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5. 已知抛物线 $ y = -x^2 + 2x + 2 $。
(1) 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2) 在如图22 - 1 - 6 - 3的直角坐标系内画出 $ y = -x^2 + 2x + 2 $ 的图象。
(1) 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2) 在如图22 - 1 - 6 - 3的直角坐标系内画出 $ y = -x^2 + 2x + 2 $ 的图象。
答案
(1)开口向下,对称轴是直线$x=1$,顶点坐标是$(1,3)$
(2)略
6. (2021江西中考)在同一平面直角坐标系中,二次函数 $ y = ax^2 $ 与一次函数 $ y = bx + c $ 的图象如图22 - 1 - 6 - 4所示,则二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象可能是(
D
)答案
D
解析
由二次函数$y = ax^2$的图象开口向上，得$a＞0$；
由一次函数$y = bx + c$的图象经过第一、二、四象限，得$b＜0$，$c＞0$；
二次函数$y = ax^2 + bx + c$中，$a＞0$，开口向上；对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，在$y$轴右侧；与$y$轴交点$(0,c)$，$c＞0$，交点在$y$轴正半轴。
D
由一次函数$y = bx + c$的图象经过第一、二、四象限，得$b＜0$，$c＞0$；
二次函数$y = ax^2 + bx + c$中，$a＞0$，开口向上；对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，在$y$轴右侧；与$y$轴交点$(0,c)$，$c＞0$，交点在$y$轴正半轴。
D
7. (2021苏州中考)已知抛物线 $ y = x^2 + kx - k^2 $ 的对称轴在 $ y $ 轴右侧,现将该抛物线先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到的抛物线正好经过坐标原点,则 $ k $ 的值是(
A.$ -5 $ 或2
B.$ -5 $
C.2
D.$ -2 $
B
)A.$ -5 $ 或2
B.$ -5 $
C.2
D.$ -2 $
答案
B
解析
抛物线$y = x^2 + kx - k^2$的对称轴为直线$x=-\dfrac{k}{2}$，
∵对称轴在$y$轴右侧，
∴$-\dfrac{k}{2}＞0$，解得$k＜0$，
将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，
得到的抛物线解析式为$y=(x - 3)^2 + k(x - 3)-k^2 + 1$，
∵平移后抛物线经过原点$(0,0)$，
∴$0=(0 - 3)^2 + k(0 - 3)-k^2 + 1$，
整理得$k^2 + 3k - 10=0$，
解得$k_1=-5$，$k_2=2$，
∵$k＜0$，
∴$k=-5$
B
∵对称轴在$y$轴右侧，
∴$-\dfrac{k}{2}＞0$，解得$k＜0$，
将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，
得到的抛物线解析式为$y=(x - 3)^2 + k(x - 3)-k^2 + 1$，
∵平移后抛物线经过原点$(0,0)$，
∴$0=(0 - 3)^2 + k(0 - 3)-k^2 + 1$，
整理得$k^2 + 3k - 10=0$，
解得$k_1=-5$，$k_2=2$，
∵$k＜0$，
∴$k=-5$
B
8. 已知某抛物线对应的函数解析式为 $ y = x^2 + mx + 2m - m^2 $,分别根据下列条件求 $ m $ 的值。
(1) 抛物线过原点；
(2) 抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $。
(1) 抛物线过原点；
(2) 抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $。
答案
(1)$m=0$或$m=2$
(2)$m=-2$
9. 如图22 - 1 - 6 - 5,已知二次函数 $ y = x^2 + ax + 3 $ 的图象经过点 $ P(-2, 3) $。
(1) 求 $ a $ 的值和图象的顶点坐标。
(2) 点 $ Q(m, n) $ 在该二次函数图象上。
①当 $ m = 2 $ 时,求 $ n $ 的值；
②若点 $ Q $ 到 $ y $ 轴的距离小于2,请根据图象直接写出 $ n $ 的取值范围。
(1) 求 $ a $ 的值和图象的顶点坐标。
(2) 点 $ Q(m, n) $ 在该二次函数图象上。
①当 $ m = 2 $ 时,求 $ n $ 的值；
②若点 $ Q $ 到 $ y $ 轴的距离小于2,请根据图象直接写出 $ n $ 的取值范围。
答案
解:
(1)把$P(-2,3)$代入$y=x^{2}+ax+3$,得$3=(-2)^{2}+a(-2)+3$,解得$a=2,$$\therefore y=x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2,$
∴顶点坐标为$(-1,2)$。
(2)①把$x=2$代入$y=x^{2}+2x+3$,得$y=11$,
∴当$m=2$时,$n=11$。
②当点Q到y轴的距离小于2时,即$-2＜m＜2$,函数可以取得最小值为2,当$x=2$时,y取最大值11,
∴n的取值范围为$2≤n＜11$。
(1)把$P(-2,3)$代入$y=x^{2}+ax+3$,得$3=(-2)^{2}+a(-2)+3$,解得$a=2,$$\therefore y=x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2,$
∴顶点坐标为$(-1,2)$。
(2)①把$x=2$代入$y=x^{2}+2x+3$,得$y=11$,
∴当$m=2$时,$n=11$。
②当点Q到y轴的距离小于2时,即$-2＜m＜2$,函数可以取得最小值为2,当$x=2$时,y取最大值11,
∴n的取值范围为$2≤n＜11$。
