22. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆. 例如,线段 AB 的最小覆盖圆就是以线段 AB 为直径的圆.
(1)请分别作出图中两个三角形的最小覆盖圆(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法).
(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论(不要求证明).

【解析】：
(1) 对于第一个三角形（角A为$80^\circ$），由于它是一个锐角三角形，其最小覆盖圆就是以三角形的任意一边为直径的圆，但通常选择最长边或特定边更为直观，此处我们选择BC为直径的圆（答案不唯一，因为锐角三角形的外接圆即可覆盖整个三角形）。使用圆规，以BC的中点为圆心，BC长度的一半为半径画圆。
对于第二个三角形（角A为$100^\circ$），它是一个钝角三角形，其最小覆盖圆是以最长边BC为直径的圆。同样使用圆规，以BC的中点为圆心，BC长度的一半为半径画圆。
(2) 规律：
锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，即三角形的三个顶点都在圆上；
直角三角形的最小覆盖圆也是其外接圆，且直径等于斜边的长度；
钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边（即钝角所对的边）为直径的圆。
【答案】：
(1) 作图如下：
第一个三角形（锐角三角形）的最小覆盖圆：以BC为直径画圆（图略，保留作图痕迹，如圆心、半径等）。
第二个三角形（钝角三角形）的最小覆盖圆：同样以BC为直径画圆（图略）。
(2) 结论：
锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆；
直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，直径等于斜边；
钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆。

(1)如图①,当 r＜a 时,根据 d 与 a、r 之间关系,请你将$\odot O$与正方形的公共点个数填入下表：


(2)如图②,当 r= a 时,根据 d 与 a、r 之间关系,请你写出$\odot O$与正方形的公共点个数. 当 r= a 时,$\odot O$与正方形的公共点个数可能为.
(3)如图③,当$\odot O$与正方形有 5 个公共点时,r=.(请用 a 的代数式表示 r,不必说理)

$(1)$分析$\odot O$与正方形的公共点个数
根据圆与直线的位置关系（这里正方形的边可看作直线），当圆与直线相离时无交点，相切时有$1$个交点，相交时有$2$个交点。
当$d = a + r$时：圆$\odot O$与正方形的一边相切，所以公共点个数是$1$。
当$a - r\lt d\lt a + r$时：圆$\odot O$与正方形的两边相交，所以公共点个数是$2$。
当$d = a - r$时：圆$\odot O$与正方形的另一边相切，所以公共点个数是$1$。
当$d\lt a - r$时：圆$\odot O$与正方形的两边相离，所以公共点个数是$0$。
$(2)$当$r = a$时，求$\odot O$与正方形的公共点个数
当$d\gt 2a$时，圆$\odot O$与正方形无公共点，即公共点个数为$0$。
当$d = 2a$时，圆$\odot O$与正方形的一边相切，公共点个数为$1$。
当$a\lt d\lt 2a$时，圆$\odot O$与正方形的两边相交，公共点个数为$2$。
当$d = a$时，圆$\odot O$与正方形的两边相切，公共点个数为$2$（此时圆与正方形两边相切，从图形上看是$2$个切点）。
当$0\leqslant d\lt a$时，圆$\odot O$与正方形的四边相交，公共点个数为$4$。
所以公共点个数可能为$0$、$1$、$2$、$4$。
$(3)$当$\odot O$与正方形有$5$个公共点时，求$r$
此时圆$\odot O$经过正方形的一个顶点，根据勾股定理，正方形边长为$2a$，中心到顶点距离为$\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$，此时$r = \sqrt{2}a$（圆经过正方形顶点，圆心到顶点距离等于半径）。
综上，答案依次为：$(1)$$1$；$2$；$1$；$0$；$(2)$$\boldsymbol{0、1、2、4}$；$(3)$$\boldsymbol{\sqrt{2}a}$ 。