登录
1.若$a^2 - ab = 0(b≠0)$，则$\frac{a}{a+b}$的值为（
A.0
B.0.5
C.0或0.5
D.1或2
C
）。A.0
B.0.5
C.0或0.5
D.1或2
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先从已知等式入手，通过因式分解得到a的两种可能取值情况，再结合分式有意义的条件（分母不为0），分情况代入分式计算即可得到结果，注意不要漏解也不要忽略分式的取值限制。
【解析】
解：已知$a^2 - ab = 0(b\ne0)$，对等式左边提取公因式得：
$a(a - b)=0$
由此可得两种情况：
1. 当$a=0$时：
分式$\frac{a}{a+b}$的分母$a+b = 0 + b = b\ne0$，分式有意义，代入得$\frac{0}{0 + b}=0$；
2. 当$a - b=0$即$a=b$时：
因为$b\ne0$，所以$a\ne0$，分式$\frac{a}{a+b}$的分母$a+b = a + a = 2a\ne0$，分式有意义，代入得$\frac{a}{a + a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}=0.5$。
综上，$\frac{a}{a+b}$的值为0或0.5，故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；分式有意义的条件；分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的基础题型，解题关键是先对已知等式变形得到参数的关系，注意分情况讨论时要验证分式分母不为0，避免出现无意义的情况，同时不要漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知等式入手，通过因式分解得到a的两种可能取值情况，再结合分式有意义的条件（分母不为0），分情况代入分式计算即可得到结果，注意不要漏解也不要忽略分式的取值限制。
【解析】
解：已知$a^2 - ab = 0(b\ne0)$，对等式左边提取公因式得：
$a(a - b)=0$
由此可得两种情况：
1. 当$a=0$时：
分式$\frac{a}{a+b}$的分母$a+b = 0 + b = b\ne0$，分式有意义，代入得$\frac{0}{0 + b}=0$；
2. 当$a - b=0$即$a=b$时：
因为$b\ne0$，所以$a\ne0$，分式$\frac{a}{a+b}$的分母$a+b = a + a = 2a\ne0$，分式有意义，代入得$\frac{a}{a + a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}=0.5$。
综上，$\frac{a}{a+b}$的值为0或0.5，故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；分式有意义的条件；分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的基础题型，解题关键是先对已知等式变形得到参数的关系，注意分情况讨论时要验证分式分母不为0，避免出现无意义的情况，同时不要漏解。
【难度系数】
0.7
2.已知 $ m + n = 3mn $，则 $ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} $ 的值为
3
。答案
2.3
解析
【分析】
本题是分式求值问题，解题思路如下：首先观察所求的代数式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$，属于异分母分式的加法，第一步先对其通分化简，得到含有$m+n$和$mn$的形式；再结合题目给出的已知条件$m+n=3mn$，将$m+n$整体代入化简后的式子，约分后即可求出结果。（本题隐含$m≠0$、$n≠0$，否则分式无意义，因此$mn≠0$，可以正常约分）
【解析】
解：先对所求式子通分计算：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n}{mn}+\frac{m}{mn}=\frac{m+n}{mn}$
已知$m+n=3mn$，且由分式有意义的条件可知$m≠0$，$n≠0$，即$mn≠0$，将$m+n=3mn$代入上式得：
$\frac{m+n}{mn}=\frac{3mn}{mn}=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 分式的加减运算 2. 整体代入求值
【点评】
本题属于基础的分式求值题，解题核心是先对所求分式进行化简，再利用整体代入的思想代入已知条件计算，无需单独求解$m$、$n$的具体值，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题是分式求值问题，解题思路如下：首先观察所求的代数式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$，属于异分母分式的加法，第一步先对其通分化简，得到含有$m+n$和$mn$的形式；再结合题目给出的已知条件$m+n=3mn$，将$m+n$整体代入化简后的式子，约分后即可求出结果。（本题隐含$m≠0$、$n≠0$，否则分式无意义，因此$mn≠0$，可以正常约分）
【解析】
解：先对所求式子通分计算：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n}{mn}+\frac{m}{mn}=\frac{m+n}{mn}$
已知$m+n=3mn$，且由分式有意义的条件可知$m≠0$，$n≠0$，即$mn≠0$，将$m+n=3mn$代入上式得：
$\frac{m+n}{mn}=\frac{3mn}{mn}=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 分式的加减运算 2. 整体代入求值
