8. 将下列方程化为 $(x + p)^2 = q$ 的形式：
(1) $x^2 + 4x = 1$；
(3) $x^2 - 2\sqrt{6}x = 10$；

(1) $x^2 + 4x = 1$，两边同时加$4$得$x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$，即$(x + 2)^2 = 5$；
(2) $x^2 - 2\sqrt{6}x = 10$，两边同时加$6$得$x^2 - 2\sqrt{6}x + 6 = 10 + 6$，即$(x - \sqrt{6})^2 = 16$。

(1) $x^2 + 4x = 1$，两边同时加$4$得$x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$，即$(x + 2)^2 = 5$；
(2) $x^2 - 2\sqrt{6}x = 10$，两边同时加$6$得$x^2 - 2\sqrt{6}x + 6 = 10 + 6$，即$(x - \sqrt{6})^2 = 16$。

9. 解方程：
(1) $(2x + 1)^2 = (x - 1)^2$；
(2) $x^2 + \frac{3}{4}x = 1$；
(3) $2x^2 - 5x + 10 = 0$。
(4) $(2x + 3)^2 = 9(x - 1)^2$。

$(1)$ 解方程$(2x + 1)^2 = (x - 1)^2$
解：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对$(2x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 0$进行变形可得：
$[(2x + 1)+(x - 1)][(2x + 1)-(x - 1)] = 0$
即$(2x + 1+x - 1)(2x + 1 - x + 1)=0$
化简得$x( x + 2)=0$
则$x = 0$或$x + 2 = 0$
解得$x_1 = 0$，$x_2=-2$。
$(2)$ 解方程$x^2+\frac{3}{4}x = 1$
解：
将方程化为一般形式$x^2+\frac{3}{4}x - 1 = 0$。
其中$a = 1$，$b=\frac{3}{4}$，$c=-1$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^2 - 4ac=(\frac{3}{4})^2-4×1×(-1)=\frac{9}{16}+4=\frac{9 + 64}{16}=\frac{73}{16}＞0$。
则$x=\frac{-\frac{3}{4}\pm\sqrt{\frac{73}{16}}}{2×1}=\frac{-\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{73}}{4}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{8}$
所以$x_1=\frac{-3 + \sqrt{73}}{8}$，$x_2=\frac{-3 - \sqrt{73}}{8}$。
$(3)$ 解方程$2x^2 - 5x + 10 = 0$
解：
其中$a = 2$，$b=-5$，$c = 10$。
计算判别式$\Delta=b^2 - 4ac=(-5)^2-4×2×10=25 - 80=-55＜0$。
因为$\Delta＜0$，所以此方程无实数根。
$(4)$ 解方程$(2x + 3)^2 = 9(x - 1)^2$
解：
将方程变形为$(2x + 3)^2-[3(x - 1)]^2 = 0$。
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2x + 3$，$b = 3(x - 1)$，则$[(2x + 3)+3(x - 1)][(2x + 3)-3(x - 1)] = 0$
即$(2x + 3+3x - 3)(2x + 3 - 3x + 3)=0$
化简得$5x(-x + 6)=0$
则$5x = 0$或$-x + 6 = 0$
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 6$。

(1) $(2x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 0$
$(2x + 1 + x - 1)(2x + 1 - x + 1) = 0$
$3x(x + 2) = 0$
$3x = 0$ 或 $x + 2 = 0$
$x_1 = 0$，$x_2 = -2$
(2) $x^2 + \frac{3}{4}x - 1 = 0$
$4x^2 + 3x - 4 = 0$
$a = 4$，$b = 3$，$c = -4$
$\Delta = 3^2 - 4 × 4 × (-4) = 9 + 64 = 73$
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{2 × 4} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{8}$
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{73}}{8}$，$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{73}}{8}$
(3) $2x^2 - 5x + 10 = 0$
$a = 2$，$b = -5$，$c = 10$
$\Delta = (-5)^2 - 4 × 2 × 10 = 25 - 80 = -55 ＜ 0$
方程无实数根
(4) $(2x + 3)^2 - 9(x - 1)^2 = 0$
$(2x + 3 + 3x - 3)(2x + 3 - 3x + 3) = 0$
$5x(-x + 6) = 0$
$5x = 0$ 或 $-x + 6 = 0$
$x_1 = 0$，$x_2 = 6$