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8. 已知一组数据 30，30，31，32，35，36，36，38，39，40，求：
(1) 总体离差平方和；
(2) 若将前 4 个数据作为一组，求组内离差平方和。
(1) 总体离差平方和；
(2) 若将前 4 个数据作为一组，求组内离差平方和。
答案
8. (1) 126.1 (2) 22.1
解析
【分析】
要解决这两个问题，需明确不同离差平方和的定义与计算逻辑：
1. 总体离差平方和：需先计算所有数据的总体均值，再将每个数据与总体均值的差的平方相加，也可通过“数据平方和减去数据个数乘以均值平方”的公式简化计算。
2. 组内离差平方和：题目将前4个数据作为一组，剩余6个为另一组，组内离差平方和是两组各自的组内离差平方和之和，需分别计算每组的组均值，再求每组数据与组均值差的平方和，最后相加得到结果。
【解析】
(1) 计算总体离差平方和：
① 计算总体均值$\bar{x}$：
数据总和为$30+30+31+32+35+36+36+38+39+40=347$，数据个数$n=10$，
则$\bar{x}=\frac{347}{10}=34.7$。
② 计算总体离差平方和：
利用公式“总体离差平方和$=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$”，代入数据计算：
$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{10}(x_i-34.7)^2\\=&(30-34.7)^2×2+(31-34.7)^2+(32-34.7)^2+(35-34.7)^2+(36-34.7)^2×2+(38-34.7)^2+(39-34.7)^2+(40-34.7)^2\\=&(-4.7)^2×2+(-3.7)^2+(-2.7)^2+(0.3)^2+(1.3)^2×2+(3.3)^2+(4.3)^2+(5.3)^2\\=&22.09×2+13.69+7.29+0.09+1.69×2+10.89+18.49+28.09\\=&44.18+13.69+7.29+0.09+3.38+10.89+18.49+28.09\\=&126.1\end{aligned}$
(2) 计算组内离差平方和：
将数据分为两组：A组（前4个：30,30,31,32），B组（后6个：35,36,36,38,39,40）。
① 计算A组的组内离差平方和：
A组均值$\bar{x}_A=\frac{30+30+31+32}{4}=\frac{123}{4}=30.75$，
$\begin{aligned}SS_A&=(30-30.75)^2×2+(31-30.75)^2+(32-30.75)^2\\=&(-0.75)^2×2+(0.25)^2+(1.25)^2\\=&0.5625×2+0.0625+1.5625\\=&1.125+0.0625+1.5625\\=&2.75\end{aligned}$
② 计算B组的组内离差平方和：
B组均值$\bar{x}_B=\frac{35+36+36+38+39+40}{6}=\frac{224}{6}\approx37.333$，
$\begin{aligned}SS_B&\approx(35-37.333)^2+(36-37.333)^2×2+(38-37.333)^2+(39-37.333)^2+(40-37.333)^2\\&\approx(-2.333)^2+(-1.333)^2×2+(0.667)^2+(1.667)^2+(2.667)^2\\&\approx5.444+3.556+0.444+2.778+7.111\\&\approx19.333\end{aligned}$
③ 组内离差平方和为两组结果之和：
$SS_内=SS_A+SS_B\approx2.75+19.333\approx22.1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{126.1}$；(2) $\boldsymbol{22.1}$
【知识点】
离差平方和计算；均值计算；组内变异分析
【点评】
本题核心考查离差平方和的基本概念与计算，需区分总体离差平方和与组内离差平方和的定义差异。计算过程中需注意均值的准确性，以及平方运算的精度，避免因计算失误导致结果偏差。
【难度系数】
0.4
要解决这两个问题，需明确不同离差平方和的定义与计算逻辑：
1. 总体离差平方和：需先计算所有数据的总体均值，再将每个数据与总体均值的差的平方相加，也可通过“数据平方和减去数据个数乘以均值平方”的公式简化计算。
2. 组内离差平方和：题目将前4个数据作为一组，剩余6个为另一组，组内离差平方和是两组各自的组内离差平方和之和，需分别计算每组的组均值，再求每组数据与组均值差的平方和，最后相加得到结果。
【解析】
(1) 计算总体离差平方和：
① 计算总体均值$\bar{x}$：
数据总和为$30+30+31+32+35+36+36+38+39+40=347$，数据个数$n=10$，
则$\bar{x}=\frac{347}{10}=34.7$。
② 计算总体离差平方和：
利用公式“总体离差平方和$=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$”，代入数据计算：
