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一、选择题
1. 方程 $2(x + 1)^2 - 5 = 3$ 的根是(
A.$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
B.$x_1 = -1$，$x_2 = 3$
C.$x_1 = -2$，$x_2 = 6$
D.$x_1 = 2$，$x_2 = -6$
1. 方程 $2(x + 1)^2 - 5 = 3$ 的根是(
A
)。A.$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
B.$x_1 = -1$，$x_2 = 3$
C.$x_1 = -2$，$x_2 = 6$
D.$x_1 = 2$，$x_2 = -6$
答案
1. A
解析
解：$2(x + 1)^2 - 5 = 3$
$2(x + 1)^2 = 8$
$(x + 1)^2 = 4$
$x + 1 = \pm 2$
$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
A
$2(x + 1)^2 = 8$
$(x + 1)^2 = 4$
$x + 1 = \pm 2$
$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
A
2. 有下列方程：① $4x^2 = 1$；② $x^2 + 2x - 1 = 0$；③ $3x^2 - x = 0$；④ $-(2x + 1)^2 + 4 = 0$。其中能用直接开平方法求解的是(
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
C
)。A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
答案
2. C
解析
①方程$4x^2 = 1$可化为$x^2=\frac{1}{4}$，能用直接开平方法求解；
④方程$-(2x + 1)^2 + 4 = 0$可化为$(2x + 1)^2=4$，能用直接开平方法求解；
②方程$x^2 + 2x - 1 = 0$和③方程$3x^2 - x = 0$不能直接化为平方形式，不能用直接开平方法求解。
能用直接开平方法求解的是①④。
C
④方程$-(2x + 1)^2 + 4 = 0$可化为$(2x + 1)^2=4$，能用直接开平方法求解；
②方程$x^2 + 2x - 1 = 0$和③方程$3x^2 - x = 0$不能直接化为平方形式，不能用直接开平方法求解。
能用直接开平方法求解的是①④。
C
3. 用配方法解方程 $x^2 + 3x = 5$，应把方程的两边同时(
A.加 $\frac{3}{2}$
B.加 $\frac{9}{4}$
C.减 $\frac{3}{2}$
D.减 $\frac{9}{4}$
B
)。A.加 $\frac{3}{2}$
B.加 $\frac{9}{4}$
C.减 $\frac{3}{2}$
D.减 $\frac{9}{4}$
答案
3. B
解析
用配方法解方程$x^2 + 3x = 5$，配方时需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$。
B
B
二、填空题
4. 方程 $2(x - 3)^2 = 72$ 的根为
4. 方程 $2(x - 3)^2 = 72$ 的根为
$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -3 $
。答案
4. $ x_1 = 9 $，$ x_2 = -3 $
解析
【分析】
要解这个一元二次方程，首先观察方程形式为$2(x - 3)^2 = 72$，可以先把方程左边的系数化为1，即两边同时除以2，将方程转化为$(x - 3)^2 = 36$的形式，再利用直接开平方法，因为一个数的平方等于36，那么这个数是6或-6，由此得到两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
1. 方程两边同时除以2，得：
$(x - 3)^2 = 36$
2. 对等式两边直接开平方，得：
$x - 3 = ±6$
3. 分两种情况求解：
当$x - 3 = 6$时，解得$x = 9$；
当$x - 3 = -6$时，解得$x = -3$。
【答案】
$x_1 = 9$，$x_2 = -3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题是基础的一元二次方程求解问题，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是先将方程化为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再通过开平方转化为两个一元一次方程求解，整体步骤简洁，易于掌握。
【难度系数】
0.8
要解这个一元二次方程，首先观察方程形式为$2(x - 3)^2 = 72$，可以先把方程左边的系数化为1，即两边同时除以2，将方程转化为$(x - 3)^2 = 36$的形式，再利用直接开平方法，因为一个数的平方等于36，那么这个数是6或-6，由此得到两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
1. 方程两边同时除以2，得：
$(x - 3)^2 = 36$
2. 对等式两边直接开平方，得：
$x - 3 = ±6$
3. 分两种情况求解：
当$x - 3 = 6$时，解得$x = 9$；
当$x - 3 = -6$时，解得$x = -3$。
【答案】
$x_1 = 9$，$x_2 = -3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题是基础的一元二次方程求解问题，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是先将方程化为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再通过开平方转化为两个一元一次方程求解，整体步骤简洁，易于掌握。
【难度系数】
0.8
5. 若关于 $x$ 的方程 $x^2 - m = 0$ 有整数根，则 $m$ 的值可以是
答案不唯一，如 4
(只填一个即可)。答案
5. 答案不唯一，如 4
解析
【分析】
首先将方程变形为$x^2 = m$，因为方程有整数根，即$x$为整数，那么$m$必然是某个整数的平方（整数的平方仍是整数，且此时$x$为该整数或其相反数，满足整数根的要求）。我们只需选取一个整数，计算它的平方就能得到符合条件的$m$值，比如取整数2，它的平方是4，此时$x=\pm2$，均为整数，满足方程有整数根的条件。
【解析】
1. 对原方程进行移项变形：
$x^2 - m = 0$移项得$x^2 = m$。
2. 分析整数根的条件：
因为方程有整数根，即$x$为整数，所以$m$必须是某个整数的平方。
3. 举例验证：
当取整数$x=2$时，$m=2^2=4$，此时方程的根为$x=\pm2$，均为整数，符合题目要求。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程的整数根
2. 平方数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程解的特征与平方数的性质，答案不唯一，所有正的完全平方数均符合要求。题目较为基础，侧重引导学生理解方程参数与解的关系，培养发散思维。
【难度系数】
0.9
