1. 下列说法正确的有()。
① 过两点有且只有一条直线；
② 连接两点的线段叫作两点的距离；
③ 两点之间线段最短；
④ 如果 $ AB = BC $,则点 $ B $ 是线段 $ AC $ 的中点。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

B

① 过两点有且只有一条直线，根据直线的性质，该说法正确；
② 连接两点的线段的长度叫作两点的距离，而不是线段本身，该说法错误；
③ 两点之间线段最短，根据线段的性质，该说法正确；
④ 当$AB = BC$，且点$A$，$B$，$C$在同一直线上时，点$B$才是线段$AC$的中点，仅$AB = BC$不能得出点$B$是线段$AC$的中点，该说法错误。
综上，正确的有①③，共$2$个。
答案为B。

2. 如图所示,小华的家在 $ A $ 处,书店在 $ B $ 处。星期日小华到书店去买书,他想尽快地赶到书店,则下列路线最短的是()。

A.$ A \to C \to D \to B $
B.$ A \to C \to F \to B $
C.$ A \to C \to E \to F \to B $
D.$ A \to C \to M \to B $

B

根据题意，需要找到从$A$到$B$的最短路径。
根据两点之间线段最短，可知$A \to C \to F \to B$最短。
故答案为：B.

3. 已知线段 $ AB $,反向延长 $ AB $ 到点 $ C $,使 $ AC = \frac{1}{3}BC $,$ D $ 为 $ AC $ 中点。若 $ CD = 2\ cm $,则 $ AB $ 等于()。
A.$ 4\ cm $
B.$ 6\ cm $
C.$ 8\ cm $
D.$ 10\ cm $

C

设$AB = x cm$，
因为$AC = \frac{1}{3}BC$，
所以$AC = \frac{1}{3}(AB + AC + (反向延长中多出的AC部分（这里实际在数值上等于AC自身在BC中的贡献），但直接由题意有)) $（此处理解为线段关系，不重复加），
实际由题意，设$AC = y$，则$BC = AB + AC = x + y$（因为$BC$是$AB$反向延长到$C$的总长度），
又因为$AC = \frac{1}{3}BC$，
所以$y = \frac{1}{3}(x + y)$，
解得$y = \frac{1}{2}x × \frac{1}{（1-\frac{1}{3}）的简化} = \frac{x}{2} × \frac{3}{2}的倒数处理（实际直接计算）} = \frac{1}{2} × \frac{3}{1} × \frac{x}{（合并步骤）} = \frac{x}{2} ÷ \frac{2}{3}（换元思想，不引入）} = \frac{1}{2} × (由y=\frac{1}{3}(x+y) 得 3y=x+y,2y=x,即y=\frac{x}{2} × 2 × \frac{1}{2}（直接得出）} = \frac{x}{2} × （实际为2y=x,即x=2 × (AC的长度，即y)）$，
即$AC = \frac{x}{2} × （由2y=x,得AC=y=\frac{x}{2}的逆向表达，实际直接有AC=\frac{1}{2} × （由比例得出的AB的对应长度）} = \frac{1}{2} × 2 × （因为x=2y,所以AC=y=\frac{x}{2}） = \frac{x}{2} ÷ 1（直接给出） = \frac{x}{2}（但此处x为AB，我们要求用数值表示，所以继续）$，
但由题意知$D$为$AC$中点，且$CD = 2 cm$，
所以$AC = 2 × CD = 4 cm$，
即$\frac{x}{2}（此处x为AB） = 4 × （因为AC=2CD=4cm，且AC=\frac{x}{2}） = 4$，
解得$x = 8 cm$。
故答案为：C. $8 cm$。

4. 平面上有 $ A $,$ B $ 两点,且 $ AB = 6\ cm $,在该平面上找一点 $ P $。
(1) 若使 $ PA + PB = 6\ cm $,则点 $ P $ 在；
(2) 若使 $ PA + PB ＞ 6\ cm $,则点 $ P $ 在；
(3) 若使 $ PA + PB ＜ 6\ cm $,则点 $ P $。

（1）线段 AB 上 （2）线段 AB 外（3）不存在

(1)
根据三角形的构成条件（任意两边之和大于第三边），若$PA + PB = AB = 6 cm$，则点$P$必然在线段$AB$上。
答案为线段$AB$上。
(2)
若$PA + PB ＞ 6 cm$，由三角形的构成条件知，点$P$不能在线段$AB$上，只能在线段$AB$外。
答案为线段$AB$外。
(3)
若$PA + PB ＜ 6 cm$，由三角形的构成条件（任意两边之和大于第三边）知，这样的点$P$不存在。
答案为不存在。

5. 数轴上的点 $ A $,$ C $,$ B $ 分别表示 $ - 2 $,$ 4 $,$ 8 $,若 $ AC = BD $,则数轴上点 $ D $ 表示的数是。

2 或 14

由题意，点$A$，$C$，$B$在数轴上分别表示$-2$，$4$，$8$，
首先计算$AC$的长度，
$AC = 4 - (-2) = 6$，
由于$AC = BD$，所以$BD = 6$，
设点$D$在数轴上表示的数为$x$，
当点$D$在点$B$的右侧时，
$BD = x - 8$，
将$BD = 6$代入得：
$x - 8 = 6$，
解得：
$x = 14$，
当点$D$在点$B$的左侧时，
$BD = 8 - x$，
将$BD = 6$代入得：
$8 - x = 6$，
解得：
$x = 2$，
综上所述，数轴上点$D$表示的数是$2$或$14$。

6. 如图所示,已知 $ BC = 4 $,$ BD = 7 $,且 $ D $ 是 $ AC $ 的中点,则 $ AB = $,$ AC = $。

10 6

$BC=4$，$BD = 7$，
因为$CD=BD-BC$，
所以$CD=7-4=3$，
因为$D$是$AC$的中点，
所以$AC=2CD$，
即$AC=2×3=6$，
因为$AB=AC+BC$，
所以$AB=6+4=10$，
$AB=10$，$AC=6$，
所以，答案为：10；6。

7. 如图所示,$ AB = 12 $,$ AM = \frac{2}{5}AB $,$ BN = \frac{1}{3}BM $,求 $ MN $ 的长。

$MN=4.8$

已知$AB = 12$，
$AM = \frac{2}{5}AB = \frac{2}{5} × 12 = 4.8$，
$BM = AB - AM = 12 - 4.8 = 7.2$，
$BN = \frac{1}{3}BM = \frac{1}{3} × 7.2 = 2.4$，
$MN = BM - BN = 7.2 - 2.4 = 4.8$。
所以$MN$的长为$4.8$。