【点评】
本题属于基础的分式求值题，解题核心是先对所求分式进行化简，再利用整体代入的思想代入已知条件计算，无需单独求解$m$、$n$的具体值，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
3.已知$x+\dfrac{1}{x}=6$，则$x^2+\dfrac{1}{x^2}$的值为
34
答案
3.34
解析
【分析】
观察已知条件和所求代数式的特征，可联想到完全平方公式的变形。我们可以将已知等式$x+\dfrac{1}{x}=6$两边同时平方，利用完全平方公式展开后，结合$x·\dfrac{1}{x}=1$的特点，移项即可求出目标代数式的值，不需要单独求解x的取值，用整体代入的思路更简便。
【解析】
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a=x$，$b=\dfrac{1}{x}$代入得：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=x^2+2· x·\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}$
已知$x+\dfrac{1}{x}=6$，将等式两边同时平方得：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=6^2=36$
即$x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=36$
移项可得：$x^2+\dfrac{1}{x^2}=36-2=34$
【答案】
34
【知识点】
完全平方公式，分式求值，整体代入思想
【点评】
本题是典型的代数式变形求值题，核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形形式，利用整体代入的方法可避免求解未知数的繁琐步骤，快速得到计算结果。
【难度系数】
0.8
观察已知条件和所求代数式的特征，可联想到完全平方公式的变形。我们可以将已知等式$x+\dfrac{1}{x}=6$两边同时平方，利用完全平方公式展开后，结合$x·\dfrac{1}{x}=1$的特点，移项即可求出目标代数式的值，不需要单独求解x的取值，用整体代入的思路更简便。
【解析】
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a=x$，$b=\dfrac{1}{x}$代入得：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=x^2+2· x·\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}$
已知$x+\dfrac{1}{x}=6$，将等式两边同时平方得：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=6^2=36$
即$x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=36$
移项可得：$x^2+\dfrac{1}{x^2}=36-2=34$
【答案】
34
【知识点】
完全平方公式，分式求值，整体代入思想
【点评】
本题是典型的代数式变形求值题，核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形形式，利用整体代入的方法可避免求解未知数的繁琐步骤，快速得到计算结果。
【难度系数】
0.8
4.若$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$，则$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值为
$\frac{1}{8}$
.答案
4.$\frac{1}{8}$
解析
【分析】
观察已知等式和待求分式的结构，二者均为分子次数低于分母次数的分式，直接求解x的运算较繁琐，可采用取倒数法简化计算。首先确认x不为0，保证取倒数有意义，先对已知等式取倒数，通过分式拆分得到$x+\frac{1}{x}$的值；再对待求分式取倒数，利用完全平方公式将其变形为含$x+\frac{1}{x}$的式子，整体代入计算后再取倒数，即可得到待求式的结果。
【解析】
解：由$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$可知$x≠0$，将等式两边同时取倒数得：
$\frac{x^2 +1}{x}=3$
拆分分式可得：$x + \frac{1}{x}=3$
对待求式$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$，由$x≠0$得$x^2≠0$，将其取倒数得：
$\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$
根据完全平方公式变形可得$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，代入$x+\frac{1}{x}=3$得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=3^2 - 2=7$
因此$\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=7 + 1=8$，故$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，通过取倒数法简化了低次分子、高次分母类分式的计算，结合完全平方公式的变形和整体代入思想，避免了直接求解x的繁琐运算，熟练掌握这类变形技巧可有效提升分式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.7
