课前预习
| 序号 | 基础知识 |
| ---- | ---- |
| 1 | 确定圆的条件：的三个点确定一个圆。 |
| 2 | 三角形的外接圆、外心：
经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的。
外接圆的圆心叫作三角形的的。
一个圆经过三角形的三个顶点，这个三角形叫作这个圆的。 |
困惑疑问：

1. 不在同一条直线上
2. 外接圆 外心 内接三角形

【分析】
本题是基础概念识记题，考查圆的确定条件及三角形与外接圆的相关定义。解题时先回忆对应知识点：①确定一个圆需要固定的圆心和半径，若三点共线则无法找到到三点距离都相等的唯一圆心，因此确定圆的三个点需满足不在同一直线的条件；②后续三个空均为课本中关于三角形外接圆、外心、圆的内接三角形的标准定义，直接匹配定义内容即可作答。
【解析】
1. 由于同一直线上的三点无法确定唯一的圆心和半径，只有不在同一条直线上的三个点，能确定唯一的一个圆，因此第一空填“不在同一条直线上”。
2. 根据相关定义：
经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆，故第二空填“外接圆”；
三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫作三角形的外心，故第三空填“外心”；
若一个圆经过三角形的三个顶点，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，故第四空填“内接三角形”。
【答案】
1. 不在同一条直线上
2. 外接圆；外心；内接三角形
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 三角形外接圆与外心
3. 圆的内接三角形
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对课本基础定义的记忆掌握，是学习圆与三角形相关几何内容的基础，熟练掌握相关概念即可快速完成作答。
【难度系数】
0.9

思考1.(1)经过一个点可以作出多少个圆？
圆心和半径能确定吗？
(2)经过两个点可以作出多少个圆？圆心和半径能确定吗？这些圆的圆心有何共同特点？
(3)过三个点可以作出多少个圆？

1.(1)无数个,不能。
(2)无数个,不能,圆心在两点所连线段的垂直平分线上。
(3)三点共线不能作圆;三点不共线能且只能作一个圆。

【分析】
解题要结合圆的定义展开思考：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此过已知点作圆的核心是找到满足到所有已知点距离相等的点作为圆心，再对应得到半径。
(1) 过一个点作圆时，只要圆心到该点的距离为半径即可，平面内除该点外所有点都可选为圆心，因此可以判断圆的数量、圆心和半径的确定性；
(2) 过两个点作圆时，圆心需要到两个点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质，即可得到圆心的位置特点，进而判断圆的数量和确定性；
(3) 过三个点作圆时，需要分三点共线和不共线两种情况讨论：三点共线时找不到同时到三个点距离相等的点，三点不共线时两条垂直平分线有唯一交点，即可对应得到结论。
【解析】
(1) 根据圆的定义，到定点的距离等于定长的点的集合是圆。经过1个已知点作圆时，圆心可以是平面内除该点外的任意一点，半径为圆心到该已知点的距离，因此可以作出无数个圆，圆心和半径都不能确定。
(2) 经过两个已知点作圆时，圆心到这两个点的距离必须相等，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知圆心可以是两点所连线段的垂直平分线上的任意一点，半径为圆心到任意一个已知点的距离，因此可以作出无数个圆，圆心和半径都不能确定，所有圆的圆心都在两点所连线段的垂直平分线上。
(3) 分两种情况讨论：
① 若三个点在同一条直线上：分别作前两点、后两点所连线段的垂直平分线，两条垂直平分线互相平行，没有交点，即不存在到三个共线点距离都相等的点，因此不能作出圆；
② 若三个点不在同一条直线上：分别作任意两点所连线段的垂直平分线，两条垂直平分线有且只有一个交点，该交点到三个点的距离相等，即圆心唯一，半径也唯一确定，因此能且只能作出1个圆。
【答案】
(1)无数个,不能。
(2)无数个,不能,圆心在两点所连线段的垂直平分线上。
(3)三点共线不能作圆;三点不共线能且只能作一个圆。
【知识点】
圆的定义；线段垂直平分线的性质；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念类题目，通过递进式的设问引导理解确定圆的条件，解题时要注意分类讨论三个点的位置关系，牢记“不在同一直线上的三点确定一个圆”的定理，避免忽略三点共线的特殊情况。
【难度系数】
0.8

