13. (★★)如图 24.1-43,$A,B,C为\odot O$上的三点,$\angle AOB = \frac{1}{3}\angle BOC$,$\angle ACB = 12^{\circ}$,则$\angle AOC$的度数为______.

$96^{\circ}$

设$\angle AOB=x$，因为$\angle AOB=\frac{1}{3}\angle BOC$，则$\angle BOC = 3x$，所以$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=x + 3x=4x$。
根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$（同弧$\overset{\frown}{AB}$），已知$\angle ACB = 12^{\circ}$，则$\frac{1}{2}x=12^{\circ}$，解得$x = 24^{\circ}$。
所以$\angle AOC=4x=4×24^{\circ}=96^{\circ}$。

14. (★★)如图 24.1-44,量角器的直径与直角三角板$ABC的斜边AB$重合,其中量角器$0刻度线的端点N与点A$重合,射线$CP从CA处出发绕点C沿顺时针方向以每秒2$度的速度旋转,$CP与量角器的半圆弧交于点E$,第$35$秒时,点$E$在量角器上对应的读数是度.

140

连接OE，设AB中点为O（量角器圆心）。
∵△ABC为直角三角形，斜边AB为量角器直径，
∴∠ACB=90°，点C在以AB为直径的圆上。
射线CP旋转角度：2°/秒×35秒=70°，即∠ACE=70°。
∵点E在以AB为直径的圆上，
∴∠ACE为圆周角，其所对弧为AE。
由圆周角定理：∠ACE=1/2弧AE度数，
∴弧AE=2×70°=140°。
量角器读数为圆心角∠AOE度数，即弧AE度数=140°。

15. (★★)如图 24.1-45,等腰三角形$ABC的三个顶点在\odot O$上,已知$AB = AC$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$BD是\odot O$的直径,如果$CD = \frac{4\sqrt{3}}{3}$,则$AD$的长度为.

4

∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ACB=∠ABC=30°，∠BAC=180°-30°-30°=120°．
∵A，B，C，D在⊙O上，
∴∠ADB=∠ACB=30°（同弧AB所对圆周角相等）．
∵BD是⊙O直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°（直径所对圆周角为直角）．
∠BAC=120°，则优弧BC度数为2∠BAC=240°，劣弧BC度数=360°-240°=120°，
∴∠BDC=1/2×120°=60°（圆周角等于所对弧度数一半）．
在Rt△BCD中，∠BDC=60°，CD=4√3/3，cos60°=CD/BD，即1/2=(4√3/3)/BD，解得BD=8√3/3．
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，cos30°=AD/BD，
∴AD=BD×cos30°=(8√3/3)×(√3/2)=4．

16.如图，AB是$\odot O$的直径，C、D是$\odot O$上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC、OC相交于点E、F，有以下结论：①$OC// BD$；②$AD\perp OC$；③$\triangle CEF\cong\triangle BED$；④$AF = FD$. 其中不一定成立的是(填序号).

①③

① 考虑 $OC // BD$：只有当 $\angle OCA = \angle CBD$ 时，才有 $OC // BD$，但 $\angle OCA 和 \angle CBD$ 不一定相等，因此 $OC // BD$ 不一定成立。
② 考虑 $AD \perp OC$：连接 $OD$，因为 $OA = OD$，所以 $\triangle OAD$ 是等腰三角形，$\angle OAD = \angle ODA$。因为 $C, D$ 是圆周上的点，且 $AD$ 是公共边，$\angle AOD = 2\angle ACD$，所以 $\angle OAD = \angle ODA = \frac{1}{2}\angle AOD = \angle ACD$，$\angle OAD + \angle ACO = 90°$，所以 $\angle AEC = 90°$，即 $AD \perp OC$，因此 $AD \perp OC$ 成立。
③ 考虑 $\triangle CEF \cong \triangle BED$：在三角形 $\triangle CEF$ 和 $\triangle BED$ 中，只有当对应边角相等时才全等，但这里没有足够的信息证明全等，因此不一定成立。
④ 考虑 $AF = FD$：因为 $\angle AEC = 90°$，且 $E$ 在 $OC$ 上，所以 $E$ 是 $AD$ 的中点，即 $AF = FD$，因此 $AF = FD$ 成立。

17. (★★★)如图 24.1-47,已知$\odot O的直径为10$,点$A,B,C在\odot O$上,$\angle CAB的平分线交\odot O于点D$. 若$\angle CAB = 60^{\circ}$,求$BD$的长.

5

连接OB，OD。
∵AD平分∠CAB，∠CAB=60°，
∴∠DAB=1/2∠CAB=30°。
∵∠DAB是圆周角，其所对弧为弧DB，
∴弧DB的度数=2∠DAB=60°。
∵圆心角∠BOD所对弧为弧DB，
∴∠BOD=60°。
∵OB，OD为⊙O半径，⊙O直径为10，
∴OB=OD=5。
在△OBD中，OB=OD，∠BOD=60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴BD=OB=5。

18. (★★)如图 24.1-48,$\odot C$过原点,且与两坐标轴分别交于点$A,B$,点$A的坐标为(0,4)$,$M是第三象限内\overset{\LARGE{\frown}}{OB}$上一点,$\angle BMO = 120^{\circ}$.
(1)求证：$AB为\odot C$的直径；
(2)求$\odot C$的半径.

(1) 证明：∵点A，B，O在⊙C上，且∠AOB=90°（x轴与y轴垂直），
∴∠AOB是⊙C的圆周角，且∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径（直径所对的圆周角是直角）。
(2) 解：∵AB为直径，设⊙C半径为r，则AB=2r。
∵A(0,4)，∴OA=4。
∵M在⊙C上，∠BMO=120°，四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BMO+∠BAO=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠BAO=180°-120°=60°。
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴cos∠BAO=OA/AB，即cos60°=4/(2r)，
∵cos60°=1/2，∴1/2=4/(2r)，解得r=4。
(1) 得证；(2) ⊙C的半径为4。