3. 计算：
(1) $ ( \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} )^2 $；
(2) $ ( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} )^2 $.

(1)
解：
根据完全平方公式 $(a)^{2} =a^2= a_{1}^{2} +2× a_{1} × a_{2}+a_{2}^{2}$，其中这里$a_1=-1$，$a_2=\sqrt{3}$，$a$的系数为$\frac{1}{2}$，可得：
$(\frac{-1+\sqrt{3}}{2})^{2}$
$=(\frac{1}{2} )^{2}× ((-1+\sqrt{3})^{2})$
$=\frac{1}{4} × ((-1)^{2} +2 × (-1) × \sqrt{3} +(\sqrt{3})^{2})$
$=\frac{1}{4} × (1 -2\sqrt{3} +3)$
$=\frac{4-2\sqrt{3}}{4}$
$=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
(2)
解：
同样利用完全平方公式，其中这里$a_1=-1$，$a_2=\sqrt{5}$，$a$的系数为$\frac{1}{2}$，可得：
$(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^{2}$
$=(\frac{1}{2} )^{2}× ((-1-\sqrt{5})^{2})$
$=\frac{1}{4} × ((-1)^{2} +2 × (-1) × (-\sqrt{5}) +(-\sqrt{5})^{2})$
$=\frac{1}{4} × (1 +2\sqrt{5} +5)$
$=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}$
$=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

4. 已知菱形的两条对角线长分别为 $ 4+\sqrt{3} $，$ 4-\sqrt{3} $，求该菱形的面积.

菱形面积等于两条对角线乘积的一半。
面积 = $\frac{1}{2} × (4 + \sqrt{3}) × (4 - \sqrt{3})$
$= \frac{1}{2} × [4^2 - (\sqrt{3})^2]$
$= \frac{1}{2} × (16 - 3)$
$= \frac{1}{2} × 13$
$= \frac{13}{2}$
结论：该菱形的面积为$\frac{13}{2}$。

5. 已知 $ x=\sqrt{3}+1 $，$ y=\sqrt{3}-1 $，求下列各式的值：
(1) $ x^2+2xy+y^2 $；
(2) $ x^2-y^2 $.

(1)
解：
首先，利用完全平方公式，我们有：
$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
代入给定的$x$和$y$的值：
$x = \sqrt{3} + 1$
$y = \sqrt{3} - 1$
$x + y = (\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3}$
所以，
$x^2 + 2xy + y^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12$
(2)
解：
利用平方差公式，我们有：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
代入给定的$x$和$y$的值：
$x + y = 2\sqrt{3}$
$x - y = (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = 2$
所以，
$x^2 - y^2 = 2\sqrt{3} × 2 = 4\sqrt{3}$

6. 已知直角三角形的两条直角边长分别为 $ 2\sqrt{3}+1 $，$ 2\sqrt{3}-1 $，求斜边的长.

设直角三角形的斜边长为$c$，两条直角边分别为$a = 2\sqrt{3} + 1$，$b = 2\sqrt{3} - 1$。
根据勾股定理$c^2 = a^2 + b^2$，得：
$\begin{aligned}a^2&=(2\sqrt{3} + 1)^2\\&=(2\sqrt{3})^2 + 2×2\sqrt{3}×1 + 1^2\\&=12 + 4\sqrt{3} + 1\\&=13 + 4\sqrt{3}\end{aligned}$
$\begin{aligned}b^2&=(2\sqrt{3} - 1)^2\\&=(2\sqrt{3})^2 - 2×2\sqrt{3}×1 + 1^2\\&=12 - 4\sqrt{3} + 1\\&=13 - 4\sqrt{3}\end{aligned}$
$\begin{aligned}c^2&=a^2 + b^2\\&=(13 + 4\sqrt{3}) + (13 - 4\sqrt{3})\\&=26\end{aligned}$
所以$c = \sqrt{26}$（$c ＞ 0$）。
答：斜边的长为$\sqrt{26}$。

7. (1) 把边长分别为 $ 1+\sqrt{2} $，$ 1+2\sqrt{2} $，$ 1+3\sqrt{2} $，$ 1+4\sqrt{2} $的正方形面积记作 $ S_1 $，$ S_2 $，$ S_3 $，$ S_4 $，计算：
① $ S_2 - S_1 $；② $ S_3 - S_2 $；③ $ S_4 - S_3 $.
(2) 把边长为 $ 1+n\sqrt{2} $的正方形面积记作 $ S_n $($ n $是正整数)，你能猜想出 $ S_{n+1}-S_n $等于多少吗？为什么？

(1)①$S_2 - S_1=(1+2\sqrt{2})^2-(1+\sqrt{2})^2$
$=[1+4\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2]-[1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2]$
$=(1+4\sqrt{2}+8)-(1+2\sqrt{2}+2)$
$=(9+4\sqrt{2})-(3+2\sqrt{2})=6+2\sqrt{2}$
②$S_3 - S_2=(1+3\sqrt{2})^2-(1+2\sqrt{2})^2$
$=[1+6\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2]-[1+4\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2]$
$=(1+6\sqrt{2}+18)-(1+4\sqrt{2}+8)$
$=(19+6\sqrt{2})-(9+4\sqrt{2})=10+2\sqrt{2}$
③$S_4 - S_3=(1+4\sqrt{2})^2-(1+3\sqrt{2})^2$
$=[1+8\sqrt{2}+(4\sqrt{2})^2]-[1+6\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2]$
$=(1+8\sqrt{2}+32)-(1+6\sqrt{2}+18)$
$=(33+8\sqrt{2})-(19+6\sqrt{2})=14+2\sqrt{2}$
(2)猜想$S_{n+1}-S_n=4n + 2 + 2\sqrt{2}$
理由：$S_{n}=(1+n\sqrt{2})^2=1 + 2n\sqrt{2}+2n^2$
$S_{n+1}=(1+(n+1)\sqrt{2})^2=1 + 2(n+1)\sqrt{2}+2(n+1)^2$
$S_{n+1}-S_n=[1 + 2(n+1)\sqrt{2}+2(n^2 + 2n + 1)]-[1 + 2n\sqrt{2}+2n^2]$
$=2(n+1)\sqrt{2}-2n\sqrt{2}+2n^2 + 4n + 2 - 2n^2$
$=2\sqrt{2}+4n + 2=4n + 2 + 2\sqrt{2}$