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确定正比例函数及一次函数的表达式
1. 由于正比例函数 $ y = kx(k \neq 0) $ 中只有一个待定系数 $ k $,故只需
2. 由于一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 中有两个待定系数 $ k,b $,故需要
1. 由于正比例函数 $ y = kx(k \neq 0) $ 中只有一个待定系数 $ k $,故只需
一
个条件(如 $ x \neq 0 $ 且 $ y \neq 0 $ 的一对 $ x,y $ 的值,或坐标轴外的一个点的坐标)就可求得 $ k $ 的值。2. 由于一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 中有两个待定系数 $ k,b $,故需要
两
个独立的条件确定两个关于 $ k,b $ 的方程,求得 $ k,b $ 的值,这两个条件通常是两对 $ x,y $ 的值或两个点的坐标。答案
1.一 2.两
1. 若一个正比例函数的图象经过 $ A(3,-6) $,$ B(m,4) $ 两点,则 $ m $ 的值为(
A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ -8 $
D.$ 8 $
A
)。A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ -8 $
D.$ 8 $
答案
A
解析
设正比例函数的解析式为$y=kx$（$k\neq0$）。
因为函数图象经过点$A(3,-6)$，所以将$x=3$，$y=-6$代入$y=kx$，得$-6=3k$，解得$k=-2$，故函数解析式为$y=-2x$。
又因为函数图象经过点$B(m,4)$，所以将$x=m$，$y=4$代入$y=-2x$，得$4=-2m$，解得$m=-2$。
A
因为函数图象经过点$A(3,-6)$，所以将$x=3$，$y=-6$代入$y=kx$，得$-6=3k$，解得$k=-2$，故函数解析式为$y=-2x$。
又因为函数图象经过点$B(m,4)$，所以将$x=m$，$y=4$代入$y=-2x$，得$4=-2m$，解得$m=-2$。
A
2. 已知一次函数 $ y = kx + b $,当 $ x = 1 $ 时,$ y = 2 $,且它的图象与 $ y $ 轴交点的纵坐标是 $ 3 $,则此函数的表达式为(
A.$ y = x + 3 $
B.$ y = x - 3 $
C.$ y = -x + 3 $
D.$ y = -x - 3 $
C
)。A.$ y = x + 3 $
B.$ y = x - 3 $
C.$ y = -x + 3 $
D.$ y = -x - 3 $
答案
C
解析
解：因为一次函数$y = kx + b$的图象与$y$轴交点的纵坐标是$3$，所以$b = 3$，函数表达式为$y = kx + 3$。
当$x = 1$时，$y = 2$，代入得$2 = k×1 + 3$，解得$k = -1$。
故此函数的表达式为$y = -x + 3$。
C
当$x = 1$时，$y = 2$，代入得$2 = k×1 + 3$，解得$k = -1$。
故此函数的表达式为$y = -x + 3$。
C
3. 已知一次函数的图象经过点 $ A(-2,-1) $,且与直线 $ y = 2x - 3 $ 平行,则此函数的表达式为(
A.$ y = x + 3 $
B.$ y = 2x + 3 $
C.$ y = 2x - 3 $
D.$ y = -2x - 5 $
B
)。A.$ y = x + 3 $
B.$ y = 2x + 3 $
C.$ y = 2x - 3 $
D.$ y = -2x - 5 $
答案
B
解析
设此一次函数的表达式为$y = kx + b$。
因为该函数与直线$y = 2x - 3$平行，所以$k = 2$。
又因为函数图象经过点$A(-2,-1)$，将$x=-2$，$y=-1$，$k = 2$代入$y = kx + b$，得$-1 = 2×(-2) + b$，解得$b = 3$。
故此函数的表达式为$y = 2x + 3$。
B
因为该函数与直线$y = 2x - 3$平行，所以$k = 2$。
又因为函数图象经过点$A(-2,-1)$，将$x=-2$，$y=-1$，$k = 2$代入$y = kx + b$，得$-1 = 2×(-2) + b$，解得$b = 3$。
