1. (★)把下列各式分解因式：
(1) $4x^{2}-1=$；
(2) $x^{2}-6x+9=$；
(3) $3x^{2}-12x=$；
(4) $x(x+2)+3(x+2)=$.

(1)$(2x+1)(2x-1)$；(2)$(x-3)^{2}$；(3)$3x(x-4)$；(4)$(x+2)(x+3)$

(1) $4x^{2}-1=(2x)^{2}-1^{2}=(2x+1)(2x-1)$；
(2) $x^{2}-6x+9=x^{2}-2×x×3+3^{2}=(x-3)^{2}$；
(3) $3x^{2}-12x=3x(x-4)$；
(4) $x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$.

2. (★)(1)若实数 $a,b$ 满足 $a^{2}+b^{2}= 0$,则有 $a=$且 $b=$；
(2)若实数 $a,b$ 满足 $ab = 0$,则有 $a=$或 $b=$.

(1)0，0；(2)0，0

(1)因为任何实数的平方都为非负数，两个非负数的和为0，则这两个数都为0，所以$a=0$且$b=0$；(2)根据两数相乘，积为0，则至少有一个数为0，所以$a=0$或$b=0$。

3. (★)解一元二次方程时,先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于 $0$ 的形式,再使,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

这两个一次式分别等于0

根据因式分解法的定义，解一元二次方程时，通过因式分解将方程转化为两个一次式的乘积等于0的形式，再根据“若两个数的乘积等于0，则至少其中一个数为0”的原理，使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。

4. (★)和适用于解所有的一元二次方程,在解某些一元二次方程时比较简便. 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程,即.

配方法；公式法；因式分解法；降次

配方法和公式法适用于解所有的一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便。解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。

5. (★)方程 $x^{2}-5x= 0$ 的根是 【】
A.$x= 0$
B.$x_{1}= 0,x_{2}= 5$
C.$x_{1}= x_{2}= 5$
D.$x= 5$

B

对方程$x^{2} - 5x = 0$，提取公因式$x$得到$x(x - 5)=0$，则$x = 0$或$x - 5 = 0$，解得$x_{1}= 0$，$x_{2}= 5$。

6. (★)解方程 $(x-2)^{2}= 3(x-2)$ 的适当方法是 【】
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

D

将方程$(x-2)^2 = 3(x-2)$移项得$(x-2)^2 - 3(x-2) = 0$，提取公因式$(x-2)$得$(x-2)(x-2-3)=0$，即$(x-2)(x-5)=0$，因此解方程适用因式分解法。

7. (★)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+4)x^{2}+a^{2}-16= 0$ 的常数项是 $0$,则 $a$ 的值是 【】
A.$4$ 或 $-4$
B.$0$
C.$4$
D.$-4$

C

因为方程是一元二次方程，所以二次项系数 $a + 4 \neq 0$，即 $a \neq -4$。又因为常数项是 $0$，所以 $a^2 - 16 = 0$，解得 $a = 4$ 或 $a = -4$。结合 $a \neq -4$，可得 $a = 4$。

8. (★★)定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“同伴方程”. 例如,$x^{2}= 4$ 和 $(x-2)(x+3)= 0$ 有且仅有一个相同的实数根 $x= 2$,所以这两个方程为同伴方程. 若关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$ 满足 $a+b+c= 0$ 和 $a-b+c= 0$,且该方程与 $(x+2)(x-n)= 0$ 互为同伴方程,则 $n$ 的值为 【】
A.$1$ 或 $-1$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

A

∵方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$满足$a + b + c = 0$，∴当$x=1$时，$a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 0$，即$x=1$是方程的根；
∵满足$a - b + c = 0$，∴当$x=-1$时，$a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 0$，即$x=-1$是方程的根；
∴方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根为$x=1$和$x=-1$。
方程$(x + 2)(x - n) = 0$的两根为$x=-2$和$x=n$。
∵两方程互为“同伴方程”（有且只有一个相同实数根），
∴公共根只能为$1$或$-1$：
若公共根为$1$，则$n=1$；
若公共根为$-1$，则$n=-1$。
综上，$n=1$或$-1$。

9. (★★)用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2}= 3x$；
(2)$x^{2}-196= 0$；
(3)$x(2x+1)= 3(2x+1)$；
(4)$(x-2)^{2}= 2-x$.

(1)
解：移项得$x^{2}-3x = 0$，
提取公因式$x$得$x(x - 3)=0$，
则$x = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=3$。
(2)
解：利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$x^{2}-196 = 0$因式分解得$(x + 14)(x - 14)=0$，
则$x + 14 = 0$或$x - 14 = 0$，
解得$x_{1}=-14$，$x_{2}=14$。
(3)
解：移项得$x(2x + 1)-3(2x + 1)=0$，
提取公因式$(2x + 1)$得$(2x + 1)(x - 3)=0$，
则$2x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$，
由$2x+1 = 0$得$x=-\frac{1}{2}$，由$x - 3 = 0$得$x = 3$，
解得$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=3$。
(4)
解：移项得$(x - 2)^{2}+(x - 2)=0$，
提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)(x - 2 + 1)=0$，即$(x - 2)(x - 1)=0$，
则$x - 2 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=1$。