7. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积. 如图,设$\odot O的半径为1$,若用$\odot O的外切正六边形的面积S来近似估计\odot O$的面积,求$S$的值(结果保留根号).
$^*$

解：连接OA、OB，过点O作OM⊥AB于点M，
∵正六边形外切于⊙O，
∴OM为⊙O的半径，即OM=1，且OM⊥AB，
∵正六边形的中心角∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，∠OAB=60°，
在Rt△AOM中，sin∠OAB=OM/OA，cos∠OAB=AM/OA，
∴OA=OM/sin60°=1/(√3/2)=2√3/3，
AM=OA·cos60°=2√3/3×1/2=√3/3，
∴AB=2AM=2√3/3，
∴S_△AOB=1/2×AB×OM=1/2×2√3/3×1=√3/3，
∵正六边形由6个全等的△AOB组成，
∴S=6×S_△AOB=6×√3/3=2√3。
答：S的值为2√3。

8. 如图,$M$,$N分别是\odot O的内接正三角形ABC$,正方形$ABCD$,正五边形$ABCDE$,…$$,正$n边形ABCDEFG…的边AB$,$BC$上的点,且$BM = CN$,连接$OM$,$ON$.
(1) 图①中,$\angle MON$的度数是.
(2) 图②中,$\angle MON$的度数是,图③中,$\angle MON$的度数是.
(3) 试探究$\angle MON的度数与正n边形的边数n$的关系. (直接写出答案)

【解析】：本题主要考查正多边形与圆的关系，通过连接正多边形的顶点与圆心，利用正多边形的性质以及全等三角形的判定和性质来求解$\angle MON$的度数，并探究其与正$n$边形边数$n$的关系。
(1)对于图①（正三角形）：
连接$OB$，$OC$。
因为$\triangle ABC$是$\odot O$的内接正三角形，
所以$\angle BOC = \frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}$（同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，正三角形中心角为$360^{\circ}÷3$）。
又因为$OB = OC$（圆的半径相等），$\angle OBC = \angle OCB = 30^{\circ}$（正三角形内角的一半）。
已知$BM = CN$，根据全等三角形判定定理（$SAS$），可得$\triangle OBM\cong\triangle OCN$。
所以$\angle BOM = \angle CON$（全等三角形对应角相等）。
那么$\angle MON = \angle BOC = 120^{\circ}$。
(2)对于图②（正方形）：
连接$OB$，$OC$。
由于四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，
所以$\angle BOC = \frac{360^{\circ}}{4}=90^{\circ}$（正方形中心角为$360^{\circ}÷4$）。
同理$OB = OC$，$\angle OBC = \angle OCB = 45^{\circ}$。
因为$BM = CN$，所以$\triangle OBM\cong\triangle OCN(SAS)$。
所以$\angle BOM = \angle CON$，则$\angle MON = \angle BOC = 90^{\circ}$。
对于图③（正五边形）：
连接$OB$，$OC$。
因为五边形$ABCDE$是$\odot O$的内接正五边形，
所以$\angle BOC = \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$（正五边形中心角为$360^{\circ}÷5$）。
同样$OB = OC$，$\angle OBC = \angle OCB=\frac{(5 - 2)×180^{\circ}}{2×5} = 54^{\circ}$（正多边形内角公式$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$的一半）。
由$BM = CN$，可得$\triangle OBM\cong\triangle OCN(SAS)$。
所以$\angle BOM = \angle CON$，$\angle MON = \angle BOC = 72^{\circ}$。
(3)探究$\angle MON$的度数与正$n$边形的边数$n$的关系：
连接$OB$，$OC$。
因为$n$边形$ABCDEF\cdots$是$\odot O$的内接正$n$边形，
所以$\angle BOC = \frac{360^{\circ}}{n}$（正$n$边形中心角公式）。
$OB = OC$，$\angle OBC = \angle OCB=\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{2n}$（正多边形内角公式的一半）。
因为$BM = CN$，所以$\triangle OBM\cong\triangle OCN(SAS)$。
所以$\angle BOM = \angle CON$，则$\angle MON = \angle BOC = \frac{360^{\circ}}{n}$。
【答案】：
(1)$120^{\circ}$；
(2)$90^{\circ}$；$72^{\circ}$；
(3)$\angle MON = \frac{360^{\circ}}{n}$。