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9. 已知一次函数 $ y = kx + 6 $ 的图象与 $ x $ 轴的交点为 $ A $,且 $ OA = 3 $,则该一次函数的表达式为
$y=2x+6$或$y=-2x+6$
。答案
$y=2x+6$或$y=-2x+6$
解析
因为一次函数$y = kx + 6$的图象与$x$轴交于点$A$，所以令$y = 0$，则$kx+6=0$，解得$x=-\dfrac{6}{k}$，所以点$A$的坐标为$\left(-\dfrac{6}{k},0\right)$。
因为$OA = 3$，所以$\left|-\dfrac{6}{k}\right|=3$，即$\left|\dfrac{6}{k}\right| = 3$。
当$\dfrac{6}{k}=3$时，解得$k = 2$；当$\dfrac{6}{k}=-3$时，解得$k=-2$。
所以该一次函数的表达式为$y = 2x + 6$或$y=-2x + 6$。
因为$OA = 3$，所以$\left|-\dfrac{6}{k}\right|=3$，即$\left|\dfrac{6}{k}\right| = 3$。
当$\dfrac{6}{k}=3$时，解得$k = 2$；当$\dfrac{6}{k}=-3$时，解得$k=-2$。
所以该一次函数的表达式为$y = 2x + 6$或$y=-2x + 6$。
10. 已知一次函数 $ y = kx + b $,当 $ -3 \leq x \leq 1 $ 时,对应的函数值的取值范围为 $ 1 \leq y \leq 9 $,则 $ k + b $ 的值为
9或1
。答案
9或1
解析
当$k＞0$时，函数单调递增，
$\begin{cases}-3k + b = 1\\k + b = 9\end{cases}$，解得$k=2$，$b=7$，$k + b=9$；
当$k＜0$时，函数单调递减，
$\begin{cases}-3k + b = 9\\k + b = 1\end{cases}$，解得$k=-2$，$b=3$，$k + b=1$。
综上，$k + b$的值为$9$或$1$。
$\begin{cases}-3k + b = 1\\k + b = 9\end{cases}$，解得$k=2$，$b=7$，$k + b=9$；
当$k＜0$时，函数单调递减，
$\begin{cases}-3k + b = 9\\k + b = 1\end{cases}$，解得$k=-2$，$b=3$，$k + b=1$。
综上，$k + b$的值为$9$或$1$。
11. 如图,以长方形 $ ABCD $ 的边 $ AD $ 的中点为原点建立平面直角坐标系,且 $ AD $ 位于 $ x $ 轴上,$ AB = CD = 3 $,$ AD = BC = 6 $,点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,点 $ Q(a,0) $ 是 $ x $ 轴上的一个动点,直线 $ y = kx + 3 $ 经过点 $ P $ 和点 $ Q $。
(1)若直线 $ PQ $ 经过点 $ C $,则 $ k = $
(2)若直线 $ PQ $ 与长方形 $ ABCD $ 的边有两个公共点,求 $ k $ 的取值范围。
]
(1)若直线 $ PQ $ 经过点 $ C $,则 $ k = $
-2
；(2)若直线 $ PQ $ 与长方形 $ ABCD $ 的边有两个公共点,求 $ k $ 的取值范围。
]
答案
(1)-2
(2)把点A的坐标$(-3,0)$代入$y=kx+3$得
$-3k+3=0$,解得$k=1$;
把点D的坐标$(3,0)$代入$y=kx+3$得$3k+3=0$,解得$k=-1$。
由条件可知$k＞1$或$k＜-1$。
12. 【综合与实践】如图,在平面直角坐标系中,直线 $ y = ax + \frac{8}{3} $ 经过点 $ A(-2,4) $,且与 $ x $ 轴交于点 $ B $,直线 $ y = bx $ 与直线 $ AB $ 交于点 $ C $,已知点 $ C $ 的横坐标为 $ 1 $,点 $ D $ 是 $ y $ 轴上一点,且满足 $ S_{\triangle COD} = \frac{1}{2}S_{\triangle BOC} $。
(1)求直线 $ AB $ 和直线 $ OC $ 对应的函数表达式；
(2)求点 $ D $ 的坐标；
(3)在(2)的条件下,已知 $ M $ 为直线 $ AB $ 上一点,过点 $ M $ 作 $ x $ 轴的垂线交 $ y = bx $ 于点 $ N $,当 $ MN = OD $ 时,求点 $ M $ 的坐标。
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(1)求直线 $ AB $ 和直线 $ OC $ 对应的函数表达式；
(2)求点 $ D $ 的坐标；
(3)在(2)的条件下,已知 $ M $ 为直线 $ AB $ 上一点,过点 $ M $ 作 $ x $ 轴的垂线交 $ y = bx $ 于点 $ N $,当 $ MN = OD $ 时,求点 $ M $ 的坐标。
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答案
解:
(1)把点A的坐标$(-2,4)$代入$y=ax+\frac{8}{3}$
得$4=-2a+\frac{8}{3}$,解得$a=-\frac{2}{3}$,
所以直线AB对应的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$。
在$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$中,令$x=1$,得$y=2$,
所以点C的坐标为$(1,2)$。
把点C的坐标$(1,2)$代入$y=bx$得$b=2$,
所以直线OC对应的函数表达式为$y=2x$。
(2)在$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$中,令$y=0$,得$x=4$,
所以点B的坐标为$(4,0)$,$OB=4$,
所以$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
因为$S_{\triangle COD}=\frac{1}{2}S_{\triangle BOC}$,
所以$S_{\triangle COD}=2$,
所以$\frac{1}{2}OD×1=2$,
所以$OD=4$,
所以点D的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$。
(3)如图。
设点M的坐标为$(m,-\frac{2}{3}m+\frac{8}{3})$,则点N的坐标为$(m,2m)$。
因为$MN=OD$,
所以$|(-\frac{2}{3}m+\frac{8}{3})-2m|=4$,
解得$m=-\frac{1}{2}$或$m=\frac{5}{2}$,
所以点M的坐标为$(-\frac{1}{2},3)$或$(\frac{5}{2},1)$。
(1)把点A的坐标$(-2,4)$代入$y=ax+\frac{8}{3}$
得$4=-2a+\frac{8}{3}$,解得$a=-\frac{2}{3}$,
所以直线AB对应的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$。
在$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$中,令$x=1$,得$y=2$,
所以点C的坐标为$(1,2)$。
把点C的坐标$(1,2)$代入$y=bx$得$b=2$,
所以直线OC对应的函数表达式为$y=2x$。
(2)在$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$中,令$y=0$,得$x=4$,
所以点B的坐标为$(4,0)$,$OB=4$,
所以$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
因为$S_{\triangle COD}=\frac{1}{2}S_{\triangle BOC}$,
所以$S_{\triangle COD}=2$,
所以$\frac{1}{2}OD×1=2$,
所以$OD=4$,
所以点D的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$。
(3)如图。
设点M的坐标为$(m,-\frac{2}{3}m+\frac{8}{3})$,则点N的坐标为$(m,2m)$。
因为$MN=OD$,
所以$|(-\frac{2}{3}m+\frac{8}{3})-2m|=4$,
解得$m=-\frac{1}{2}$或$m=\frac{5}{2}$,
所以点M的坐标为$(-\frac{1}{2},3)$或$(\frac{5}{2},1)$。