$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{10}(x_i-34.7)^2\\=&(30-34.7)^2×2+(31-34.7)^2+(32-34.7)^2+(35-34.7)^2+(36-34.7)^2×2+(38-34.7)^2+(39-34.7)^2+(40-34.7)^2\\=&(-4.7)^2×2+(-3.7)^2+(-2.7)^2+(0.3)^2+(1.3)^2×2+(3.3)^2+(4.3)^2+(5.3)^2\\=&22.09×2+13.69+7.29+0.09+1.69×2+10.89+18.49+28.09\\=&44.18+13.69+7.29+0.09+3.38+10.89+18.49+28.09\\=&126.1\end{aligned}$
(2) 计算组内离差平方和：
将数据分为两组：A组（前4个：30,30,31,32），B组（后6个：35,36,36,38,39,40）。
① 计算A组的组内离差平方和：
A组均值$\bar{x}_A=\frac{30+30+31+32}{4}=\frac{123}{4}=30.75$，
$\begin{aligned}SS_A&=(30-30.75)^2×2+(31-30.75)^2+(32-30.75)^2\\=&(-0.75)^2×2+(0.25)^2+(1.25)^2\\=&0.5625×2+0.0625+1.5625\\=&1.125+0.0625+1.5625\\=&2.75\end{aligned}$
② 计算B组的组内离差平方和：
B组均值$\bar{x}_B=\frac{35+36+36+38+39+40}{6}=\frac{224}{6}\approx37.333$，
$\begin{aligned}SS_B&\approx(35-37.333)^2+(36-37.333)^2×2+(38-37.333)^2+(39-37.333)^2+(40-37.333)^2\\&\approx(-2.333)^2+(-1.333)^2×2+(0.667)^2+(1.667)^2+(2.667)^2\\&\approx5.444+3.556+0.444+2.778+7.111\\&\approx19.333\end{aligned}$
③ 组内离差平方和为两组结果之和：
$SS_内=SS_A+SS_B\approx2.75+19.333\approx22.1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{126.1}$；(2) $\boldsymbol{22.1}$
【知识点】
离差平方和计算；均值计算；组内变异分析
【点评】
本题核心考查离差平方和的基本概念与计算，需区分总体离差平方和与组内离差平方和的定义差异。计算过程中需注意均值的准确性，以及平方运算的精度，避免因计算失误导致结果偏差。
【难度系数】
0.4
9. 某果园对采摘完毕的果实进行检测，从中抽取了 10 个称得重量(单位：g)如下：
60，65，68，72，30，71，64，63，59，35.
请计算本组数据的总体离差平方和，并按照“组内离差平方和最小”的原则分为两组，计算此时的组内离差平方和与组间离差平方和。
60，65，68，72，30，71，64，63，59，35.
请计算本组数据的总体离差平方和，并按照“组内离差平方和最小”的原则分为两组，计算此时的组内离差平方和与组间离差平方和。
答案
9. 本组数据的总体离差平方和为 1888.1，把数据从小到大排列，分组计算如表所示，按第一组 2 个数据，第二组 8 个数据分组时“组内离差平方和最小”，为 172，此时组间离差平方和为 1716.1
![img alt=题号9]
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解析
【分析】
解题分为三步：首先计算总体离差平方和，需先求出数据的总体均值，再计算每个数据与均值差的平方和；其次按照“组内离差平方和最小”原则分组，先将数据从小到大排序，再枚举不同的分组方式（如1个与9个、2个与8个等），分别计算每种分组的组内离差平方和，找到最小值；最后利用“总体离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和”的关系，求出组间离差平方和。
【解析】
1. 计算总体均值：
$\bar{x} = \frac{60+65+68+72+30+71+64+63+59+35}{10} = 58.7\ \mathrm{g}$
2. 计算总体离差平方和：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{总}}&=(60-58.7)^2+(65-58.7)^2+(68-58.7)^2+(72-58.7)^2+(30-58.7)^2\\&\quad+(71-58.7)^2+(64-58.7)^2+(63-58.7)^2+(59-58.7)^2+(35-58.7)^2\\&=1.69+39.69+86.49+176.89+823.69+151.29+28.09+18.49+0.09+561.69\\&=1888.1\end{aligned}$
