6. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D为边BC$的中点,$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,垂足分别为$E$,$F$,且$DE = DF$。求证$\triangle BDE\cong\triangle CDF$。

证明：
∵点D为BC中点，
∴BD=CD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD \\DE=DF \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD\perp BC$,垂足为$D$,点$E$,$F在BC$上,$BE = CF$,则图中共有全等三角形()

A.$1$对
B.$2$对
C.$3$对
D.$4$对

C

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∵BE=CF，BD=CD，∴BD-BE=CD-CF，即DE=DF。
在△ADE和△ADF中，AD=AD，∠ADE=∠ADF=90°，DE=DF，∴△ADE≌△ADF（SAS）。
在△ABE和△ACF中，AB=AC，∠B=∠C，BE=CF，∴△ABE≌△ACF（SAS）。
共3对全等三角形。

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$DE\perp AB$,垂足为$D$,$BC = BD$,若$AC = 8\mathrm{cm}$,则$AE + DE$的值为()

A.$7\mathrm{cm}$
B.$8\mathrm{cm}$
C.$9\mathrm{cm}$
D.$10\mathrm{cm}$

B

连接BE。
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠BDE=∠C=90°。
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
BD=BC，BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）。
∴DE=CE。
∵AC=8cm，
∴AE+DE=AE+CE=AC=8cm。

9. 如图是标准跷跷板的示意图,横板$AB的中点过支撑点O$,且绕点$O$只能上下转动。如果$\angle OCA = 90^{\circ}$,$\angle CAO = 15^{\circ}$,则小孩玩耍时,跷跷板可以转动的最大角度为()

A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

C

在Rt△OCA中，∠OCA=90°，∠CAO=15°，则∠AOC=90°-15°=75°。因为O是AB中点，所以OA=OB。当跷跷板绕O转动时，B端向下转动至最低点时，同理可得∠BOC=75°。此时OA与OB分别在OC两侧，∠AOB=∠AOC+∠BOC=75°+75°=150°。但跷跷板转动的最大角度指横板AB转动的角度，原AB位置与转动后AB位置的夹角为180°-150°=30°（或直接由∠CAO=15°，两侧对称转动角度和为15°×2=30°）。

10. 如图,$\angle E= \angle F = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$AE = AF$。求证$AM = AN$。

证明：
∵∠E=∠F=90°，
∴△AEB、△AFC是直角三角形。
在Rt△AEB和Rt△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ AE=AF\end{array}\right.$，
∴Rt△AEB≌Rt△AFC（HL）。
∴∠ABE=∠ACF（全等三角形对应角相等）。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）。
∵∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACF，
∴∠NBC=∠MCB。
在△NBC和△MCB中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠NBC=∠MCB\\ BC=CB\\ ∠NCB=∠MBC\end{array}\right.$，
∴△NBC≌△MCB（ASA）。
∴∠BNC=∠CMB（全等三角形对应角相等）。
∵∠BNC=∠ANF，∠CMB=∠AME（对顶角相等），
∴∠ANF=∠AME。
在△AEM和△AFN中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠E=∠F\\ ∠AME=∠ANF\\ AE=AF\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△AFN（AAS）。
∴AM=AN（全等三角形对应边相等）。