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【例2】二次函数 $ y = ax^2 - 5x + c $ 的图象如图22 - 1 - 6 - 1所示,请根据图象回答下列问题：
1. $ a = $
2. 函数图象的对称轴是
3. 该函数有最
4. 当 $ x $
- 解题关键：根据二次函数解析式及图象中的特殊点求出 $ a $,$ c $ 的值,并根据图象判断其相关性质。
1. $ a = $
1
,$ c = $ 4
；2. 函数图象的对称轴是
直线$x=\frac {5}{2}$
,顶点坐标 $ P $ 为 $(\frac {5}{2},-\frac {9}{4})$
；3. 该函数有最
小
值,当 $ x = $ $\frac {5}{2}$
时,$ y $ 的最值为 $-\frac {9}{4}$
；4. 当 $ x $
$＜\frac {5}{2}$
时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,当 $ x $ $＞\frac {5}{2}$
时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。- 解题关键：根据二次函数解析式及图象中的特殊点求出 $ a $,$ c $ 的值,并根据图象判断其相关性质。
答案
(1)1 4
(2)直线$x=\frac {5}{2}$ $(\frac {5}{2},-\frac {9}{4})$
(3)小 $\frac {5}{2}$ $-\frac {9}{4}$
(4)$＜\frac {5}{2}$ $＞\frac {5}{2}$
【例3】将抛物线 $ y = -ax^2 + bx + c $ 向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后得到抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $,则 $ a = $
- 解题关键：先将抛物线化为顶点式,再根据抛物线的平移规律逆向求解。
$\frac {1}{2}$
,$ b = $ $-1$
,$ c = $ $-\frac {5}{2}$
。- 解题关键：先将抛物线化为顶点式,再根据抛物线的平移规律逆向求解。
答案
$\frac {1}{2}$ -1 $-\frac {5}{2}$
解析
将抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到原抛物线。
向左平移1个单位长度：$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$
再向下平移2个单位长度：$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 2$
展开得：$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) - 2 = -\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{5}{2}$
所以$a = \frac{1}{2}$，$b = -1$，$c = -\frac{5}{2}$
$\frac{1}{2}$；$-1$；$-\frac{5}{2}$
向左平移1个单位长度：$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$
再向下平移2个单位长度：$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 2$
展开得：$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) - 2 = -\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{5}{2}$
所以$a = \frac{1}{2}$，$b = -1$，$c = -\frac{5}{2}$
$\frac{1}{2}$；$-1$；$-\frac{5}{2}$
【例4】二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图22 - 1 - 6 - 2,点 $ (1, 0) $ 在函数图象上,那么 $ abc $,$ 2a + b $,$ a + b + c $,$ a - b + c $ 这四个代数式中,值为正数的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
- 解题关键：根据抛物线的位置与二次函数的一般式中系数的关系来解答。
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
- 解题关键：根据抛物线的位置与二次函数的一般式中系数的关系来解答。
答案
C
解析
由抛物线开口向上得$a＞0$；对称轴在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，又$a＞0$，故$b＜0$；抛物线与$y$轴交于负半轴，得$c＜0$，则$abc＞0$。
对称轴$0＜-\frac{b}{2a}＜1$，$a＞0$，两边乘$2a$得$-2a＜b＜0$，故$2a + b＞0$。
点$(1,0)$在图象上，代入得$a + b + c=0$。
