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1.用一条宽度均匀的长方形纸条打一个平结，拉紧并压平后，得到的封闭图形是（
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
C
）A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
答案
1.C 点拔:等宽纸条打一个标准平结并压平后,图形的每条边长度相等、每个内角相等,形成的是正五边形.
解析
【分析】
解题时可先结合生活操作经验初步判断，再结合几何性质验证：首先回忆用纸条打平结的操作，先初步排除边数不符的选项：正三角形仅3条边、正方形仅4条边，均不符合平结压平后的边数特征；正六边形有6条边，打平结无法形成6个边的封闭结构。再从几何性质分析：等宽纸条折叠后，封闭图形各边上的高均等于纸条宽度，拉紧压平后各边长度相等、各内角大小相等，满足正多边形的判定条件，结合边数即可得出结论。
【解析】
首先，宽度均匀的长方形纸条折叠后，得到的封闭图形各边上的高都等于纸条的宽度，拉紧压平后图形的各边长度相等，且每个内角的大小也相等；
其次，观察平结的结构，打平结压平后得到的封闭图形共有5条边；
根据正多边形的判定：各边相等、各内角相等的多边形是正多边形，可知该图形是正五边形。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形判定；多边形的概念；折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的手工操作考查几何知识，要求同学们在平时多观察生活中的几何现象，同时熟练掌握正多边形的判定方法，属于结合实际的基础题。
【难度系数】
0.8
解题时可先结合生活操作经验初步判断，再结合几何性质验证：首先回忆用纸条打平结的操作，先初步排除边数不符的选项：正三角形仅3条边、正方形仅4条边，均不符合平结压平后的边数特征；正六边形有6条边，打平结无法形成6个边的封闭结构。再从几何性质分析：等宽纸条折叠后，封闭图形各边上的高均等于纸条宽度，拉紧压平后各边长度相等、各内角大小相等，满足正多边形的判定条件，结合边数即可得出结论。
【解析】
首先，宽度均匀的长方形纸条折叠后，得到的封闭图形各边上的高都等于纸条的宽度，拉紧压平后图形的各边长度相等，且每个内角的大小也相等；
其次，观察平结的结构，打平结压平后得到的封闭图形共有5条边；
根据正多边形的判定：各边相等、各内角相等的多边形是正多边形，可知该图形是正五边形。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形判定；多边形的概念；折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的手工操作考查几何知识，要求同学们在平时多观察生活中的几何现象，同时熟练掌握正多边形的判定方法，属于结合实际的基础题。
【难度系数】
0.8
2.用一根宽度均匀且足够长的长方形纸条进行打结实验:将纸条打一个标准平结,轻轻拉紧并压平后,得到一个封闭的凸多边形.
(1)这个多边形是什么形状？说出它的名称.
(2)这个多边形的每个内角是多少度？
(3)这个多边形的内角和是多少度？
(1)这个多边形是什么形状？说出它的名称.
(2)这个多边形的每个内角是多少度？
(3)这个多边形的内角和是多少度？
答案
解:(1)正五边形
点拔:等宽纸条打一个平结,压平后得到正五边形.
(2)108°
点拔:正五边形每个内角=$\frac{(5-2)×180°}{5}$=108°.
(3)540°
点拔:n边形内角和公式为$(n-2)×180°$,即五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$.
点拔:等宽纸条打一个平结,压平后得到正五边形.
(2)108°
点拔:正五边形每个内角=$\frac{(5-2)×180°}{5}$=108°.
(3)540°
点拔:n边形内角和公式为$(n-2)×180°$,即五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$.
