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4. (★)(2023·云南)如图 24.1-35,$AB是\odot O$的直径,$C是\odot O$上一点. 若$\angle BOC = 66^{\circ}$,则$\angle A$的度数为【
A.$66^{\circ}$
B.$33^{\circ}$
C.$24^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
B
】A.$66^{\circ}$
B.$33^{\circ}$
C.$24^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案
B
解析
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle C$对应的弧是半圆，根据圆周角定理，$\angle C = 90°$的圆周角（此处实际用的是直径所对圆周角为90°的推论，但本质基于圆周角定理相关）。
已知$\angle BOC = 66°$，$\angle BOC$是圆心角，$\angle A$是同弧所对的圆周角，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，可得$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC$（这里的角为$\angle BOC$中除平角部分外与圆周角$\angle A$对应的圆心角关系，即$\angle A$对应的圆心角为$\angle BOC$，所以$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC$ ）。
所以$\angle A=\frac{1}{2}×66° = 33°$。
已知$\angle BOC = 66°$，$\angle BOC$是圆心角，$\angle A$是同弧所对的圆周角，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，可得$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC$（这里的角为$\angle BOC$中除平角部分外与圆周角$\angle A$对应的圆心角关系，即$\angle A$对应的圆心角为$\angle BOC$，所以$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC$ ）。
所以$\angle A=\frac{1}{2}×66° = 33°$。
5. (★)在$\odot O$中,若圆心角$\angle AOB = 100^{\circ}$,$C是劣弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$上一点,则$\angle ACB$等于【
A.$80^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
B
】A.$80^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
答案
B
解析
在$\odot O$中，圆心角$\angle AOB=100^{\circ}$，则劣弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角为$\frac{1}{2}\angle AOB = 50^{\circ}$。因为$C$是劣弧$\overset{\frown}{AB}$上一点，所以$\angle ACB$是劣弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，故$\angle ACB=50^{\circ}$。
6. (★)如图 24.1-36,点$ A,B,C在\odot O$上,$AB// CO$,$\angle B = 22^{\circ}$,则$\angle A$的度数为
68°
.答案
68°
解析
∵∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∴∠AOC=2∠B=2×22°=44°。
∵AB//CO，∴∠BAO+∠AOC=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠BAO=180°-∠AOC=180°-44°=136°。
∵OA=OC（半径相等），∴∠OAC=∠OCA。
∵AB//CO，∴∠BAC=∠OCA（两直线平行，内错角相等），∴∠BAC=∠OAC。
设∠BAC=∠OAC=x，则∠BAO=∠BAC+∠OAC=2x=136°，解得x=68°，即∠A=68°。
∵AB//CO，∴∠BAO+∠AOC=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠BAO=180°-∠AOC=180°-44°=136°。
∵OA=OC（半径相等），∴∠OAC=∠OCA。
∵AB//CO，∴∠BAC=∠OCA（两直线平行，内错角相等），∴∠BAC=∠OAC。
设∠BAC=∠OAC=x，则∠BAO=∠BAC+∠OAC=2x=136°，解得x=68°，即∠A=68°。
7. (★)如图 24.1-37,在$\odot O$中,$\overset{\LARGE{\frown}}{AB}= \overset{\LARGE{\frown}}{AC}$,$\angle AOB = 40^{\circ}$,则$\angle ADC$的度数是______
20°
.答案
20°
解析
连接OC。因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，所以$\angle AOC = \angle AOB = 40^{\circ}$。$\angle ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$\angle AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，所以$\angle ADC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×40^{\circ}=20^{\circ}$。
8. (★)如图 24.1-38,$A,B,C,D$是圆上的点,$\angle 1 = 68^{\circ}$,$\angle A = 40^{\circ}$,则$\angle D$的度数为
28°
.答案
28°
解析
∵∠1是△ABC的外角，∠1=68°，∠A=40°，∴∠ACB=∠1 - ∠A=68° - 40°=28°.∵∠D与∠ACB所对的弧都是$\overset{\frown}{AB}$，∴∠D=∠ACB=28°.
9. (★)如图 24.1-39,在半圆弧$AB上有一点C$,则$\angle ACB$的度数为
90°
.答案
90°
解析
因为AB是半圆的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，所以∠ACB=90°。
10. (★★)如图 24.1-40,$\triangle ABC是\odot O$的内接三角形,$AC是\odot O$的直径,$\angle C = 50^{\circ}$,$\angle ABC的平分线BD交\odot O于点D$,则$\angle BAD$的度数是【
A.$45^{\circ}$
B.$85^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$95^{\circ}$
B
】A.$45^{\circ}$
B.$85^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$95^{\circ}$
答案
B
解析
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-90°-50°=40°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=45°。
∵∠DBC与∠DAC均为弧DC所对的圆周角，
∴∠DAC=∠DBC=45°（同弧所对的圆周角相等）。
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=40°+45°=85°。
11. (★)如图 24.1-41,将$\odot O沿弦AB$折叠,点$C在\overset{\LARGE{\frown}}{AMB}$上,点$D在\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$上,若$\angle ACB = 70^{\circ}$,则$\angle ADB$的度数为______
110°
.答案
110°
解析
∵点C在优弧AMB上，∠ACB=70°，∴∠ACB是劣弧AB所对的圆周角。根据圆周角定理，劣弧AB的度数为2∠ACB=2×70°=140°。则优弧AMB的度数为360°-140°=220°。将⊙O沿弦AB折叠，点D在折叠后的弧AB上，此时点D所在的弧与优弧AMB关于AB对称，故点D所在的弧的度数等于优弧AMB的度数220°。∠ADB是点D所在弧所对的圆周角，其度数为该弧度数的一半，即∠ADB=220°÷2=110°。
12. (★)如图 24.1-42,$AB为\odot O$的直径,点$C,D在\odot O$上,并且在直径$AB$的两侧,$\angle BAC = 20^{\circ}$,则$\angle D$的度数为______.
70°
答案
70°
解析
连接BC。
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠BAC=20°，
∴∠ABC=90°-20°=70°（直角三角形两锐角互余）。
∵点C，D在⊙O上且在AB两侧，
∴∠D=∠ABC=70°（同弧所对的圆周角相等）。
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠BAC=20°，
∴∠ABC=90°-20°=70°（直角三角形两锐角互余）。
∵点C，D在⊙O上且在AB两侧，
∴∠D=∠ABC=70°（同弧所对的圆周角相等）。
