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【对点训练】
2. 某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用。技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选$50$棵，每个品种产量的平均数$\overline{x}$(千克)及方差$σ^{2}$(千克$^{2}$)如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
2. 某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用。技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选$50$棵，每个品种产量的平均数$\overline{x}$(千克)及方差$σ^{2}$(千克$^{2}$)如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
A
解析
1. 选出产量高的品种：比较平均数$\overline{x}$，甲和乙的平均数最高，均为20。
2. 选出产量稳定的品种：比较方差$σ^2$，甲的方差为1.6，乙的方差为1.7，甲的方差更小，表示更稳定。
3. 综合考虑，应选择甲品种。
1. 某校八年级进行了三次$1000$米跑步测试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差$σ^{2}$分别为$σ_{甲}^{2}=3.8$，$σ_{乙}^{2}=5.5$，$σ_{丙}^{2}=10$，$σ_{丁}^{2}=6$，那么这四名同学跑步成绩最稳定的是()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
A
解析
方差是用来衡量一组数据波动大小的指标，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。已知$σ_{甲}^{2}=3.8$，$σ_{乙}^{2}=5.5$，$σ_{丙}^{2}=10$，$σ_{丁}^{2}=6$，比较可得$3.8＜5.5＜6＜10$，即甲的方差最小，所以甲同学跑步成绩最稳定。
2. 小明同学在周末测量了公园里几棵大树的直径($cm$)，他将得到的数进行分析并列出方差公式为$σ^{2}=\frac{1}{7}×[(50 - \overline{x})^{2}×2 + (60 - \overline{x})^{2}×3 + (70 - \overline{x})^{2}×2]$，则该组数据的平均数与众数分别()
A.$60$，$50$
B.$60$，$60$
C.$70$，$60$
D.$70$，$70$
A.$60$，$50$
B.$60$，$60$
C.$70$，$60$
D.$70$，$70$
答案
B
解析
根据方差公式，数据的分布情况为：直径$50cm$的树有$2$棵，直径$60cm$的树有$3$棵，直径$70cm$的树有$2$棵，
数据总数为$7$，
平均数$\overline{x} = \frac{50 × 2 + 60 × 3 + 70 × 2}{7} = \frac{100 + 180 + 140}{7} = \frac{420}{7} = 60$，
直径为$60cm$的树出现的次数最多（$3$次），因此众数为$60$。
数据总数为$7$，
平均数$\overline{x} = \frac{50 × 2 + 60 × 3 + 70 × 2}{7} = \frac{100 + 180 + 140}{7} = \frac{420}{7} = 60$，
直径为$60cm$的树出现的次数最多（$3$次），因此众数为$60$。
3. 已知一组数据$a$，$b$，$c$的平均数为$5$，方差为$4$，那么数据$a - 2$，$b - 2$，$c - 2$的平均数和方差分别是()
A.$3$，$2$
B.$3$，$4$
C.$5$，$2$
D.$5$，$4$
A.$3$，$2$
B.$3$，$4$
C.$5$，$2$
D.$5$，$4$
答案
B
解析
已知数据$a$，$b$，$c$的平均数为$5$，即$\frac{a+b+c}{3}=5$，所以$a+b+c=15$。
数据$a-2$，$b-2$，$c-2$的平均数为$\frac{(a-2)+(b-2)+(c-2)}{3}=\frac{a+b+c-6}{3}=\frac{15-6}{3}=3$。
原数据的方差为$4$，即$\frac{(a-5)^2+(b-5)^2+(c-5)^2}{3}=4$。
数据$a-2$，$b-2$，$c-2$的方差为$\frac{[(a-2)-3]^2+[(b-2)-3]^2+[(c-2)-3]^2}{3}=\frac{(a-5)^2+(b-5)^2+(c-5)^2}{3}=4$。
4. 一组数据的方差为$σ^{2}$，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的$3$倍，那么所得到的一组新数据的方差为()
A.$\frac{σ^{2}}{3}$
B.$σ^{2}$
C.$3σ^{2}$
D.$9σ^{2}$
A.$\frac{σ^{2}}{3}$
B.$σ^{2}$
C.$3σ^{2}$
D.$9σ^{2}$
答案
D
解析
设原数据为$x_1,x_2,···,x_n$，其平均数为$\overline{x}$，根据方差定义有$σ^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$。
每个数据扩大为原来的$3$倍后，新数据为$3x_1,3x_2,···,3x_n$，新数据平均数为$3\overline{x}$。
新方差$s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(3x_i - 3\overline{x})^2=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}9(x_i-\overline{x})^2 = 9σ^{2}$。
每个数据扩大为原来的$3$倍后，新数据为$3x_1,3x_2,···,3x_n$，新数据平均数为$3\overline{x}$。
新方差$s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(3x_i - 3\overline{x})^2=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}9(x_i-\overline{x})^2 = 9σ^{2}$。
5. 某社团有$30$名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，当$x$变化时，下列关于年龄的统计量保持不变的是()
A.平均数、中位数
B.平均数、方差
C.众数、中位数
D.众数、方差
A.平均数、中位数
B.平均数、方差
C.众数、中位数
D.众数、方差
答案
C
解析
首先，总人数为30名成员，已知其他年龄的频数，因此可以得出：
$ 5 + 12 + x + (11 - x) + 2 = 30 $，
解方程得：
$ 30 = 30 $，
这个方程对任意$x$都成立，说明频数总和始终为30。
接下来分析各统计量：
众数：众数是出现频率最高的数值。在此题中，14岁的频数为12，始终是最高频数，因此众数始终为14。
中位数：总人数为30，中位数是第15和第16个数据的平均值。由于13岁和14岁的频数总和为17，已经超过15和16，因此中位数始终为14。
平均数：随$x$变化，15岁和16岁的频数变化，平均数会变化。
方差：由于平均数变化，数据的离散程度也会变化，因此方差也会变化。
综上所述，只有众数和中位数保持不变。
$ 5 + 12 + x + (11 - x) + 2 = 30 $，
解方程得：
$ 30 = 30 $，
这个方程对任意$x$都成立，说明频数总和始终为30。
接下来分析各统计量：
众数：众数是出现频率最高的数值。在此题中，14岁的频数为12，始终是最高频数，因此众数始终为14。
中位数：总人数为30，中位数是第15和第16个数据的平均值。由于13岁和14岁的频数总和为17，已经超过15和16，因此中位数始终为14。
平均数：随$x$变化，15岁和16岁的频数变化，平均数会变化。
方差：由于平均数变化，数据的离散程度也会变化，因此方差也会变化。
综上所述，只有众数和中位数保持不变。