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路逐步推导：
1. 第(1)问：等宽长方形纸条打标准平结拉紧压平后，纸条重叠部分的各边长度相等，各内角大小也相等，观察可知边数为5，符合正多边形的特征，即可判断形状。
2. 第(2)问：正多边形的每个内角大小相等，可先计算该多边形的内角和，再除以边数就能得到单个内角的度数。
3. 第(3)问：直接套用n边形内角和公式，代入对应边数计算即可得到内角和结果。
【解析】
(1) 等宽长方形纸条打平结拉紧压平后，得到的凸多边形各边长度相等、各内角也相等，且边数为5，因此这个多边形是正五边形。
(2) 先根据多边形内角和公式计算正五边形的内角和：$(5-2)×180°=540°$，由于正五边形每个内角相等，因此每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$。
(3) 根据n边形内角和公式$内角和=(n-2)×180°$，将边数n=5代入公式，可得五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$。
【答案】
(1) 正五边形
(2) $108°$
(3) $540°$
【知识点】
1. 正多边形的判定
2. 多边形内角和公式
【点评】
本题结合生活中常见的打结操作考察多边形相关知识，题目直观，侧重考察基础公式的应用和理论联系实际的能力，掌握正多边形特征和内角和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
解决这道题可按以下思路逐步推导：
1. 第(1)问：等宽长方形纸条打标准平结拉紧压平后，纸条重叠部分的各边长度相等，各内角大小也相等，观察可知边数为5，符合正多边形的特征，即可判断形状。
2. 第(2)问：正多边形的每个内角大小相等，可先计算该多边形的内角和，再除以边数就能得到单个内角的度数。
3. 第(3)问：直接套用n边形内角和公式，代入对应边数计算即可得到内角和结果。
【解析】
(1) 等宽长方形纸条打平结拉紧压平后，得到的凸多边形各边长度相等、各内角也相等，且边数为5，因此这个多边形是正五边形。
(2) 先根据多边形内角和公式计算正五边形的内角和：$(5-2)×180°=540°$，由于正五边形每个内角相等，因此每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$。
(3) 根据n边形内角和公式$内角和=(n-2)×180°$，将边数n=5代入公式，可得五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$。
【答案】
(1) 正五边形
(2) $108°$
(3) $540°$
【知识点】
1. 正多边形的判定
2. 多边形内角和公式
【点评】
本题结合生活中常见的打结操作考察多边形相关知识，题目直观，侧重考察基础公式的应用和理论联系实际的能力，掌握正多边形特征和内角和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
1.【数学文化】我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形.若$\odot O$的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为(
A.$4\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}π$
D.$8\sqrt{2}π$
B
)A.$4\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}π$
D.$8\sqrt{2}π$
答案
1.B
解析
【分析】
要计算圆内接正八边形的面积，我们可以用分割法，将正八边形拆分为8个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长等于圆的半径，顶角为正八边形的中心角。先求出单个等腰三角形的面积，再乘以8即可得到正八边形的总面积。解题时先计算中心角，再借助锐角三角函数求出等腰三角形的高，进而计算面积即可。
【解析】
连接正八边形的各个顶点与圆心$O$，可将正八边形分割为8个全等的等腰三角形。
∵ 正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，$\odot O$的半径为2，
∴ 每个等腰三角形的腰长均为2，顶角为$45°$。
取其中一个等腰三角形$△ OAB$，$OA=OB=2$，$∠ AOB=45°$，过点B作$BD⊥ OA$于点D，
在$Rt△ OBD$中，$BD=OB·\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
则$△ OAB$的面积为$\frac{1}{2}× OA× BD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
∴ 正八边形的面积为$8×\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合传统数学文化“割圆术”设题，考查圆内接正多边形的面积计算，解题的核心是将正多边形面积转化为多个全等三角形的面积和，再结合三角函数求解，考查了转化思想和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
要计算圆内接正八边形的面积，我们可以用分割法，将正八边形拆分为8个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长等于圆的半径，顶角为正八边形的中心角。先求出单个等腰三角形的面积，再乘以8即可得到正八边形的总面积。解题时先计算中心角，再借助锐角三角函数求出等腰三角形的高，进而计算面积即可。
【解析】
连接正八边形的各个顶点与圆心$O$，可将正八边形分割为8个全等的等腰三角形。
∵ 正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，$\odot O$的半径为2，
∴ 每个等腰三角形的腰长均为2，顶角为$45°$。
取其中一个等腰三角形$△ OAB$，$OA=OB=2$，$∠ AOB=45°$，过点B作$BD⊥ OA$于点D，
在$Rt△ OBD$中，$BD=OB·\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
则$△ OAB$的面积为$\frac{1}{2}× OA× BD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
∴ 正八边形的面积为$8×\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合传统数学文化“割圆术”设题，考查圆内接正多边形的面积计算，解题的核心是将正多边形面积转化为多个全等三角形的面积和，再结合三角函数求解，考查了转化思想和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
2. 根据等分圆周的图案特征，完成下面各题.
