如何比较$\frac{1}{a}$与$\frac{1}{b}$的大小？

1. 作差：$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$（$a ≠ 0$，$b ≠ 0$）。
2. 讨论差的符号：
当$ab ＞ 0$（$a$，$b$同号）：
若$b ＞ a$，则$\frac{b - a}{ab} ＞ 0$，得$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$；
若$b = a$，则$\frac{b - a}{ab} = 0$，得$\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$；
若$b ＜ a$，则$\frac{b - a}{ab} ＜ 0$，得$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$。
当$ab ＜ 0$（$a$，$b$异号）：
若$a ＞ 0$，$b ＜ 0$，则$\frac{1}{a} ＞ 0$，$\frac{1}{b} ＜ 0$，得$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$；
若$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，则$\frac{1}{a} ＜ 0$，$\frac{1}{b} ＞ 0$，得$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$。

例 证明：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n + 1)}＜1$.

证明：
因为 $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$（$k$ 为正整数），
所以原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$
$= 1 - \frac{1}{n+1}$.
因为 $\frac{1}{n+1} ＞ 0$，
所以 $1 - \frac{1}{n+1} ＜ 1$.
即 $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n + 1)}＜1$.

(1)若$\frac{x^{2}+1}{x}=3$，则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值为；

因为$\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$，
等式两边同乘$x$得$x^{2}+1 = 3x$，
因为当$x = 0$时，$\frac{x^{2}+1}{x}$无意义，所以$x≠0$，
等式两边同时除以$x$得$\frac{x^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}=3$，
对$x + \frac{1}{x} = 3$两边平方可得$(x+\frac{1}{x})^{2}=3^{2}=9$，
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b=\frac{1}{x}$，则$(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+2× x×\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2$，
所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x + \frac{1}{x})^{2}-2=9 - 2=7$。
答案为$7$。

(2)若$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$，则$\frac{2x - 3xy - 2y}{x + 2xy - y}$的值为.

由$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$，通分得$\frac{y - x}{xy}=3$，即$y - x = 3xy$，则$x - y = -3xy$。
原式$\frac{2x - 3xy - 2y}{x + 2xy - y}=\frac{2(x - y)-3xy}{(x - y)+2xy}$，将$x - y = -3xy$代入，得：
分子：$2(-3xy)-3xy=-6xy - 3xy=-9xy$；
分母：$-3xy + 2xy=-xy$；
则原式$=\frac{-9xy}{-xy}=9$。
9

2. 已知分式$\frac{A}{x - 1}+\frac{B}{x + 2}=\frac{3x + 1}{(x - 1)(x + 2)}$($A$，$B$为常数)，则$A$，$B$的值分别为().
A. $A=\frac{4}{3}$，$B=\frac{5}{3}$
B. $A=\frac{5}{3}$，$B=\frac{4}{3}$
C. $A = 4$，$B = 2$
D. $A = 2$，$B = 4$

A

将等式左边通分：
$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{A(x + 2) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{(A + B)x + (2A - B)}{(x - 1)(x + 2)}$，
因为等式两边分子相等，得到：
$(A + B)x + (2A - B) = 3x + 1$，
由此，列出方程组：
$\begin{cases}A + B = 3, \\2A - B = 1.\end{cases}$
解此方程组，得到：
$\begin{cases}A = \frac{4}{3}, \\B = \frac{5}{3}.\end{cases}$

3. 将下列分式化为整式与分式的和的形式，且结果中分式的分子次数小于分母次数.
（1）$\frac{x}{x - 2}$；
（2）$\frac{x^{2}}{x - 1}$.

（1）$1 + \frac{2}{x - 2}$；（2）$x + 1 + \frac{1}{x - 1}$。

（1）对于$\frac{x}{x - 2}$，可以将分子拆分为与分母相同部分和一个常数的和，即：
$\frac{x}{x - 2}$
$=\frac{x - 2 + 2}{x - 2}$
$=\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2}{x - 2}$
$= 1 + \frac{2}{x - 2}$
（2）对于$\frac{x^{2}}{x - 1}$，可以将分子拆分为与分母相同的高次项和一个多项式的和，通过多项式长除法或拆分技巧，有：
$\frac{x^{2}}{x - 1}$
$=\frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1}$
$=\frac{(x + 1)(x - 1) +1}{x - 1}$
$=x + 1 + \frac{1}{x - 1}$