观察已知等式和待求分式的结构，二者均为分子次数低于分母次数的分式，直接求解x的运算较繁琐，可采用取倒数法简化计算。首先确认x不为0，保证取倒数有意义，先对已知等式取倒数，通过分式拆分得到$x+\frac{1}{x}$的值；再对待求分式取倒数，利用完全平方公式将其变形为含$x+\frac{1}{x}$的式子，整体代入计算后再取倒数，即可得到待求式的结果。
【解析】
解：由$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$可知$x≠0$，将等式两边同时取倒数得：
$\frac{x^2 +1}{x}=3$
拆分分式可得：$x + \frac{1}{x}=3$
对待求式$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$，由$x≠0$得$x^2≠0$，将其取倒数得：
$\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$
根据完全平方公式变形可得$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，代入$x+\frac{1}{x}=3$得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=3^2 - 2=7$
因此$\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=7 + 1=8$，故$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，通过取倒数法简化了低次分子、高次分母类分式的计算，结合完全平方公式的变形和整体代入思想，避免了直接求解x的繁琐运算，熟练掌握这类变形技巧可有效提升分式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.7
5.若$\frac{n+m}{n-m}=2$，则$\frac{m^2}{n^2}+\frac{n^2}{m^2}=$
$9\frac{1}{9}$
答案
5.$9\frac{1}{9}$
解析
【分析】
本题是分式求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，处理已知的分式等式，利用分式的基本性质去分母，将分式等式转化为整式等式；第二步，整理整式等式，推导得到$n$与$m$的数量关系，进而求出$\frac{m}{n}$和$\frac{n}{m}$的比值；第三步，观察所求代数式$\frac{m^2}{n^2}+\frac{n^2}{m^2}$，可变形为$(\frac{m}{n})^2+(\frac{n}{m})^2$，将求出的比值代入计算即可得到结果。因为所求代数式是关于$m$、$n$的齐次分式，只需得到两者的比值即可求值，无需算出$m$、$n$的具体数值。
【解析】
已知$\frac{n+m}{n-m}=2$，由分式的分母不为0可知$n-m≠0$，等式两边同时乘$(n-m)$得：
$n+m=2(n-m)$
展开右边的式子：
$n+m=2n-2m$
移项合并同类项：
$m+2m=2n-n$
即$3m=n$
由此可得$\frac{n}{m}=3$，$\frac{m}{n}=\frac{1}{3}$
将其代入所求代数式：
$\frac{m^2}{n^2}+\frac{n^2}{m^2}=(\frac{m}{n})^2+(\frac{n}{m})^2=(\frac{1}{3})^2+3^2=\frac{1}{9}+9=9\frac{1}{9}$
【答案】
$9\frac{1}{9}$
【知识点】
分式的基本性质，分式化简求值，整式的加减运算
【点评】
本题是分式求值的基础常考题，核心是通过已知等式得到两个字母的比值关系，再代入所求式子计算，熟练掌握分式的基本运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题是分式求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，处理已知的分式等式，利用分式的基本性质去分母，将分式等式转化为整式等式；第二步，整理整式等式，推导得到$n$与$m$的数量关系，进而求出$\frac{m}{n}$和$\frac{n}{m}$的比值；第三步，观察所求代数式$\frac{m^2}{n^2}+\frac{n^2}{m^2}$，可变形为$(\frac{m}{n})^2+(\frac{n}{m})^2$，将求出的比值代入计算即可得到结果。因为所求代数式是关于$m$、$n$的齐次分式，只需得到两者的比值即可求值，无需算出$m$、$n$的具体数值。
【解析】
已知$\frac{n+m}{n-m}=2$，由分式的分母不为0可知$n-m≠0$，等式两边同时乘$(n-m)$得：
$n+m=2(n-m)$
展开右边的式子：
$n+m=2n-2m$
移项合并同类项：
$m+2m=2n-n$
即$3m=n$
由此可得$\frac{n}{m}=3$，$\frac{m}{n}=\frac{1}{3}$
将其代入所求代数式：
$\frac{m^2}{n^2}+\frac{n^2}{m^2}=(\frac{m}{n})^2+(\frac{n}{m})^2=(\frac{1}{3})^2+3^2=\frac{1}{9}+9=9\frac{1}{9}$
【答案】
$9\frac{1}{9}$
【知识点】
分式的基本性质，分式化简求值，整式的加减运算
【点评】
本题是分式求值的基础常考题，核心是通过已知等式得到两个字母的比值关系，再代入所求式子计算，熟练掌握分式的基本运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
6.若$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2$，求分式$\frac{5m+5n-2mn}{-m-n}$的值.