(1)请用直尺和圆规，把一个圆六等分，简要写出作图步骤.
(2)顺次连接六等分点，得到的是什么正多边形？
(3)求这个正多边形的每个中心角和每个内角的度数.
(4)利用这个六等分圆，设计一个简单美观的对称图案，并简单说明设计思路.
(1)请用直尺和圆规，把一个圆六等分，简要写出作图步骤.
(2)顺次连接六等分点，得到的是什么正多边形？
(3)求这个正多边形的每个中心角和每个内角的度数.
(4)利用这个六等分圆，设计一个简单美观的对称图案，并简单说明设计思路.
答案
解:(1)六等分圆尺规作图步骤：
①画一个圆,圆心为点O；
②在圆上任取一点A；
③以A为圆心,OA长为半径画弧,交$\odot O$于B,F两点；
④再分别以点B,F为圆心,OA长为半径继续画弧,依次得到C,E两点；⑤再以C点为圆心,OA长为半径画弧,交圆于点D,则A,B,C,D,E,F即为圆上6个等分点.
(2)顺次连接六等分点,得到正六边形；
(3)角度计算：
①中心角:$360°÷6=60°$；
②每个内角:$(6-2)×180°÷6=120°$.
(4)设计图案示例:(答案不唯一)
①连接相对的等分点,画出3条直径,形成雪花图案或六角星图案；
②在每个等分点处画小圆、弧线,组成对称花纹.
设计思路:利用6次旋转对称,作出整齐、美观的中心对称图案.
①画一个圆,圆心为点O；
②在圆上任取一点A；
③以A为圆心,OA长为半径画弧,交$\odot O$于B,F两点；
④再分别以点B,F为圆心,OA长为半径继续画弧,依次得到C,E两点；⑤再以C点为圆心,OA长为半径画弧,交圆于点D,则A,B,C,D,E,F即为圆上6个等分点.
(2)顺次连接六等分点,得到正六边形；
(3)角度计算：
①中心角:$360°÷6=60°$；
②每个内角:$(6-2)×180°÷6=120°$.
(4)设计图案示例:(答案不唯一)
①连接相对的等分点,画出3条直径,形成雪花图案或六角星图案；
②在每个等分点处画小圆、弧线,组成对称花纹.
设计思路:利用6次旋转对称,作出整齐、美观的中心对称图案.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 六等分圆问题：同圆中相等的圆心角对应等弧，且正六边形的边长等于其外接圆半径，因此可用圆的半径为长度，依次在圆周上截取等弧，即可得到六等分点。
2. 判断连接后的多边形：六等分点将圆分成6段等弧，顺次连接后各边（等弧对应的弦）相等、各内角（等弧对应的圆周角）相等，因此是正多边形。
3. 角度计算：中心角之和为周角360°，除以边数即可得到单个中心角度数；内角可通过多边形内角和公式$(n-2)×180°$，除以边数得到单个内角度数。
4. 图案设计：利用六等分圆的轴对称、中心对称、旋转对称性质，添加辅助线或简单图形即可得到美观的对称图案。
【解析】
(1) 六等分圆尺规作图步骤：
① 用圆规画一个任意圆，记圆心为点O；
② 在圆周上任取一点A；
③ 以A为圆心，OA长为半径画弧，交$\odot O$于B、F两点；
④ 分别以B、F为圆心，OA长为半径画弧，依次交$\odot O$于C、E两点；
⑤ 以C为圆心，OA长为半径画弧，交$\odot O$于点D，此时A、B、C、D、E、F即为圆的6个等分点。
(2) 顺次连接六等分点，由于各段弧相等，对应弦长、圆周角均相等，因此得到的是正六边形。
(3) 角度计算：
① 中心角：周角为360°，正六边形有6个相等的中心角，因此每个中心角为$360°÷6=60°$；
② 内角：根据多边形内角和公式，正六边形内角和为$(6-2)×180°$，每个内角相等，因此单个内角度数为$(6-2)×180°÷6=120°$。
(4) 图案设计示例（答案不唯一）：