当$x=-1$时，$y=a - b + c$，由抛物线过$(1,0)$及对称轴$0＜-\frac{b}{2a}＜1$，知抛物线与$x$轴另一交点在$(-1,0)$左侧，当$x=-1$时，$y＞0$，即$a - b + c＞0$。
综上，值为正数的有$abc$，$2a + b$，$a - b + c$，共3个。
C
对称轴$0＜-\frac{b}{2a}＜1$，$a＞0$，两边乘$2a$得$-2a＜b＜0$，故$2a + b＞0$。
点$(1,0)$在图象上，代入得$a + b + c=0$。
当$x=-1$时，$y=a - b + c$，由抛物线过$(1,0)$及对称轴$0＜-\frac{b}{2a}＜1$，知抛物线与$x$轴另一交点在$(-1,0)$左侧，当$x=-1$时，$y＞0$，即$a - b + c＞0$。
综上，值为正数的有$abc$，$2a + b$，$a - b + c$，共3个。
C
1. 将 $ y = x^2 - 6x + 1 $ 化成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式,则 $ h + k $ 的值是(
A.$ -5 $
B.$ -8 $
C.$ -11 $
D.5
A
)A.$ -5 $
B.$ -8 $
C.$ -11 $
D.5
答案
A
解析
解：$y = x^2 - 6x + 1$
$=x^2 - 6x + 9 - 9 + 1$
$=(x - 3)^2 - 8$
所以$h = 3$，$k = -8$，则$h + k = 3 + (-8) = -5$
A
$=x^2 - 6x + 9 - 9 + 1$
$=(x - 3)^2 - 8$
所以$h = 3$，$k = -8$，则$h + k = 3 + (-8) = -5$
A
2. 将抛物线 $ y = x^2 - 6x + 5 $ 先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到新的抛物线的解析式是(
A.$ y = (x - 4)^2 - 6 $
B.$ y = (x - 1)^2 - 3 $
C.$ y = (x - 2)^2 - 2 $
D.$ y = (x - 4)^2 - 2 $
D
)A.$ y = (x - 4)^2 - 6 $
B.$ y = (x - 1)^2 - 3 $
C.$ y = (x - 2)^2 - 2 $
D.$ y = (x - 4)^2 - 2 $
答案
D
解析
将抛物线$y = x^2 - 6x + 5$配方得：$y=(x - 3)^2 - 4$。
向上平移2个单位长度得：$y=(x - 3)^2 - 4 + 2=(x - 3)^2 - 2$。
再向右平移1个单位长度得：$y=(x - 3 - 1)^2 - 2=(x - 4)^2 - 2$。
D
向上平移2个单位长度得：$y=(x - 3)^2 - 4 + 2=(x - 3)^2 - 2$。
再向右平移1个单位长度得：$y=(x - 3 - 1)^2 - 2=(x - 4)^2 - 2$。
D
3. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a ＜ 0) $,过 $ A(-2, 0) $,$ O(0, 0) $,$ B(-3, y_1) $,$ C(3, y_2) $ 四点,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是(
A.$ y_1 ＞ y_2 $
B.$ y_1 = y_2 $
C.$ y_1 ＜ y_2 $
D.不能确定
A
)A.$ y_1 ＞ y_2 $
B.$ y_1 = y_2 $
C.$ y_1 ＜ y_2 $
D.不能确定
答案
A
解析
解：
∵抛物线过点$A(-2,0)$、$O(0,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$。
∵$a＜0$，抛物线开口向下，
∴点到对称轴距离越远，函数值越小。
点$B(-3,y_1)$到对称轴距离：$|-3 - (-1)|=2$；
点$C(3,y_2)$到对称轴距离：$|3 - (-1)|=4$。
∵$2＜4$，
∴$y_1＞y_2$。
A
∵抛物线过点$A(-2,0)$、$O(0,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$。
∵$a＜0$，抛物线开口向下，
∴点到对称轴距离越远，函数值越小。
点$B(-3,y_1)$到对称轴距离：$|-3 - (-1)|=2$；
点$C(3,y_2)$到对称轴距离：$|3 - (-1)|=4$。
∵$2＜4$，
∴$y_1＞y_2$。
A
4. 抛物线 $ y = x^2 - 2x + m^2 + 2 $($ m $ 是常数)的顶点在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
A
解析
将抛物线$y = x^2 - 2x + m^2 + 2$化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 - 2x + 1 - 1 + m^2 + 2\\&=(x - 1)^2 + m^2 + 1\end{aligned}$
顶点坐标为$(1, m^2 + 1)$。
因为$1＞0$，$m^2 + 1\geq1＞0$，所以顶点在第一象限。
A
$\begin{aligned}y&=x^2 - 2x + 1 - 1 + m^2 + 2\\&=(x - 1)^2 + m^2 + 1\end{aligned}$
顶点坐标为$(1, m^2 + 1)$。
因为$1＞0$，$m^2 + 1\geq1＞0$，所以顶点在第一象限。
A