答案
6.由$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2$，可得$m + n=2mn$，$\frac{5m+5n-2mn}{-m-n}=\frac{5(m+n)-2mn}{-(m+n)}=\frac{10mn-2mn}{-2mn}=-4.$
解析
【分析】
解题时先观察已知等式和待求分式的结构特征：已知条件是两个分式的和，可先通分得到m+n与mn的数量关系；待求分式的分子、分母都含有m+n的结构，可将m+n作为整体，用得到的m+n与mn的关系代入待求分式，即可消去未知数求出结果，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
解：由$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2$，通分可得：
$\frac{m+n}{mn}=2$，
由原式可知$m≠0$且$n≠0$，因此$mn≠0$，等式两边同乘$mn$得：
$m+n=2mn$。
将待求分式变形：
$\frac{5m+5n-2mn}{-m-n}=\frac{5(m+n)-2mn}{-(m+n)}$，
把$m+n=2mn$代入上式：
原式$=\frac{5×2mn - 2mn}{-2mn}=\frac{10mn - 2mn}{-2mn}=\frac{8mn}{-2mn}=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
分式的通分，整体代入求值，分式化简
【点评】
本题是分式求值类的常规题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是从已知条件中推导得到待求式中包含的整体代数式的等量关系，避免单独求解未知数的繁琐运算，是分式章节的基础重点考法。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知等式和待求分式的结构特征：已知条件是两个分式的和，可先通分得到m+n与mn的数量关系；待求分式的分子、分母都含有m+n的结构，可将m+n作为整体，用得到的m+n与mn的关系代入待求分式，即可消去未知数求出结果，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
解：由$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2$，通分可得：
$\frac{m+n}{mn}=2$，
由原式可知$m≠0$且$n≠0$，因此$mn≠0$，等式两边同乘$mn$得：
$m+n=2mn$。
将待求分式变形：
$\frac{5m+5n-2mn}{-m-n}=\frac{5(m+n)-2mn}{-(m+n)}$，
把$m+n=2mn$代入上式：
原式$=\frac{5×2mn - 2mn}{-2mn}=\frac{10mn - 2mn}{-2mn}=\frac{8mn}{-2mn}=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
分式的通分，整体代入求值，分式化简
【点评】
本题是分式求值类的常规题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是从已知条件中推导得到待求式中包含的整体代数式的等量关系，避免单独求解未知数的繁琐运算，是分式章节的基础重点考法。
【难度系数】
0.7
7.若$x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}$，且$0＜x＜1$，求$x^2-\frac{1}{x^2}$的值.