故此函数的表达式为$y = 2x + 3$。
B
4. 如图,直线 $ y = kx + b $ 经过点 $ A $,$ B $,则 $ k $ 的值为
]
$\frac{3}{2}$
。]
答案
$\frac{3}{2}$
解析
解：由图可知，点$A(0,3)$，点$B(-2,0)$。
将$A(0,3)$代入$y = kx + b$，得$3 = k×0 + b$，即$b = 3$。
将$B(-2,0)$，$b = 3$代入$y = kx + b$，得$0 = -2k + 3$。
解得$k=\frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
将$A(0,3)$代入$y = kx + b$，得$3 = k×0 + b$，即$b = 3$。
将$B(-2,0)$，$b = 3$代入$y = kx + b$，得$0 = -2k + 3$。
解得$k=\frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
5. 一次函数 $ y = mx + |m - 1| $ 的图象经过点 $ (0,2) $,且 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大,则 $ m = $
3
。答案
3
解析
解：因为一次函数$y = mx + |m - 1|$的图象经过点$(0,2)$，所以将$x=0$，$y=2$代入函数得：$2 = m×0 + |m - 1|$，即$|m - 1| = 2$。
则$m - 1 = 2$或$m - 1 = -2$，解得$m = 3$或$m = -1$。
又因为$y$的值随$x$值的增大而增大，所以$m ＞ 0$，故$m = 3$。
3
则$m - 1 = 2$或$m - 1 = -2$，解得$m = 3$或$m = -1$。
又因为$y$的值随$x$值的增大而增大，所以$m ＞ 0$，故$m = 3$。
3
6. 写出一个同时具备下列两个条件：① $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小；②图象经过点 $ (0,3) $ 的一次函数表达式：
$y=-x+3$(答案不唯一)
。答案
$y=-x+3$(答案不唯一)
7. 如图所示的是一次函数 $ y = kx + b $ 的图象,回答下列各题：
(1)当 $ x = 0 $ 时,$ y = $
(2)$ k = $
(3)当 $ x = 5 $ 时,$ y = $
]
(1)当 $ x = 0 $ 时,$ y = $
4
；当 $ x = $2
时,$ y = 0 $。(2)$ k = $
-2
,$ b = $4
。(3)当 $ x = 5 $ 时,$ y = $
-6
；当 $ y = 30 $ 时,$ x = $-13
。]
答案
(1)4 2
(2)-2 4
(3)-6 -13
8. 某种蜡烛点燃后每分钟燃烧的长度一定,长为 $ 22\ cm $ 的这种蜡烛,点燃 $ 10\ min $ 后,变短 $ 4\ cm $,点燃 $ x\ min $ 后,还剩 $ y\ cm $。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(2)点燃 $ 30\ min $ 后,这种蜡烛还剩多长？
(3)这种蜡烛几分钟能燃烧完？
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(2)点燃 $ 30\ min $ 后,这种蜡烛还剩多长？
(3)这种蜡烛几分钟能燃烧完？
答案
解:
(1)由题意可得
$y=22-(4÷10)× x=22-0.4x$,
即y与x之间的关系式是$y=22-0.4x$。
(2)当$x=30$时,
$y=22-0.4×30=10$,
即点燃30 min后,这种蜡烛还剩10 cm。
(3)令$y=0$,
则$0=22-0.4x$,
解得$x=55$,
即这种蜡烛55 min能燃烧完。
(1)由题意可得
$y=22-(4÷10)× x=22-0.4x$,
即y与x之间的关系式是$y=22-0.4x$。
(2)当$x=30$时,
$y=22-0.4×30=10$,
即点燃30 min后,这种蜡烛还剩10 cm。
(3)令$y=0$,
则$0=22-0.4x$,
解得$x=55$,
即这种蜡烛55 min能燃烧完。