3. 分组并计算组内离差平方和：
将数据从小到大排序：30，35，59，60，63，64，65，68，71，72。
枚举不同分组方式，计算组内离差平方和：
分组为[30,35]和[59,60,63,64,65,68,71,72]：
第一组均值：$\bar{x}_1=\frac{30+35}{2}=32.5$，组内离差平方和：$(30-32.5)^2+(35-32.5)^2=6.25+6.25=12.5$
第二组均值：$\bar{x}_2=\frac{59+60+63+64+65+68+71+72}{8}=65.25$，组内离差平方和：
$\begin{aligned}&(59-65.25)^2+(60-65.25)^2+(63-65.25)^2+(64-65.25)^2\\&+(65-65.25)^2+(68-65.25)^2+(71-65.25)^2+(72-65.25)^2\\=&39.0625+27.5625+5.0625+1.5625+0.0625+7.5625+33.0625+45.5625\\=&159.5\end{aligned}$
组内离差平方和总和：$12.5+159.5=172$，经枚举其他分组方式（如1个与9个、3个与7个等），该分组的组内离差平方和最小。
4. 计算组间离差平方和：
根据$S_{\mathrm{总}}=S_{\mathrm{组内}}+S_{\mathrm{组间}}$，可得：
$S_{\mathrm{组间}}=1888.1-172=1716.1$
【答案】
总体离差平方和为1888.1；组内离差平方和最小为172，此时组间离差平方和为1716.1。
【知识点】
离差平方和计算，组内与组间离差平方和，分组优化原则
【点评】
本题考查离差平方和的相关计算，需要熟练掌握总体、组内、组间离差平方和的计算方法及三者的关系。解题过程中需先排序再枚举分组，计算量较大，考验学生的细心程度与逻辑分析能力，需注意每一步的计算准确性。
【难度系数】
0.3
解题分为三步：首先计算总体离差平方和，需先求出数据的总体均值，再计算每个数据与均值差的平方和；其次按照“组内离差平方和最小”原则分组，先将数据从小到大排序，再枚举不同的分组方式（如1个与9个、2个与8个等），分别计算每种分组的组内离差平方和，找到最小值；最后利用“总体离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和”的关系，求出组间离差平方和。
【解析】
1. 计算总体均值：
$\bar{x} = \frac{60+65+68+72+30+71+64+63+59+35}{10} = 58.7\ \mathrm{g}$
2. 计算总体离差平方和：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{总}}&=(60-58.7)^2+(65-58.7)^2+(68-58.7)^2+(72-58.7)^2+(30-58.7)^2\\&\quad+(71-58.7)^2+(64-58.7)^2+(63-58.7)^2+(59-58.7)^2+(35-58.7)^2\\&=1.69+39.69+86.49+176.89+823.69+151.29+28.09+18.49+0.09+561.69\\&=1888.1\end{aligned}$
3. 分组并计算组内离差平方和：
将数据从小到大排序：30，35，59，60，63，64，65，68，71，72。
枚举不同分组方式，计算组内离差平方和：
分组为[30,35]和[59,60,63,64,65,68,71,72]：
第一组均值：$\bar{x}_1=\frac{30+35}{2}=32.5$，组内离差平方和：$(30-32.5)^2+(35-32.5)^2=6.25+6.25=12.5$
第二组均值：$\bar{x}_2=\frac{59+60+63+64+65+68+71+72}{8}=65.25$，组内离差平方和：
$\begin{aligned}&(59-65.25)^2+(60-65.25)^2+(63-65.25)^2+(64-65.25)^2\\&+(65-65.25)^2+(68-65.25)^2+(71-65.25)^2+(72-65.25)^2\\=&39.0625+27.5625+5.0625+1.5625+0.0625+7.5625+33.0625+45.5625\\=&159.5\end{aligned}$
组内离差平方和总和：$12.5+159.5=172$，经枚举其他分组方式（如1个与9个、3个与7个等），该分组的组内离差平方和最小。
4. 计算组间离差平方和：
根据$S_{\mathrm{总}}=S_{\mathrm{组内}}+S_{\mathrm{组间}}$，可得：
$S_{\mathrm{组间}}=1888.1-172=1716.1$
【答案】
总体离差平方和为1888.1；组内离差平方和最小为172，此时组间离差平方和为1716.1。
【知识点】
离差平方和计算，组内与组间离差平方和，分组优化原则
【点评】
本题考查离差平方和的相关计算，需要熟练掌握总体、组内、组间离差平方和的计算方法及三者的关系。解题过程中需先排序再枚举分组，计算量较大，考验学生的细心程度与逻辑分析能力，需注意每一步的计算准确性。
【难度系数】
0.3