答案
7.$\because 0＜x＜1,\therefore x＜\frac{1}{x},\therefore x-\frac{1}{x}＜0.$
$\because x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6},\therefore (x+\frac{1}{x})^2=\frac{169}{36},即x^2+2+\frac{1}{x^2}=\frac{169}{36}.$
$\therefore x^2-2+\frac{1}{x^2}=\frac{169}{36}-4.\therefore (x-\frac{1}{x})^2=\frac{25}{36}.\therefore x-\frac{1}{x}=-\frac{5}{6}.$
$\therefore x^2-\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})=\frac{13}{6}×(-\frac{5}{6})=-\frac{65}{36}.$
$\because x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6},\therefore (x+\frac{1}{x})^2=\frac{169}{36},即x^2+2+\frac{1}{x^2}=\frac{169}{36}.$
$\therefore x^2-2+\frac{1}{x^2}=\frac{169}{36}-4.\therefore (x-\frac{1}{x})^2=\frac{25}{36}.\therefore x-\frac{1}{x}=-\frac{5}{6}.$
$\therefore x^2-\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})=\frac{13}{6}×(-\frac{5}{6})=-\frac{65}{36}.$
解析
【分析】
要计算$x^2-\frac{1}{x^2}$，可先利用平方差公式将其变形为$(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$，已知$x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}$，因此只需求出$x-\frac{1}{x}$的值即可。首先根据$0＜x＜1$可判断$x＜\frac{1}{x}$，即$x-\frac{1}{x}$为负数；再结合完全平方公式，由$(x+\frac{1}{x})^2$的结果推导得出$(x-\frac{1}{x})^2$的值，开方后取负的结果即为$x-\frac{1}{x}$的值，最后代入乘积式计算即可得到答案。
【解析】
$\because 0＜x＜1,\therefore x＜\frac{1}{x},\therefore x-\frac{1}{x}＜0.$
$\because x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6},\therefore (x+\frac{1}{x})^2=(\frac{13}{6})^2=\frac{169}{36}$，展开得$x^2+2+\frac{1}{x^2}=\frac{169}{36}.$
将等式两边同时减4，可得$x^2-2+\frac{1}{x^2}=\frac{169}{36}-4=\frac{25}{36}$，即$(x-\frac{1}{x})^2=\frac{25}{36}.$
$\because x-\frac{1}{x}＜0,\therefore x-\frac{1}{x}=-\sqrt{\frac{25}{36}}=-\frac{5}{6}.$
根据平方差公式，$x^2-\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$，代入数值计算：
$x^2-\frac{1}{x^2}=\frac{13}{6}×(-\frac{5}{6})=-\frac{65}{36}.$
【答案】
$-\frac{65}{36}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，分式求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，解题核心是熟练运用乘法公式对代数式进行变形，尤其要注意根据x的取值范围判断$x-\frac{1}{x}$的符号，避免开方时符号选取错误。
【难度系数】
0.6
要计算$x^2-\frac{1}{x^2}$，可先利用平方差公式将其变形为$(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$，已知$x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}$，因此只需求出$x-\frac{1}{x}$的值即可。首先根据$0＜x＜1$可判断$x＜\frac{1}{x}$，即$x-\frac{1}{x}$为负数；再结合完全平方公式，由$(x+\frac{1}{x})^2$的结果推导得出$(x-\frac{1}{x})^2$的值，开方后取负的结果即为$x-\frac{1}{x}$的值，最后代入乘积式计算即可得到答案。
【解析】
$\because 0＜x＜1,\therefore x＜\frac{1}{x},\therefore x-\frac{1}{x}＜0.$
$\because x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6},\therefore (x+\frac{1}{x})^2=(\frac{13}{6})^2=\frac{169}{36}$，展开得$x^2+2+\frac{1}{x^2}=\frac{169}{36}.$
将等式两边同时减4，可得$x^2-2+\frac{1}{x^2}=\frac{169}{36}-4=\frac{25}{36}$，即$(x-\frac{1}{x})^2=\frac{25}{36}.$
$\because x-\frac{1}{x}＜0,\therefore x-\frac{1}{x}=-\sqrt{\frac{25}{36}}=-\frac{5}{6}.$
根据平方差公式，$x^2-\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$，代入数值计算：
$x^2-\frac{1}{x^2}=\frac{13}{6}×(-\frac{5}{6})=-\frac{65}{36}.$
【答案】