首先将方程变形为$x^2 = m$，因为方程有整数根，即$x$为整数，那么$m$必然是某个整数的平方（整数的平方仍是整数，且此时$x$为该整数或其相反数，满足整数根的要求）。我们只需选取一个整数，计算它的平方就能得到符合条件的$m$值，比如取整数2，它的平方是4，此时$x=\pm2$，均为整数，满足方程有整数根的条件。
【解析】
1. 对原方程进行移项变形：
$x^2 - m = 0$移项得$x^2 = m$。
2. 分析整数根的条件：
因为方程有整数根，即$x$为整数，所以$m$必须是某个整数的平方。
3. 举例验证：
当取整数$x=2$时，$m=2^2=4$，此时方程的根为$x=\pm2$，均为整数，符合题目要求。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程的整数根
2. 平方数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程解的特征与平方数的性质，答案不唯一，所有正的完全平方数均符合要求。题目较为基础，侧重引导学生理解方程参数与解的关系，培养发散思维。
【难度系数】
0.9
6. $x^2 - 3x +$
$ \dfrac{9}{4} $
$= (x -$$ \dfrac{3}{2} $
$)^2$。答案
6. $ \dfrac{9}{4} $ $ \dfrac{3}{2} $
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的逆用，需利用完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$的结构特征求解。观察等式左边的二次项$x^2$和一次项$-3x$，对比公式可知$a = x$，一次项$-3x$对应公式中的$-2ab$，先据此求出$b$的值，再由$b^2$得到等式左边的常数项。
【解析】
根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，对等式两边进行对比分析：
1. 确定$a = x$，等式左边的一次项$-3x$对应公式中的$-2ab$，即：
$-2ab = -3x$，将$a = x$代入得$-2x · b = -3x$，化简可得$2b = 3$，解得$b = \dfrac{3}{2}$，即第二个空填$\dfrac{3}{2}$。
2. 等式左边的常数项对应公式中的$b^2$，计算得：
$b^2 = (\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$，即第一个空填$\dfrac{9}{4}$。
【答案】
$\dfrac{9}{4}$；$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式、配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心是掌握完全平方公式的结构特征，明确二次项、一次项与常数项的关系，通过对比系数即可快速求解，考查对公式的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.9
这道题考查完全平方公式的逆用，需利用完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$的结构特征求解。观察等式左边的二次项$x^2$和一次项$-3x$，对比公式可知$a = x$，一次项$-3x$对应公式中的$-2ab$，先据此求出$b$的值，再由$b^2$得到等式左边的常数项。
【解析】
根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，对等式两边进行对比分析：
1. 确定$a = x$，等式左边的一次项$-3x$对应公式中的$-2ab$，即：
$-2ab = -3x$，将$a = x$代入得$-2x · b = -3x$，化简可得$2b = 3$，解得$b = \dfrac{3}{2}$，即第二个空填$\dfrac{3}{2}$。
2. 等式左边的常数项对应公式中的$b^2$，计算得：
$b^2 = (\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$，即第一个空填$\dfrac{9}{4}$。
【答案】
$\dfrac{9}{4}$；$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式、配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心是掌握完全平方公式的结构特征，明确二次项、一次项与常数项的关系，通过对比系数即可快速求解，考查对公式的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.9
三、解答题
7. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $3x^2 - 75 = 0$；
(2) $(x + 4)^2 - 8 = 0$；
(3) $5m^2 = 125$；
(4) $3(x + 1)^2 = 12$。
7. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $3x^2 - 75 = 0$；
(2) $(x + 4)^2 - 8 = 0$；
(3) $5m^2 = 125$；
(4) $3(x + 1)^2 = 12$。
答案
7. (1) $ x_1 = 5 $，$ x_2 = -5 $ (2) $ x_1 = 2\sqrt{2} - 4 $，$ x_2 = -2\sqrt{2} - 4 $ (3) $ m_1 = 5 $，$ m_2 = -5 $ (4) $ x_1 = 1 $，$ x_2 = -3 $
解析
(1) $3x^2 - 75 = 0$
$3x^2 = 75$
$x^2 = 25$
$x = \pm 5$
$x_1 = 5$，$x_2 = -5$
(2) $(x + 4)^2 - 8 = 0$
$(x + 4)^2 = 8$
$x + 4 = \pm 2\sqrt{2}$
$x = -4 \pm 2\sqrt{2}$
$x_1 = 2\sqrt{2} - 4$，$x_2 = -2\sqrt{2} - 4$
(3) $5m^2 = 125$
$m^2 = 25$
$m = \pm 5$
$m_1 = 5$，$m_2 = -5$
(4) $3(x + 1)^2 = 12$
$(x + 1)^2 = 4$
$x + 1 = \pm 2$
$x = -1 \pm 2$
$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
$3x^2 = 75$
$x^2 = 25$
$x = \pm 5$
$x_1 = 5$，$x_2 = -5$
(2) $(x + 4)^2 - 8 = 0$
$(x + 4)^2 = 8$
$x + 4 = \pm 2\sqrt{2}$
$x = -4 \pm 2\sqrt{2}$
$x_1 = 2\sqrt{2} - 4$，$x_2 = -2\sqrt{2} - 4$
(3) $5m^2 = 125$
$m^2 = 25$
$m = \pm 5$
$m_1 = 5$，$m_2 = -5$
(4) $3(x + 1)^2 = 12$
$(x + 1)^2 = 4$
$x + 1 = \pm 2$
$x = -1 \pm 2$
$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
