7. 各边长度都是整数,且最大边长为$8$的三角形共有个。

20

设三角形的另外两边长分别为$a$，$b$，且$a\leq b\leq8$，$a$，$b$为整数。
根据三角形三边关系：$a + b ＞ 8$。
当$b = 8$时，$a$可取$1$到$8$，但需满足$a + 8 ＞ 8$即$a ＞ 0$，所以$a = 1,2,3,4,5,6,7,8$，共$8$个；
当$b = 7$时，$a\leq7$且$a + 7 ＞ 8$即$a ＞ 1$，所以$a = 2,3,4,5,6,7$，共$6$个；
当$b = 6$时，$a\leq6$且$a + 6 ＞ 8$即$a ＞ 2$，所以$a = 3,4,5,6$，共$4$个；
当$b = 5$时，$a\leq5$且$a + 5 ＞ 8$即$a ＞ 3$，所以$a = 4,5$，共$2$个；
当$b = 4$时，$a\leq4$且$a + 4 ＞ 8$即$a ＞ 4$，此时$a$无解。
总个数：$8 + 6 + 4 + 2 = 20$
20

8. 已知等腰三角形的周长为$56\mathrm{cm}$,其中两边的比为$2:3$,求此等腰三角形各边的长。

16 cm，16 cm，24 cm 或 21 cm，21 cm，14 cm

情况一：设腰长为$2x\ \mathrm{cm}$，底边长为$3x\ \mathrm{cm}$
$2x+2x+3x=56$
$7x=56$
$x=8$
腰长：$2x=16\ \mathrm{cm}$，底边长：$3x=24\ \mathrm{cm}$
$16+16＞24$，符合三角形三边关系
情况二：设腰长为$3x\ \mathrm{cm}$，底边长为$2x\ \mathrm{cm}$
$3x+3x+2x=56$
$8x=56$
$x=7$
腰长：$3x=21\ \mathrm{cm}$，底边长：$2x=14\ \mathrm{cm}$
$21+14＞21$，符合三角形三边关系
此等腰三角形各边的长为$16\ \mathrm{cm}$，$16\ \mathrm{cm}$，$24\ \mathrm{cm}$或$21\ \mathrm{cm}$，$21\ \mathrm{cm}$，$14\ \mathrm{cm}$

9. 若$a$,$b$,$c为\triangle ABC$的三边长,化简：$\vert a + b - c\vert+\vert a - c - b\vert$。

解：因为a，b，c为△ABC的三边长，所以a+b−c＞0，a−c−b＜0，所以|a+b−c|+|a−c−b|=a+b−c−(a−c−b)=a+b−c−a+c+b=2b。

解：因为$a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三边长，所以$a + b - c ＞ 0$，$a - c - b ＜ 0$，
则$\vert a + b - c\vert+\vert a - c - b\vert=(a + b - c)- (a - c - b)$
$=a + b - c - a + c + b$
$=2b$。

10. 小明同学在研究了一道问题“四根小木棍的长度分别为$2\mathrm{cm}$,$3\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}和5\mathrm{cm}$,任取其中$3$根,可以搭成几个不同的三角形?”后,提出下列问题：长度分别为$a$,$b$,$c$的三根小木棍搭成三角形,已知$a$,$b$,$c$都是整数,且$a\leqslant b ＜ c$,如果$b = 5$,用满足上述条件的三根小木棍能够搭出几个不同的三角形?请你参与研究,并写出探究过程。

解：若三边能构成三角形，则必有两边之和大于第三边，即a+b＞c。又b＜c，则b＜c＜a+b。又c−b＜a≤b，b=5，故1＜a≤5。从而a=2，3，4，5。当a=2时，5＜c＜7，此时c=6；当a=3时，5＜c＜8，此时c=6或7；当a=4时，5＜c＜9，此时c=6或7或8；当a=5时，5＜c＜10，此时c=6或7或8或9，所以这三根小木棍能够搭出 10 个不同的三角形。

解：因为三根小木棍能搭成三角形，所以$a + b ＞ c$。又因为$b ＜ c$，所以$b ＜ c ＜ a + b$。已知$b = 5$，则$5 ＜ c ＜ a + 5$，且$a \leq b = 5$，同时$c - b ＜ a$，即$c - 5 ＜ a$，又因为$a$为正整数，所以$1 ＜ a \leq 5$，故$a = 2, 3, 4, 5$。
当$a = 2$时，$5 ＜ c ＜ 2 + 5 = 7$，$c$为整数，所以$c = 6$；
当$a = 3$时，$5 ＜ c ＜ 3 + 5 = 8$，$c$为整数，所以$c = 6, 7$；
当$a = 4$时，$5 ＜ c ＜ 4 + 5 = 9$，$c$为整数，所以$c = 6, 7, 8$；
当$a = 5$时，$5 ＜ c ＜ 5 + 5 = 10$，$c$为整数，所以$c = 6, 7, 8, 9$。
综上，不同的三角形共有$1 + 2 + 3 + 4 = 10$个。
答：能够搭出10个不同的三角形。