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例 1 已知 $ x\sqrt{\dfrac{3}{x}} + 9\sqrt{\dfrac{x}{3}} - \sqrt{12x} = 8(x ＞ 0) $，求 $ x $ 的值。
答案
$ x = \dfrac{16}{3} $
解析
$ x\sqrt{\dfrac{3}{x}} = x · \dfrac{\sqrt{3x}}{x} = \sqrt{3x} $，
$ 9\sqrt{\dfrac{x}{3}} = 9 · \dfrac{\sqrt{3x}}{3} = 3\sqrt{3x} $，
$ \sqrt{12x} = 2\sqrt{3x} $，
原方程化为：$ \sqrt{3x} + 3\sqrt{3x} - 2\sqrt{3x} = 8 $，
合并同类二次根式：$ 2\sqrt{3x} = 8 $，
$ \sqrt{3x} = 4 $，
两边平方：$ 3x = 16 $，
解得：$ x = \dfrac{16}{3} $。
$ 9\sqrt{\dfrac{x}{3}} = 9 · \dfrac{\sqrt{3x}}{3} = 3\sqrt{3x} $，
$ \sqrt{12x} = 2\sqrt{3x} $，
原方程化为：$ \sqrt{3x} + 3\sqrt{3x} - 2\sqrt{3x} = 8 $，
合并同类二次根式：$ 2\sqrt{3x} = 8 $，
$ \sqrt{3x} = 4 $，
两边平方：$ 3x = 16 $，
解得：$ x = \dfrac{16}{3} $。
例 2 计算：
(1) $ 3\sqrt{20} × \dfrac{1}{6}\sqrt{5} ÷ 3\sqrt{3} $；
(2) $ (2\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{18}) ÷ 3\sqrt{\dfrac{1}{2}} $；
(3) $ (2 - \sqrt{5})^2(2 + \sqrt{5})^2 $。
(1) $ 3\sqrt{20} × \dfrac{1}{6}\sqrt{5} ÷ 3\sqrt{3} $；
(2) $ (2\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{18}) ÷ 3\sqrt{\dfrac{1}{2}} $；
(3) $ (2 - \sqrt{5})^2(2 + \sqrt{5})^2 $。
答案
(1)原式$=3×\frac{1}{6}÷3×\sqrt{20×5÷3}$
$=\frac{1}{6}×\sqrt{\frac{100}{3}}$
$=\frac{1}{6}×\frac{10\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{5\sqrt{3}}{9}$
(2)原式$=(2\sqrt{3}-6\sqrt{3}+6\sqrt{2})÷\frac{3\sqrt{2}}{2}$
$=(-4\sqrt{3}+6\sqrt{2})×\frac{2}{3\sqrt{2}}$
$=-4\sqrt{3}×\frac{2}{3\sqrt{2}}+6\sqrt{2}×\frac{2}{3\sqrt{2}}$
$=-\frac{4\sqrt{6}}{3}+4$
(3)原式$=[(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})]^2$
$=(4-5)^2$
$=(-1)^2$
$=1$
$=\frac{1}{6}×\sqrt{\frac{100}{3}}$
$=\frac{1}{6}×\frac{10\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{5\sqrt{3}}{9}$
(2)原式$=(2\sqrt{3}-6\sqrt{3}+6\sqrt{2})÷\frac{3\sqrt{2}}{2}$
$=(-4\sqrt{3}+6\sqrt{2})×\frac{2}{3\sqrt{2}}$
$=-4\sqrt{3}×\frac{2}{3\sqrt{2}}+6\sqrt{2}×\frac{2}{3\sqrt{2}}$
$=-\frac{4\sqrt{6}}{3}+4$
(3)原式$=[(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})]^2$
$=(4-5)^2$
$=(-1)^2$
$=1$
(1) 要使 $ \sqrt{x + 2} $ 在实数范围内有意义，$ x $ 的取值范围是；
答案
根据二次根式有意义的条件，被开方数须非负，即：
$x + 2 ≥ 0$
解这个不等式，得到：
$x ≥ -2$
故答案为：$x ≥ - 2$
$x + 2 ≥ 0$
解这个不等式，得到：
$x ≥ -2$
故答案为：$x ≥ - 2$
(2) 已知 $ a ＜ 3 $，化简 $ \sqrt{(3 - a)^2} = $；
答案
因为$a＜3$，
所以$3-a＞0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(3-a)^2}=|3-a|$
由于$3 - a ＞ 0$，正数的绝对值是其本身，则：
$|3 - a| = 3 - a$
综上，答案为$3 - a$。
所以$3-a＞0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(3-a)^2}=|3-a|$
由于$3 - a ＞ 0$，正数的绝对值是其本身，则：
$|3 - a| = 3 - a$
综上，答案为$3 - a$。
(3) 直接写出计算结果：$ \sqrt{18} = $，$ \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = $；
答案
$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$；
$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = \sqrt{5} - 2$。
