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1. 下列命题正确的个数有(
①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；
③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；
④三角形的内心到三角形各边的距离相等。
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；
③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；
④三角形的内心到三角形各边的距离相等。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. D
解析
【解析】
①根据三角形外心的定义，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，该命题正确；
②三角形的外心是外接圆的圆心，到三角形各顶点的距离等于外接圆半径，故距离相等，该命题正确；
③根据三角形内心的定义，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，该命题正确；
④三角形的内心是内切圆的圆心，到三角形各边的距离等于内切圆半径，故距离相等，该命题正确。
综上，四个命题均正确，正确的个数为4。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质、三角形内心的性质
【点评】
本题考查三角形外心与内心的定义及性质，属于基础概念题，需准确掌握外心、内心的核心特征，熟练运用相关概念即可解题。
【难度系数】
0.8
①根据三角形外心的定义，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，该命题正确；
②三角形的外心是外接圆的圆心，到三角形各顶点的距离等于外接圆半径，故距离相等，该命题正确；
③根据三角形内心的定义，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，该命题正确；
④三角形的内心是内切圆的圆心，到三角形各边的距离等于内切圆半径，故距离相等，该命题正确。
综上，四个命题均正确，正确的个数为4。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质、三角形内心的性质
【点评】
本题考查三角形外心与内心的定义及性质，属于基础概念题，需准确掌握外心、内心的核心特征，熟练运用相关概念即可解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = 4$，$AC = 3$，$\odot O$内切于$△ ABC$，则阴影部分面积为
$ 6 - π $
。答案
2. $ 6 - π $
解析
【解析】
1. 计算$△ABC$的面积：
已知$∠C=90°$，$BC=4$，$AC=3$，则$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
2. 求斜边$AB$的长度：
根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 求内切圆半径$r$：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），代入得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
4. 计算内切圆面积：
$S_{\odot O}=πr^2=π×1^2=π$。
5. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{\odot O}=6-π$。
【答案】
$6 - π$
【知识点】
直角三角形面积计算，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题考查直角三角形与内切圆的综合计算，需熟练掌握直角三角形内切圆半径公式，通过“整体减空白”的思路计算阴影面积是解题核心。
【难度系数】
0.6
1. 计算$△ABC$的面积：
已知$∠C=90°$，$BC=4$，$AC=3$，则$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
2. 求斜边$AB$的长度：
根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 求内切圆半径$r$：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），代入得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
4. 计算内切圆面积：
$S_{\odot O}=πr^2=π×1^2=π$。
5. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{\odot O}=6-π$。
【答案】
$6 - π$
【知识点】
直角三角形面积计算，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题考查直角三角形与内切圆的综合计算，需熟练掌握直角三角形内切圆半径公式，通过“整体减空白”的思路计算阴影面积是解题核心。
【难度系数】
0.6
3. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，若$∠ ABC = 70°$，$∠ ACB = 40°$，则$∠ BOC =$
$ 125 ^ { \circ } $
。答案
3. $ 125 ^ { \circ } $
解析
【解析】
因为$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，所以$BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ ACB$。
已知$∠ ABC=70°$，$∠ ACB=40°$，
则$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$，
$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
在$△ BOC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-35°-20°=125°$。
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
三角形内切圆的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题考查三角形内切圆的性质与三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是利用内切圆圆心为角平分线交点的性质，求出$∠ OBC$与$∠ OCB$的度数。
【难度系数】
0.8
因为$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，所以$BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ ACB$。
已知$∠ ABC=70°$，$∠ ACB=40°$，
则$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$，
$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
在$△ BOC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-35°-20°=125°$。
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
三角形内切圆的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题考查三角形内切圆的性质与三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是利用内切圆圆心为角平分线交点的性质，求出$∠ OBC$与$∠ OCB$的度数。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$\odot O$内切于$△ ABC$，$D$，$E$，$F$为三个切点，$∠ B = 45°$，$∠ C = 55°$，连结$OE$，$OF$，$DE$，$DF$，则$∠ EDF$为
$ 50 ^ { \circ } $
。答案
4. $ 50 ^ { \circ } $
解析
【解析】
1. 在$△ ABC$中，由三角形内角和定理可得：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 45° - 55° = 80°$。
2. 因为$\odot O$内切于$△ ABC$，$E$、$F$为切点，根据切线的性质可知$OE ⊥ AC$，$OF ⊥ AB$，即$∠ OFA = ∠ OEA = 90°$。
3. 在四边形$OFAE$中，根据四边形内角和为$360°$，可得：
$∠ EOF = 360° - ∠ OFA - ∠ OEA - ∠ A = 360° - 90° - 90° - 80° = 100°$。
4. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此$∠ EDF = \frac{1}{2}∠ EOF = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查三角形内切圆的相关性质，需结合三角形内角和、切线性质及圆周角定理求解，核心是通过四边形内角和求出圆心角$∠ EOF$的度数，进而推导圆周角的大小。
【难度系数】
0.6
1. 在$△ ABC$中，由三角形内角和定理可得：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 45° - 55° = 80°$。
2. 因为$\odot O$内切于$△ ABC$，$E$、$F$为切点，根据切线的性质可知$OE ⊥ AC$，$OF ⊥ AB$，即$∠ OFA = ∠ OEA = 90°$。
3. 在四边形$OFAE$中，根据四边形内角和为$360°$，可得：
$∠ EOF = 360° - ∠ OFA - ∠ OEA - ∠ A = 360° - 90° - 90° - 80° = 100°$。
4. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此$∠ EDF = \frac{1}{2}∠ EOF = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查三角形内切圆的相关性质，需结合三角形内角和、切线性质及圆周角定理求解，核心是通过四边形内角和求出圆心角$∠ EOF$的度数，进而推导圆周角的大小。
【难度系数】
0.6
