登录
9. 如图,∠AOD = 120°,∠2 = 2∠1 = 60°。
(1)求∠DOC的度数；
(2)求∠BOD的度数。
(1)求∠DOC的度数；
(2)求∠BOD的度数。
答案
(1) 因为∠2 = 60°，由图可知∠DOC = ∠2，所以∠DOC = 60°。
(2) 因为∠2 = 2∠1 = 60°，所以∠1 = 30°。又因为∠AOD = 120°，∠AOD = ∠BOD + ∠1，所以∠BOD = ∠AOD - ∠1 = 120° - 30° = 90°。
(1) 60°
(2) 90°
(2) 因为∠2 = 2∠1 = 60°，所以∠1 = 30°。又因为∠AOD = 120°，∠AOD = ∠BOD + ∠1，所以∠BOD = ∠AOD - ∠1 = 120° - 30° = 90°。
(1) 60°
(2) 90°
解析
(1)因为∠2=60°，∠AOD=120°，所以∠DOC=∠AOD-∠2=120°-60°=60°。
(2)因为∠2=2∠1=60°，所以∠1=30°，所以∠BOD=∠AOD+∠1=120°+30°=150°。
10. 已知∠AOB = 90°,OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,若∠AOB = 2∠BOC,求∠AOC的度数。
答案
答题卡：
当$OC$在$\angle AOB$内部时：
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，且$\angle AOB = 2\angle BOC$，
所以$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}$。
根据$\angle AOC=\angle AOB - \angle BOC$，
可得$\angle AOC = 90^{\circ}- 45^{\circ}=45^{\circ}$。
当$OC$在$\angle AOB$外部时：
因为$\angle AOB = 2\angle BOC$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，
所以$\angle BOC = 45^{\circ}$。
根据$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC$，
可得$\angle AOC = 90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$。
综上，$\angle AOC$的度数为$135^{\circ}$或$45^{\circ}$。
当$OC$在$\angle AOB$内部时：
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，且$\angle AOB = 2\angle BOC$，
所以$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}$。
根据$\angle AOC=\angle AOB - \angle BOC$，
可得$\angle AOC = 90^{\circ}- 45^{\circ}=45^{\circ}$。
当$OC$在$\angle AOB$外部时：
因为$\angle AOB = 2\angle BOC$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，
所以$\angle BOC = 45^{\circ}$。
根据$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC$，
可得$\angle AOC = 90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$。
综上，$\angle AOC$的度数为$135^{\circ}$或$45^{\circ}$。
11. 如图,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE = 90°。
(1)若∠AOC = 50°,求出∠BOD的度数；
(2)试判断OE是否平分∠BOC,并说明理由。
(1)若∠AOC = 50°,求出∠BOD的度数；
(2)试判断OE是否平分∠BOC,并说明理由。
答案
(1)因为$OD$平分$\angle AOC$，$\angle AOC = 50^{\circ}$，
所以$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOC = 25^{\circ}$。
因为$O$为直线$AB$上一点，
所以$\angle AOB = 180^{\circ}$，
则$\angle BOD=180^{\circ}-\angle AOD = 155^{\circ}$。
(2)$OE$平分$\angle BOC$。
理由如下：
因为$OD$平分$\angle AOC$，
所以$\angle AOD=\angle COD$。
又因为$\angle DOE = 90^{\circ}$，
所以$\angle COD+\angle COE = 90^{\circ}$，
$\angle AOD+\angle BOE=180^{\circ}-\angle DOE = 90^{\circ}$。
由$\angle AOD=\angle COD$，
可得$\angle COE=\angle BOE$，
所以$OE$平分$\angle BOC$。
所以$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOC = 25^{\circ}$。
因为$O$为直线$AB$上一点，
所以$\angle AOB = 180^{\circ}$，
则$\angle BOD=180^{\circ}-\angle AOD = 155^{\circ}$。
(2)$OE$平分$\angle BOC$。
理由如下：
因为$OD$平分$\angle AOC$，
所以$\angle AOD=\angle COD$。
又因为$\angle DOE = 90^{\circ}$，
所以$\angle COD+\angle COE = 90^{\circ}$，
$\angle AOD+\angle BOE=180^{\circ}-\angle DOE = 90^{\circ}$。
由$\angle AOD=\angle COD$，
可得$\angle COE=\angle BOE$，
所以$OE$平分$\angle BOC$。
解析
(1)
∵OD平分∠AOC，∠AOC=50°
∴∠AOD=∠COD=∠AOC/2=25°
∵O为直线AB上一点
∴∠AOB=180°
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=180°-25°=155°
(2)OE平分∠BOC
理由：
∵∠DOE=90°
∴∠COD+∠COE=90°
∵∠AOD+∠DOB=180°，∠DOB=∠DOE+∠BOE=90°+∠BOE
∴∠AOD+90°+∠BOE=180°
∴∠AOD+∠BOE=90°
∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=∠COD
∴∠COE=∠BOE
∴OE平分∠BOC
12. 如图,已知∠AOB的内部有OE,OC,OF三条射线,OE平分∠BOC,OF平分∠AOC。
(1)若∠AOC = 30°,∠BOC = 60°,则∠EOF =
(2)若∠AOC = α,∠BOC = β,则∠EOF =
(3)若∠AOB = θ,你能猜想出∠EOF与θ的关系吗？请说明理由。
(1)若∠AOC = 30°,∠BOC = 60°,则∠EOF =
45°
；(2)若∠AOC = α,∠BOC = β,则∠EOF =
1/2(α+β)
；(3)若∠AOB = θ,你能猜想出∠EOF与θ的关系吗？请说明理由。
∠EOF=1/2θ
答案
(1)45°；(2)1/2(α+β)；(3)∠EOF=1/2θ
解析
(1) ∵OF平分∠AOC，∠AOC=30°，∴∠FOC=1/2∠AOC=15°。
∵OE平分∠BOC，∠BOC=60°，∴∠EOC=1/2∠BOC=30°。
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=30°+15°=45°。
(2) ∵OF平分∠AOC，∠AOC=α，∴∠FOC=1/2α。
∵OE平分∠BOC，∠BOC=β，∴∠EOC=1/2β。
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=1/2α+1/2β=1/2(α+β)。
(3) ∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=θ，由(2)知∠EOF=1/2(∠AOC+∠BOC)，∴∠EOF=1/2θ。
∵OE平分∠BOC，∠BOC=60°，∴∠EOC=1/2∠BOC=30°。
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=30°+15°=45°。
(2) ∵OF平分∠AOC，∠AOC=α，∴∠FOC=1/2α。
∵OE平分∠BOC，∠BOC=β，∴∠EOC=1/2β。
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=1/2α+1/2β=1/2(α+β)。
(3) ∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=θ，由(2)知∠EOF=1/2(∠AOC+∠BOC)，∴∠EOF=1/2θ。
