3. ★★★ 如图,已知$△ ADE$的顶点E在$△ ABC$的边BC上,DE与AB相交于点F,$∠ FEA=∠ B$,$∠ DAF=∠ EAC$.
(1)若$AF=BF=4$,求AE;
(2)求证:$\frac{DF}{DE}=\frac{CE}{CB}$.

3. (1) $\because ∠ FEA = ∠ B, ∠ BAE = ∠ EAF, \therefore △ BAE ∽ △ EAF, \therefore \frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AE}. \therefore AE^2 = AF · AB. \because AF = BF = 4, \therefore AE^2 = 4 × (4+4) = 32, \therefore AE = 4\sqrt{2}$.
(2) $\because ∠ DAF = ∠ CAE, ∠ FAE = ∠ FAE, \therefore ∠ DAE = ∠ CAF. \because ∠ FEA = ∠ B, \therefore △ DAE ∽ △ CAB, \therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC}, ∠ D = ∠ C. \because ∠ DAF = ∠ EAC, \therefore △ DAF ∽ △ CAE, \therefore \frac{DF}{EC}=\frac{AD}{AC}, \therefore \frac{DE}{BC}=\frac{DF}{EC}, \therefore \frac{CE}{BC}=\frac{DF}{DE}$.

【分析】
(1) 要求AE的长度，先观察已知角的关系：$∠ FEA=∠ B$，且$∠ BAE$是$△ BAE$和$△ EAF$的公共角，可先证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例得到关于AE的等式，代入已知线段长度计算即可。
(2) 要证明比例式$\frac{DF}{DE}=\frac{CE}{CB}$，先通过角的和差推导得到$∠ DAE=∠ CAB$，结合已知$∠ FEA=∠ B$证明$△ DAE∽△ CAB$，得到对应边比例$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$；再证明$△ DAF∽△ CAE$，得到$\frac{DF}{EC}=\frac{AD}{AC}$，通过中间量$\frac{AD}{AC}$等量代换后整理即可得到待证比例式。
【解析】
(1) $\because ∠ FEA = ∠ B$，$∠ BAE = ∠ EAF$（公共角），
$\therefore △ BAE ∽ △ EAF$，
$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AE}$，即 $AE^2 = AF · AB$。
$\because AF = BF = 4$，$\therefore AB = AF + BF = 8$，
代入得 $AE^2 = 4 × 8 = 32$，
$\because AE$为线段长度，取正值，$\therefore AE = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
(2) 证明：
$\because ∠ DAF = ∠ CAE$，
$\therefore ∠ DAF + ∠ FAE = ∠ CAE + ∠ FAE$，即$∠ DAE = ∠ CAB$。
又$\because ∠ FEA = ∠ B$，$\therefore △ DAE ∽ △ CAB$，
$\therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC}$，且$∠ D = ∠ C$。
又$\because ∠ DAF = ∠ EAC$，$\therefore △ DAF ∽ △ CAE$，
$\therefore \frac{DF}{EC}=\frac{AD}{AC}$。
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{DF}{EC}$，变形可得$\frac{DF}{DE}=\frac{CE}{CB}$。
【答案】
(1) $4\sqrt{2}$；(2) 证明成立，过程见解析。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题核心是通过角的等量关系（公共角、等角加等角）证明三角形相似，再借助相似三角形对应边成比例的性质，通过中间比例式等量代换完成推导，需要熟练掌握相似的判定定理，具备一定的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6

4. 如图, CE 是 $Rt△ ABC$ 斜边上的高,在 EC 的延长线上任取一点 P,连结 AP,作 $BG ⊥ AP$ 于点 G,交 CE 于点 D.求证:$CE^2 = DE · PE$.

4. $\because BG ⊥ AP,PE ⊥ AB, \therefore ∠ AEP= ∠ DEB= ∠ AGB=90°$,
$\therefore ∠ P + ∠ PAB = 90°, ∠ PAB + ∠ ABG = 90°, \therefore ∠ P = ∠ ABG$,
$\therefore △ AEP ∽ △ DEB, \therefore \frac{AE}{DE}=\frac{PE}{BE}$, 即 $AE · BE = PE · DE$. 又 $\because ∠ CEA = ∠ BEC=90°, \therefore ∠ CAB+ ∠ ACE=90°$.
又 $\because ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ CAB + ∠ CBE = 90°, \therefore ∠ ACE = ∠ CBE$,
$\therefore △ AEC ∽ △ CEB, \therefore \frac{AE}{CE}=\frac{CE}{BE}$, 即 $CE^2 = AE · BE, \therefore CE^2 = DE · PE$.

【分析】
要证明等积式$CE^2 = DE · PE$，可先将等积式转化为比例式，借助相似三角形的性质推导。首先观察到$CE$是$Rt△ABC$斜边上的高，可先证明$△AEC∽△CEB$，得到$CE^2=AE·BE$，此时只需证明$AE·BE=DE·PE$即可，将该式转化为比例式$\frac{AE}{DE}=\frac{PE}{BE}$，对应证明$△AEP∽△DEB$，利用同角的余角相等找角的等量关系即可完成相似证明，最后通过等量代换得到结论。
【解析】
$\because BG ⊥ AP,PE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ AEP= ∠ DEB= ∠ AGB=90°$，
$\therefore ∠ P + ∠ PAB = 90°, ∠ PAB + ∠ ABG = 90°$，
$\therefore ∠ P = ∠ ABG$，
$\therefore △ AEP ∽ △ DEB$，
$\therefore \frac{AE}{DE}=\frac{PE}{BE}$，即 $AE · BE = PE · DE$。
又$\because ∠ CEA = ∠ BEC=90°$，
$\therefore ∠ CAB+ ∠ ACE=90°$，
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ CAB + ∠ CBA = 90°$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ CBA$，
$\therefore △ AEC ∽ △ CEB$，
$\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{CE}{BE}$，即 $CE^2 = AE · BE$，
$\therefore CE^2 = DE · PE$。
【答案】
$CE^2 = DE · PE$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等积式证明
【点评】
本题是相似证明的典型题型，解题核心是将等积式转化为比例式，通过两次证明三角形相似得到相关等积关系，再借助中间量等量代换得到结论，能有效锻炼逻辑推导和图形分析能力。
【难度系数】
0.6