连接相对的等分点得到3条直径，间隔给3个相邻的等边三角形区域涂色，即可得到六角星样式的对称图案；设计思路：利用六等分圆的6次旋转对称性和中心对称性，设计出的图案整齐且美观。
【答案】
(1) 作图步骤：①画一个圆,圆心为点O；②在圆上任取一点A；③以A为圆心,OA长为半径画弧,交$\odot O$于B,F两点；④再分别以点B,F为圆心,OA长为半径继续画弧,依次得到C,E两点；⑤再以C点为圆心,OA长为半径画弧,交圆于点D,则A,B,C,D,E,F即为圆上6个等分点。
(2) 正六边形
(3) 中心角为$60°$，每个内角为$120°$
(4) 示例：连接相对的等分点,画出3条直径,形成雪花图案或六角星图案；也可在每个等分点处画小圆、弧线,组成对称花纹；设计思路:利用6次旋转对称,作出整齐、美观的中心对称图案（答案合理即可）
【知识点】
1. 尺规作图等分圆周
2. 正多边形与圆的关系
3. 多边形内角和计算
【点评】
本题结合了尺规作图、正多边形性质应用和创意设计，既考查了基础操作能力和公式计算能力，也引导学生将数学知识应用到创意设计中，实用性较强。
【难度系数】
0.75
解题思路如下：
1. 六等分圆问题：同圆中相等的圆心角对应等弧，且正六边形的边长等于其外接圆半径，因此可用圆的半径为长度，依次在圆周上截取等弧，即可得到六等分点。
2. 判断连接后的多边形：六等分点将圆分成6段等弧，顺次连接后各边（等弧对应的弦）相等、各内角（等弧对应的圆周角）相等，因此是正多边形。
3. 角度计算：中心角之和为周角360°，除以边数即可得到单个中心角度数；内角可通过多边形内角和公式$(n-2)×180°$，除以边数得到单个内角度数。
4. 图案设计：利用六等分圆的轴对称、中心对称、旋转对称性质，添加辅助线或简单图形即可得到美观的对称图案。
【解析】
(1) 六等分圆尺规作图步骤：
① 用圆规画一个任意圆，记圆心为点O；
② 在圆周上任取一点A；
③ 以A为圆心，OA长为半径画弧，交$\odot O$于B、F两点；
④ 分别以B、F为圆心，OA长为半径画弧，依次交$\odot O$于C、E两点；
⑤ 以C为圆心，OA长为半径画弧，交$\odot O$于点D，此时A、B、C、D、E、F即为圆的6个等分点。
(2) 顺次连接六等分点，由于各段弧相等，对应弦长、圆周角均相等，因此得到的是正六边形。
(3) 角度计算：
① 中心角：周角为360°，正六边形有6个相等的中心角，因此每个中心角为$360°÷6=60°$；
② 内角：根据多边形内角和公式，正六边形内角和为$(6-2)×180°$，每个内角相等，因此单个内角度数为$(6-2)×180°÷6=120°$。
(4) 图案设计示例（答案不唯一）：
连接相对的等分点得到3条直径，间隔给3个相邻的等边三角形区域涂色，即可得到六角星样式的对称图案；设计思路：利用六等分圆的6次旋转对称性和中心对称性，设计出的图案整齐且美观。
【答案】
(1) 作图步骤：①画一个圆,圆心为点O；②在圆上任取一点A；③以A为圆心,OA长为半径画弧,交$\odot O$于B,F两点；④再分别以点B,F为圆心,OA长为半径继续画弧,依次得到C,E两点；⑤再以C点为圆心,OA长为半径画弧,交圆于点D,则A,B,C,D,E,F即为圆上6个等分点。
(2) 正六边形
(3) 中心角为$60°$，每个内角为$120°$
(4) 示例：连接相对的等分点,画出3条直径,形成雪花图案或六角星图案；也可在每个等分点处画小圆、弧线,组成对称花纹；设计思路:利用6次旋转对称,作出整齐、美观的中心对称图案（答案合理即可）
【知识点】
1. 尺规作图等分圆周
2. 正多边形与圆的关系
3. 多边形内角和计算
【点评】
本题结合了尺规作图、正多边形性质应用和创意设计，既考查了基础操作能力和公式计算能力，也引导学生将数学知识应用到创意设计中，实用性较强。
【难度系数】
0.75