1. 如图，点A,B,C均在直线$ l $上，点P在直线$ l $外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）。

A.1
B.2
C.3
D.4

1.C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确确定圆的核心条件：不在同一条直线上的三个点可以确定唯一一个圆，共线的三个点无法确定圆。我们可以先列出从4个点（P、A、B、C）中任选3个点的所有组合，再逐一判断每组三点是否共线，排除共线的组合后，剩余的组合数就是最多可画圆的个数。
【解析】
解：根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的性质，我们对所有三点组合逐一分析：
1. 选点A、B、C：三点均在直线$l$上，属于共线三点，无法确定圆；
2. 选点A、B、P：点P在直线$l$外，因此A、B、P三点不共线，可以确定1个圆；
3. 选点A、C、P：同理，三点不共线，可以确定1个圆；
4. 选点B、C、P：同理，三点不共线，可以确定1个圆。
综上，最多可画出3个圆。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三点共线判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢牢掌握确定圆的前提是三点不共线，做题时要注意先排除共线的三点组合，避免多算。
【难度系数】
0.8

2. 如图，△ABC 外接圆的圆心坐标是。

2.(5,6)

【分析】
要确定△ABC外接圆的圆心坐标，首先明确外接圆圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。首先观察边BC的特征：B、C两点纵坐标相同，BC为水平线段，可先求出BC的垂直平分线，得到外心的横坐标，再设外心坐标，利用外心到顶点距离相等列方程求解纵坐标即可。
【解析】
首先确定三个顶点的坐标：$A(0,4)$，$B(3,1)$，$C(7,1)$。
1. 求BC的垂直平分线：
B、C两点纵坐标均为1，BC是水平线段，中点横坐标为$\frac{3+7}{2}=5$，因此BC的垂直平分线为直线$x=5$，即外心的横坐标为5。
2. 设外心坐标为$(5,y)$，根据外心到各顶点距离相等，得外心到A的距离等于到B的距离，为简化计算，利用距离平方相等列方程：
$(5-0)^2 + (y-4)^2 = (5-3)^2 + (y-1)^2$
展开得：$25 + y^2 -8y +16 = 4 + y^2 -2y +1$
消去$y^2$，整理得：$-6y = -36$，解得$y=6$。
因此外接圆圆心坐标为$(5,6)$。
【答案】
$(5,6)$
【知识点】
三角形外心的性质；垂直平分线的性质；两点间距离公式
【点评】
本题解题的关键是利用外心的性质，先找到特殊边BC的垂直平分线缩小外心坐标的范围，再通过列方程求解，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7

思考 2.过三角形的三个顶点可以作多少个圆？圆心和半径如何确定？

2. 唯一一个,作任意两边的垂直平分线,交点为圆心,半径为交点到任意顶点的线段长。

【分析】
要解决该问题，首先明确确定圆的核心是确定圆心和半径，且只有不在同一直线上的三点才能确定圆，三角形三个顶点天然不共线，满足作圆的前提。其次，过三点的圆的圆心需要到三个顶点的距离均相等，结合线段垂直平分线“线上任意一点到线段两端点距离相等”的性质，只需要作出三角形任意两边的垂直平分线，交点即为到三个顶点距离相等的点，也就是圆心，交点到顶点的长度就是半径，由此就能确定圆的数量。
【解析】
1. 圆的个数判断：三角形的三个顶点不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一的圆”这一定理，可知过三角形三个顶点仅能作1个圆。
2. 圆心确定：圆上所有点到圆心的距离都等于半径，因此所求圆的圆心需要到三角形三个顶点的距离相等。到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两点所连线段的垂直平分线上，因此作三角形任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，该交点就是圆心。
3. 半径确定：上述交点到三角形任意一个顶点的线段长度，就是这个圆的半径。
【答案】
唯一一个,作任意两边的垂直平分线,交点为圆心,半径为交点到任意顶点的线段长。
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对过三点作圆原理的理解，需要结合线段垂直平分线的性质推导圆心的位置，是后续学习三角形外接圆相关知识的基础。
【难度系数】
0.8