8. 如图1-1-19，起重机在工作时，起吊物体前，机械臂$AB$与操作台$BC$的夹角$∠ABC = 120°$，支撑臂$BD$为$∠ABC$的平分线.物体被吊起后，机械臂$AB$的位置不变，支撑臂绕点$B$旋转一定的角度并缩短，此时$∠CBD = 2∠ABD$，$∠BDC$增大了$5°$，则$∠DCE$的变化情况为.

8. 增大25°

9. 计算不规则图形中多个角的度数和：
（1）如图1-1-20①所示是一个五角星$ABC-DE$，你能计算出$∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E$的大小吗？
（2）在图②③④⑤中，（1）中的结论还成立吗？不必说明理由.
（注：在图②中，$∠EBD$相当于图①中的$∠B$）

1. （1）
解：
设$BD$与$CE$交于点$F$，$AD$与$CE$交于点$G$。
根据三角形外角性质：
在$△ FCD$中，$∠ AFE=∠ C + ∠ D$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）；在$△ AGE$中，$∠ AGF=∠ A+∠ E$。
在$△ BFG$中，$∠ B+∠ AFE+∠ AGF = 180°$（三角形内角和为$180°$）。
把$∠ AFE=∠ C + ∠ D$，$∠ AGF=∠ A+∠ E$代入$∠ B+∠ AFE+∠ AGF = 180°$中，可得$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°$。
2. （2）
答案：成立。

10. 核心素养空间观念 如图1-1-21①所示，在$∠ABC$中，若$∠ABD = ∠DBE = ∠EBC$，则称$BD$，$BE$为$∠ABC$的“三分线”，其中，$BD$是“邻$AB$三分线”，$BE$是“邻$BC$三分线”.
(1)如图②，在$△ABC$中，$∠A = 45°$，$∠ABC = 75°$，若$∠ABC$的邻$AB$三分线$BD$交$AC$于点$D$，则$∠BDC =$$°$；
(2)如图③，在$△ABC$中，$BP$是$∠ABC$的邻$AB$三分线，$CP$是$∠ACB$的邻$AC$三分线，若$∠A = 45°$，求$∠BPC$的度数；
(3)如图④，在$△ABC$中，$∠ACD$是$△ABC$的外角，$∠ABC$的三分线与$∠ACD$的邻$AC$三分线交于点$P$，若$∠A = m°$，$∠ABC = n°$，直接写出$∠BPC$的度数.(用含$m$，$n$的代数式表示)
]

1. （2）
解：
因为$∠ A+∠ ABC+∠ ACB = 180°$，$∠ A = 45°$，所以$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A = 135°$。
因为$BP$是$∠ ABC$的邻$AB$三分线，$CP$是$∠ ACB$的邻$AC$三分线，所以$∠ PBC=\frac{2}{3}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{2}{3}∠ ACB$。
则$∠ PBC+∠ PCB=\frac{2}{3}(∠ ABC + ∠ ACB)$。
把$∠ ABC+∠ ACB = 135°$代入可得：$∠ PBC+∠ PCB=\frac{2}{3}×135°=90°$。
又因为$∠ BPC+∠ PBC+∠ PCB = 180°$，所以$∠ BPC=180°-(∠ PBC + ∠ PCB)=180°-90°=90°$。
2. （3）
解：
因为$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，所以$∠ ACD=∠ A+∠ ABC=m°+n°$。
设$∠ ABC$的邻$AB$三分线为$BP_1$，邻$BC$三分线为$BP_2$，$∠ ACD$的邻$AC$三分线为$CP$。
情况一：当$BP$是$∠ ABC$的邻$AB$三分线时，$∠ PBC=\frac{1}{3}∠ ABC=\frac{n}{3}°$，$∠ PCD=\frac{1}{3}∠ ACD=\frac{m + n}{3}°$。
因为$∠ PCD$是$△ PBC$的外角，所以$∠ BPC=∠ PCD-∠ PBC$。
则$∠ BPC=\frac{m + n}{3}-\frac{n}{3}=\frac{m}{3}°$。
情况二：当$BP$是$∠ ABC$的邻$BC$三分线时，$∠ PBC=\frac{2}{3}∠ ABC=\frac{2n}{3}°$，$∠ PCD=\frac{1}{3}∠ ACD=\frac{m + n}{3}°$。
因为$∠ PCD$是$△ PBC$的外角，所以$∠ BPC=∠ PCD-∠ PBC$。
则$∠ BPC=\frac{m + n}{3}-\frac{2n}{3}=\frac{m - n}{3}°$。
综上，（2）$∠ BPC = 90°$；（3）$∠ BPC=\frac{1}{3}m°$或$\frac{m - n}{3}°$。