5.如图，在矩形 ABCD 中，$AB = 5$，$BC = 3$，将$\triangle BCD$沿 BD 折叠到$\triangle BED$位置，DE 交 AB 于点 F，则$\cos \angle ADF$的值为().


A.$\frac{8}{17}$
B.$\frac{7}{15}$
C.$\frac{15}{17}$
D.$\frac{8}{15}$

5.C

解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AD=BC=3$，$AB=CD=5$，$\angle A=90°$，$AD// BC$，
∴ $\angle ADB=\angle DBC$。
由折叠性质得：$\angle DBC=\angle DBF$，$DE=DC=5$，
∴ $\angle ADB=\angle DBF$，
∴ $BF=DF$。
设 $AF=x$，则 $BF=AB-AF=5-x$，$DF=5-x$。
在 $Rt\triangle ADF$ 中，$AD^2+AF^2=DF^2$，
即 $3^2+x^2=(5-x)^2$，
解得 $x=\frac{8}{5}$，
∴ $DF=5-\frac{8}{5}=\frac{17}{5}$，
∴ $\cos\angle ADF=\frac{AD}{DF}=\frac{3}{\frac{17}{5}}=\frac{15}{17}$。
答案：$\frac{15}{17}$

6.如图，在平面直角坐标系中，将矩形 OABC 沿 OB 对折，使点 A 落在点$A_{1}$处，已知$OA = \sqrt{3}$，$AB = 1$，则点$A_{1}$的坐标是().

A.$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$
B.$(\frac{\sqrt{3}}{2},3)$
C.$(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
D.$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$

6.A

解：
∵ 矩形 $OABC$ 中，$OA = \sqrt{3}$，$AB = 1$，
∴ 点 $B$ 坐标为 $(\sqrt{3}, 1)$。
设直线 $OB$ 的解析式为 $y = kx$，将 $B(\sqrt{3}, 1)$ 代入得 $k = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $OB$ 的解析式为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$，其倾斜角 $\theta$ 满足 $\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$，故 $\theta = 30°$。
由折叠性质知 $OA_1 = OA = \sqrt{3}$，且 $\angle A_1OB = \angle AOB = 30°$，
∴ 点 $A_1$ 在与 $x$ 轴成 $60°$ 角的射线上。
设 $A_1$ 坐标为 $(x, y)$，则：
$x = OA_1 · \cos 60° = \sqrt{3} · \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$y = OA_1 · \sin 60° = \sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$。
故点 $A_1$ 的坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$。
答案：A

7.如图，等边三角形 ABC 钢架的立柱$CD \perp AB$于点 D，AB 长$12\ m$.现将钢架的立柱 CD 缩短成 DE，$\angle BED = 60^{\circ}$，则新钢架减少的钢材长度为.

$7.(24 - 4\sqrt{3})m$

8.若等腰三角形的顶角为$120^{\circ}$，腰长为$2\ cm$，则它的底边长为$ cm$.

$8.2\sqrt{3}$

解：过等腰三角形顶角顶点作底边的垂线，将等腰三角形分为两个全等的直角三角形。
顶角为$120^{\circ}$，则底角为$\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$。
在直角三角形中，腰长为斜边，长度为$2\ cm$，$30^{\circ}$所对的直角边为腰长的一半，即$\frac{2}{2}=1\ cm$。
根据勾股定理，另一直角边（底边的一半）为$\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}\ cm$。
所以底边长为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ cm$。
$2\sqrt{3}$

9.求下列各式的值.
(1)$2 \cos 60^{\circ} + \tan 45^{\circ}$；
(2)$\tan 45^{\circ} - \cos 60^{\circ} - 4 \sin 30^{\circ} - 2 \cos 45^{\circ} + \sqrt{6} \tan 30^{\circ}$.

$9.(1)2. (2)-\frac{3}{2}.$

(1)$2\cos60^{\circ}+\tan45^{\circ}=2×\frac{1}{2}+1=1+1=2$；
(2)$\tan45^{\circ}-\cos60^{\circ}-4\sin30^{\circ}-2\cos45^{\circ}+\sqrt{6}\tan30^{\circ}=1-\frac{1}{2}-4×\frac{1}{2}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1-\frac{1}{2}-2-\sqrt{2}+\sqrt{2}=-\frac{3}{2}$.

10.在$\triangle ABC$中，若$\left| \cos A - \frac{1}{2} \right| + \left( \sin B - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{2} = 0$，$\angle A$，$\angle B$都是锐角，求$\angle C$的度数.

$10.75^{\circ}.$

解：因为$\left| \cos A - \frac{1}{2} \right| + \left( \sin B - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{2} = 0$，且绝对值和平方数均为非负数，所以$\cos A - \frac{1}{2} = 0$，$\sin B - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$。
由$\cos A = \frac{1}{2}$，$\angle A$是锐角，得$\angle A = 60^{\circ}$。
由$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\angle B$是锐角，得$\angle B = 45^{\circ}$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 45^{\circ} = 75^{\circ}$。
$75^{\circ}$

11.在$\triangle ABC$中，若$\tan A = 1$，$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，求$\triangle ABC$的三边之比.

$11.1:1:\sqrt{2}.$

在$\triangle ABC$中，
因为$\tan A = 1$，且$0° ＜ A ＜ 180°$，所以$A = 45°$。
因为$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，且$0° ＜ B ＜ 180°$，所以$B = 45°$或$B = 135°$。
若$B = 135°$，则$A + B = 45° + 135° = 180°$，不符合三角形内角和定理，舍去。
所以$B = 45°$，则$C = 180° - A - B = 180° - 45° - 45° = 90°$。
设$BC = AC = x$，由勾股定理得$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x$。
所以$\triangle ABC$的三边之比为$BC:AC:AB = x:x:\sqrt{2}x = 1:1:\sqrt{2}$。