=BD，平行四边形ABCD是矩形；添加②AB=AD，矩形ABCD是正方形。
情况二：添加①AC=BD，平行四边形ABCD是矩形；添加④AC⊥BD，矩形ABCD是正方形。
要使四边形ABCD为正方形，需要同时满足的两个条件是①②或①④。
D

3. 如图所示，在 $Rt△ ABC$ 中，$AB = 4$，点 $M$ 是斜边 $BC$ 的中点，以 $AM$ 为边作正方形 $AMEF$。若 $S_{正方形AMEF} = 16$，则 $S_{△ ABC} =$()。


A.$4\sqrt{3}$
B.$8\sqrt{3}$
C.12
D.16

3. B

证明：
∵四边形$AMEF$是正方形，$S_{正方形AMEF}=16$，
∴$AM^2=16$，则$AM=4$。
在$Rt△ABC$中，$M$是斜边$BC$的中点，
∴$BC=2AM=8$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
设$AC=x$，$AB=4$，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，即$4^2+x^2=8^2$，
解得$x=4\sqrt{3}$（负值舍去）。
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
答案：B

二、填空题
4. 下列性质中，平行四边形具有的是；矩形具有的是；菱形具有的是；正方形具有的是。(填序号)
① 四条边相等；② 对角线互相平分；③ 对角线相等；④ 对角线互相垂直；⑤ 四个角都是直角；⑥ 每条对角线平分一组对角；⑦ 对边相等且平行；⑧ 有对称轴。

4. ②⑦ ②③⑤⑦⑧ ①②④⑥⑦⑧ ①②③④⑤⑥⑦⑧

【分析】
要解决这道题，需先明确平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质差异，再逐一匹配题目给出的性质：
1. 先回忆平行四边形的基本性质：对边平行且相等，对角线互相平分，据此筛选对应性质；
2. 矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角为直角、对角线相等、是轴对称图形的特性；
3. 菱形也是特殊的平行四边形，除平行四边形性质外，还具备四条边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角、是轴对称图形的特性；
4. 正方形是兼具矩形和菱形特点的特殊四边形，因此具备所有列出的性质。
【解析】
平行四边形：根据其性质，拥有对边相等且平行（⑦）、对角线互相平分（②）的性质，故填②⑦；
矩形：作为特殊平行四边形，除平行四边形的性质外，还具有四个角都是直角（⑤）、对角线相等（③）、有对称轴（⑧）的性质，故填②③⑤⑦⑧；
菱形：作为特殊平行四边形，除平行四边形的性质外，还具有四条边相等（①）、对角线互相垂直（④）、每条对角线平分一组对角（⑥）、有对称轴（⑧）的性质，故填①②④⑥⑦⑧；
正方形：兼具矩形和菱形的所有性质，因此具备题目中所有8个性质，故填①②③④⑤⑥⑦⑧。
【答案】
②⑦；②③⑤⑦⑧；①②④⑥⑦⑧；①②③④⑤⑥⑦⑧
【知识点】
平行四边形性质、矩形性质、菱形与正方形性质
【点评】
本题聚焦平行四边形及各类特殊四边形的性质辨析，考查学生对不同四边形共性与特性的掌握程度，属于基础题型，需准确区分各类图形的专属性质，避免混淆。
【难度系数】
0.8

5. 已知正方形 $ABCD$，以 $AD$ 为一边作等边三角形 $ADE$，则 $∠ BED$ 的度数为。

5. 45°或 135°

情况一：等边三角形 $ADE$ 在正方形 $ABCD$ 外部
四边形 $ABCD$ 为正方形，$AB=AD$，$∠ BAD=90°$。
$△ ADE$ 为等边三角形，$AD=AE$，$∠ DAE=60°$。
$∠ BAE = ∠ BAD + ∠ DAE = 90° + 60° = 150°$，且 $AB=AE$，故 $△ ABE$ 为等腰三角形。
$∠ AEB = \frac{180° - 150°}{2} = 15°$。
$∠ AED = 60°$，则 $∠ BED = ∠ AED - ∠ AEB = 60° - 15° = 45°$。
情况二：等边三角形 $ADE$ 在正方形 $ABCD$ 内部
$∠ BAE = ∠ BAD - ∠ DAE = 90° - 60° = 30°$，且 $AB=AE$，故 $△ ABE$ 为等腰三角形。
$∠ AEB = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$。
$∠ AED = 60°$，则 $∠ BED = ∠ AEB + ∠ AED = 75° + 60° = 135°$。
答案：$45°$ 或 $135°$

6. 如图所示，已知点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 的边 $AB$ 上，以 $BE$ 为一边向正方形 $ABCD$ 外部作正方形 $BEFG$，连接 $DF$，$M$，$N$ 分别是 $DC$，$DF$ 的中点，连接 $MN$。若 $AB = 7$，$BE = 5$，则 $MN$ 的长为。

6. 6.5 提示：连接 FC

解：连接FC。
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=7，BE=EF=FG=BG=5，∠G=∠CBE=∠ABC=90°。
∴GC=GB+BC=5+7=12，FG=5。
在Rt△FGC中，FC=$\sqrt{FG^2+GC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
∵M，N分别是DC，DF的中点，
∴MN是△DFC的中位线。
∴MN=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}×13=6.5$。
故答案为6.5。

三、解答题
7. 如图所示，$E$ 为正方形 $ABCD$ 内一点，且 $△ EBC$ 是等边三角形，求 $∠ EAD$ 与 $∠ ECD$ 的度数。

7. ∠EAD=15°，∠ECD=30°

解：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC=CD=AD$，$∠ BAD=∠ ABC=∠ BCD=∠ ADC=90°$。
∵$△ EBC$是等边三角形，
∴$EB=EC=BC$，$∠ EBC=∠ ECB=60°$。
求$∠ EAD$：
$∠ ABE=∠ ABC-∠ EBC=90°-60°=30°$。
∵$AB=BC=EB$，
∴$△ ABE$是等腰三角形，$∠ BAE=\frac{180°-∠ ABE}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
∴$∠ EAD=∠ BAD-∠ BAE=90°-75°=15°$。
求$∠ ECD$：
$∠ ECD=∠ BCD-∠ ECB=90°-60°=30°$。
综上，$∠ EAD=15°$，$∠ ECD=30°$。