$-\frac{65}{36}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，分式求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，解题核心是熟练运用乘法公式对代数式进行变形，尤其要注意根据x的取值范围判断$x-\frac{1}{x}$的符号，避免开方时符号选取错误。
【难度系数】
0.6
8.已知$a＞b＞0$，且$a^2+b^2=3ab$，求$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2 ÷ (\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})$的值。
答案
8.$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2 ÷ (\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}÷\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}·\frac{a^2b^2}{(b+a)(b-a)}=-\frac{a+b}{a-b}.$
$\because a^2+b^2=3ab,\therefore (a+b)^2=5ab,(a-b)^2=ab.$
$\because a＞b＞0,\therefore a+b=\sqrt{5ab},a-b=\sqrt{ab}.$
$\therefore -\frac{a+b}{a-b}=-\frac{\sqrt{5ab}}{\sqrt{ab}}=-\sqrt{\frac{5ab}{ab}}=-\sqrt{5}.$
$\because a^2+b^2=3ab,\therefore (a+b)^2=5ab,(a-b)^2=ab.$
$\because a＞b＞0,\therefore a+b=\sqrt{5ab},a-b=\sqrt{ab}.$
$\therefore -\frac{a+b}{a-b}=-\frac{\sqrt{5ab}}{\sqrt{ab}}=-\sqrt{\frac{5ab}{ab}}=-\sqrt{5}.$
解析
【分析】
解题时先从所求的分式入手，先利用分式的通分、四则运算法则将原式化简为只含$(a+b)$和$(a-b)$的最简形式，再结合已知条件$a^2+b^2=3ab$，利用完全平方公式的变形分别求出$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值，最后根据$a＞b＞0$的条件确定$a+b$、$a-b$的正负，开方后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2 ÷ (\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})&=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}÷\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}\\&=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}·\frac{a^2b^2}{(b+a)(b-a)}\\&=-\frac{a+b}{a-b}\end{aligned}$
由已知$a^2+b^2=3ab$，结合完全平方公式变形可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=3ab+2ab=5ab$，
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=3ab-2ab=ab$。
因为$a＞b＞0$，所以$a+b＞0$，$a-b＞0$，开方得：
$a+b=\sqrt{5ab}$，$a-b=\sqrt{ab}$。
将其代入化简后的式子得：
$-\frac{a+b}{a-b}=-\frac{\sqrt{5ab}}{\sqrt{ab}}=-\sqrt{\frac{5ab}{ab}}=-\sqrt{5}$
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
分式的化简运算，完全平方公式，二次根式的性质
【点评】
本题是分式求值的典型题型，解题的核心是先化简所求代数式，再对已知等式进行合理变形，代入计算时要注意根据字母的取值范围判断开方后的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时先从所求的分式入手，先利用分式的通分、四则运算法则将原式化简为只含$(a+b)$和$(a-b)$的最简形式，再结合已知条件$a^2+b^2=3ab$，利用完全平方公式的变形分别求出$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值，最后根据$a＞b＞0$的条件确定$a+b$、$a-b$的正负，开方后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2 ÷ (\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})&=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}÷\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}\\&=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}·\frac{a^2b^2}{(b+a)(b-a)}\\&=-\frac{a+b}{a-b}\end{aligned}$
由已知$a^2+b^2=3ab$，结合完全平方公式变形可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=3ab+2ab=5ab$，
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=3ab-2ab=ab$。
因为$a＞b＞0$，所以$a+b＞0$，$a-b＞0$，开方得：
$a+b=\sqrt{5ab}$，$a-b=\sqrt{ab}$。
将其代入化简后的式子得：
$-\frac{a+b}{a-b}=-\frac{\sqrt{5ab}}{\sqrt{ab}}=-\sqrt{\frac{5ab}{ab}}=-\sqrt{5}$
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
分式的化简运算，完全平方公式，二次根式的性质
【点评】
本题是分式求值的典型题型，解题的核心是先化简所求代数式，再对已知等式进行合理变形，代入计算时要注意根据字母的取值范围判断开方后的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
