4. 学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生,派王老师到商店购买某种奖品,他看到如下表所示的关于该奖品的销售信息,便用 1 400 元买回了奖品,求王老师购买该奖品的件数.
|购买件数|销售价格|
|不超过 30 件|40 元/件|
|超过 30 件|每多买 1 件,所购买的商品每件可降低 0.5 元,但单价不得低于 30 元/件|

王老师购买该奖品的件数为40件.

设王老师购买该奖品的件数为$x$件。
若$x\leq30$，则最多花费$30×40 = 1200$元，$1200＜1400$，故$x＞30$。
超过30件的部分为$(x - 30)$件，单价降低$0.5(x - 30)$元，此时单价为$40-0.5(x - 30)$元。
依题意列方程：$x[40-0.5(x - 30)]=1400$，
化简得：$x(55 - 0.5x)=1400$，
$-0.5x^{2}+55x - 1400=0$，
$x^{2}-110x + 2800=0$，
$(x - 40)(x - 70)=0$，
解得$x_{1}=40$，$x_{2}=70$。
当$x = 70$时，单价为$40-0.5×(70 - 30)=40 - 20=20$元，$20＜30$，不合题意，舍去。
当$x = 40$时，单价为$40-0.5×(40 - 30)=40 - 5=35$元，$35\geq30$，符合题意。
王老师购买该奖品的件数为40件。

5. 某商店经营一种销售成本为 30 元/千克的海产品. 若按 40 元/千克销售,则一个月能售出 1 500 kg；若售价每降低 1 元/千克,则月销售量就会增加 400 kg. 商店计划既要使月销售利润达到 17 500 元,又要使价格对顾客更具吸引力,则售价应定为多少?

35元/千克

设售价应定为$x$元/千克。
每千克利润为$(x - 30)$元，月销售量为$1500 + 400(40 - x)$千克。
根据月销售利润公式：利润=每千克利润×月销售量，可得方程：
$(x - 30)[1500 + 400(40 - x)] = 17500$
化简得：
$(x - 30)(17500 - 400x) = 17500$
展开并整理：
$-400x^2 + 29500x - 525000 = 17500$
$-400x^2 + 29500x - 542500 = 0$
两边同时除以$-250$：
$1.6x^2 - 118x + 2170 = 0$
使用求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中$a = 1.6$，$b = -118$，$c = 2170$：
$\Delta = (-118)^2 - 4×1.6×2170 = 13924 - 13888 = 36$
$x = \frac{118 \pm \sqrt{36}}{2×1.6} = \frac{118 \pm 6}{3.2}$
解得$x_1 = \frac{118 + 6}{3.2} = 38.75$，$x_2 = \frac{118 - 6}{3.2} = 35$
因为要使价格对顾客更具吸引力，所以选择较低的售价，即$x = 35$。
35元/千克

6. 某超市服装柜台在销售中发现：进货价为每件 50 元,销售价为每件 90 元的某品牌童装平均每天可售出 20 件. 为了迎接六一国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利. 经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元,那么平均每天就可多售出 2 件. 要想平均每天销售这种童装盈利 1 200 元,同时又要使顾客得到较多的实惠,那么每件童装应降价多少元?

20元

设每件童装应降价$x$元。
每件童装的利润为$(90 - 50 - x)$元，每天的销售量为$(20 + 2x)$件。
根据题意，得$(90 - 50 - x)(20 + 2x) = 1200$
整理，得$x^2 - 30x + 200 = 0$
解得$x_1 = 10$，$x_2 = 20$
因为要使顾客得到较多的实惠，所以$x = 20$
答：每件童装应降价20元。