一、选择题
1. 一组数据 3，3，3，3 的总体离差平方和是()。
A.0
B.3
C.9
D.15

1. A

【分析】
要解决这道题，首先需要明确总体离差平方和的计算方法：总体离差平方和是每个数据与总体均值的差的平方之和。解题步骤分为三步：第一步计算这组数据的总体均值；第二步计算每个数据与均值的离差；第三步将所有离差平方后求和。观察题目中的数据，所有数据都是3，先计算均值，再逐步推导即可得到结果。
【解析】
1. 计算总体均值$\bar{x}$：
$\bar{x} = \frac{3+3+3+3}{4} = 3$
2. 计算每个数据与均值的离差：
每个数据为3，与均值3的离差为$3 - 3 = 0$，四个数据的离差均为0。
3. 计算总体离差平方和：
将每个离差平方后求和，即$0^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0$。
因此，这组数据的总体离差平方和是0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
总体离差平方和计算、算术平均数计算
【点评】
本题考查总体离差平方和的基础概念与计算方法，数据特征明显（所有数据相同），重点在于理解离差平方和的定义，属于基础概念题，能帮助学生巩固统计量的核心定义。
【难度系数】
0.9

2. 一组数据 1，2，3，4，5，6，如果前 3 个数据 1，2，3 为一组，后 3 个数据为一组，则组内离差平方和是()。

A.0
B.4
C.9
D.13.5

2. B

前3个数据1，2，3的平均数为$\frac{1+2+3}{3}=2$，其离差平方和为$(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2=1+0+1=2$；后3个数据4，5，6的平均数为$\frac{4+5+6}{3}=5$，其离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$；组内离差平方和为$2+2=4$。
B

3. 一组数据分为两组，总体离差平方和为 $ S^2 $，组内离差平方和为 $ S_1^2 $，组间离差平方和为 $ S_2^2 $，则一定有()。

A.$ S^2 ＞ S_1^2 $
B.$ S^2 ＞ S_2^2 $
C.$ S_1^2 ≠ S_2^2 $
D.$ S^2 = S_1^2 + S_2^2 $

3. D

【分析】
要解决本题，需回忆统计学中离差平方和的分解关系：首先明确总体离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和的基本定义与相互关系。解题思路是：先判断各选项是否符合恒成立的结论，再利用排除法结合核心定理确定正确选项。
1. 首先回忆核心定理：总体离差平方和的分解是方差分析的基础，其恒等于组内离差平方和与组间离差平方和之和；
2. 逐一分析选项：对于A选项，当组间无差异时，组间离差平方和为0，此时总体离差平方和等于组内离差平方和，故A不成立；对于B选项，当组内无差异时，组内离差平方和为0，此时总体离差平方和等于组间离差平方和，故B不成立；对于C选项，存在组内与组间离差平方和相等的情况（如总体离差平方和为2k，两者均为k），故C不成立；只有D选项是离差平方和的恒等分解式，一定成立。
【解析】
根据统计学中离差平方和的分解定理：对于分组数据，总体离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和，即$ S^2 = S_1^2 + S_2^2 $，这是方差分析中的基本恒等式。
对各选项逐一分析：
选项A：当组间离差平方和$ S_2^2=0 $时，$ S^2 = S_1^2 $，并非$ S^2 ＞ S_1^2 $恒成立，故A错误；
选项B：当组内离差平方和$ S_1^2=0 $时，$ S^2 = S_2^2 $，并非$ S^2 ＞ S_2^2 $恒成立，故B错误；
选项C：存在$ S_1^2 = S_2^2 $的情况（如$ S^2=2k $，$ S_1^2=S_2^2=k $），故C错误；
选项D：由离差平方和的分解定理可知，$ S^2 = S_1^2 + S_2^2 $一定成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
离差平方和分解
【点评】
本题考查统计学中离差平方和的基础分解关系，属于概念识记类题目。解题关键是牢记总体离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和的恒等关系，通过对干扰选项的逐一排除，即可快速锁定正确答案。
【难度系数】
0.7

二、填空题
4. 一组数据 95，70，80，90，70，80，95，80，96，90，按从小到大的顺序排列后，若前 4 个数据为第一组，则第二组数据的平均数为。

4. 91

将数据按从小到大排列：70，70，80，80，80，90，90，95，95，96。
前4个数据为第一组，第二组数据为第5至第10个数据：80，90，90，95，95，96。
平均数为$\frac{80 + 90 + 90 + 95 + 95 + 96}{6} = \frac{546}{6} = 91$。
91

5. 一组数据 1，2，3，4，5，6，如果前 3 个数据 1，2，3 为一组，后 3 个数据为一组，则组间离差平方和是。

5. 13.5

1. 计算总平均数：$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$
2. 计算第一组平均数：$\bar{x}_1 = \frac{1+2+3}{3} = 2$，第二组平均数：$\bar{x}_2 = \frac{4+5+6}{3} = 5$
3. 组间离差平方和：$3×(2 - 3.5)^2 + 3×(5 - 3.5)^2 = 3×(-1.5)^2 + 3×(1.5)^2 = 3×2.25 + 3×2.25 = 6.75 + 6.75 = 13.5$
13.5

6. 一组数据分为两组，第一组 $ m $ 个数据 $ x_1 $，$ x_2 $，$···$，$ x_m $，平均数为 $ a $，第二组 $ n $ 个数据，$ x_{m + 1} $，$ x_{m + 2} $，$···$，$ x_{m + n} $，平均数为 $ b $，总体离差平方和为 29，组间离差平方和为 15，已知 $ (x_1 - a)^2 + (x_2 - a)^2 + ··· + (x_m - a)^2 = 6 $，则 $ (x_{m + 1} - b)^2 + (x_{m + 2} - b)^2 + ··· + (x_{m + n} - b)^2 = $。

6. 8

总体离差平方和=组间离差平方和+组内离差平方和，组内离差平方和为第一组离差平方和与第二组离差平方和之和。已知总体离差平方和为29，组间离差平方和为15，第一组离差平方和为6，设第二组离差平方和为$S$，则$29 = 15+6+S$，解得$S=8$。
8

三、解答题
7. 某校为了了解九年级学生在寒假期间的运动情况，抽取 10 名学生统计每日运动时间(单位：min)如下：90，90，70，90，100，80，80，90，95，65.请计算这组数据的总体离差平方和。

7. 1100

首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{90 + 90 + 70 + 90 + 100 + 80 + 80 + 90 + 95 + 65}{10}$
$= \frac{90×4 + 70 + 100 + 80×2 + 95 + 65}{10}$
$= \frac{360 + 70 + 100 + 160 + 95 + 65}{10} = \frac{850}{10} = 85$
然后计算总体离差平方和：
$\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})^2 = (90 - 85)^2 + (90 - 85)^2 + (70 - 85)^2 + (90 - 85)^2 + (100 - 85)^2 + (80 - 85)^2 + (80 - 85)^2 + (90 - 85)^2 + (95 - 85)^2 + (65 - 85)^2$
$= 5^2 + 5^2 + (-15)^2 + 5^2 + 15^2 + (-5)^2 + (-5)^2 + 5^2 + 10^2 + (-20)^2$
$= 25 + 25 + 225 + 25 + 225 + 25 + 25 + 25 + 100 + 400 = 1100$
1100