$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = \sqrt{5} - 2$。
(4) 比较大小：$ -5\sqrt{3} \_\_\_\_\_\_ -3\sqrt{5} $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
答案
比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值。
$\vert -5\sqrt{3}\vert = 5\sqrt{3} = \sqrt{25× 3} = \sqrt{75}$
$\vert -3\sqrt{5}\vert = 3\sqrt{5} = \sqrt{9× 5} = \sqrt{45}$
因为$\sqrt{75} ＞ \sqrt{45}$，所以$5\sqrt{3} ＞ 3\sqrt{5}$，则$-5\sqrt{3} ＜ -3\sqrt{5}$
$＜$
$\vert -5\sqrt{3}\vert = 5\sqrt{3} = \sqrt{25× 3} = \sqrt{75}$
$\vert -3\sqrt{5}\vert = 3\sqrt{5} = \sqrt{9× 5} = \sqrt{45}$
因为$\sqrt{75} ＞ \sqrt{45}$，所以$5\sqrt{3} ＞ 3\sqrt{5}$，则$-5\sqrt{3} ＜ -3\sqrt{5}$
$＜$
(1) 下列根式中，与 $ \sqrt{2} $ 是同类二次根式的是()。
A.$ \sqrt{3} $
B.$ \sqrt{4} $
C.$ \sqrt{12} $
D.$ \sqrt{\dfrac{1}{2}} $
A.$ \sqrt{3} $
B.$ \sqrt{4} $
C.$ \sqrt{12} $
D.$ \sqrt{\dfrac{1}{2}} $
答案
D
解析
同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式。
A.$\sqrt{3}$的被开方数是3，与$\sqrt{2}$不同，不是同类二次根式；
B.$\sqrt{4}=2$，是整数，不是二次根式，不符合；
C.$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数是3，与$\sqrt{2}$不同，不是同类二次根式；
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数是2，与$\sqrt{2}$相同，是同类二次根式。
A.$\sqrt{3}$的被开方数是3，与$\sqrt{2}$不同，不是同类二次根式；
B.$\sqrt{4}=2$，是整数，不是二次根式，不符合；
C.$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数是3，与$\sqrt{2}$不同，不是同类二次根式；
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数是2，与$\sqrt{2}$相同，是同类二次根式。
(2) 下列计算中，正确的是()。
A.$ \sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6} $
B.$ \sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5} $
C.$ \sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3} $
D.$ \sqrt{4} ÷ \sqrt{2} = 2 $
A.$ \sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6} $
B.$ \sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5} $
C.$ \sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3} $
D.$ \sqrt{4} ÷ \sqrt{2} = 2 $
答案
A
解析
A. 根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$，所以 $\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$，正确；
B. $\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$ 不是同类二次根式，不能合并，所以 $\sqrt{2} + \sqrt{3} ≠ \sqrt{5}$，错误；
C. $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{2}$ 不是同类二次根式，不能合并，所以 $\sqrt{5} - \sqrt{2} ≠ \sqrt{3}$，错误；
D. 根据二次根式的除法法则，$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$，所以 $\sqrt{4} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{2} ≠ 2$，错误。
B. $\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$ 不是同类二次根式，不能合并，所以 $\sqrt{2} + \sqrt{3} ≠ \sqrt{5}$，错误；
C. $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{2}$ 不是同类二次根式，不能合并，所以 $\sqrt{5} - \sqrt{2} ≠ \sqrt{3}$，错误；
D. 根据二次根式的除法法则，$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$，所以 $\sqrt{4} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{2} ≠ 2$，错误。
