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2. 如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，且 AF = BD，连接 BF.
(1) 求证：BD = CD.
(2) 已知 AB = AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明.
(1) 求证：BD = CD.
(2) 已知 AB = AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明.
答案
(1)见解析；(2)矩形，见解析
解析
(1)∵AF//BC，∴∠AFE=∠DCE。∵E是AD中点，∴AE=DE。在△AFE和△DCE中，∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AFE≌△DCE(AAS)，∴AF=CD。∵AF=BD，∴BD=CD。
(2)四边形AFBD是矩形。证明：∵AF//BC，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形。∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠ADB=90°，∴平行四边形AFBD是矩形。
(2)四边形AFBD是矩形。证明：∵AF//BC，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形。∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠ADB=90°，∴平行四边形AFBD是矩形。
3. 图①、图②、图③均是 6×6 的方格纸，每个小正方形的边长均为 1，小正方形的顶点叫作格点. 线段 AB 的端点在格点上. 要求仅用无刻度的直尺完成下列画图(所画图形的顶点都在格点上).
(1) 在图①中，画一个以 AB 为边、面积是 12 的只是中心对称的四边形 ABCD；
(2) 在图②中，画一个以 AB 为边的既是轴对称又是中心对称的图形；
(3) 在图③中，画一个以 AB 为对角线的矩形 AFBE，且使得 AF = $\sqrt{2}$，BF = $2\sqrt{2}$.
(1) 在图①中，画一个以 AB 为边、面积是 12 的只是中心对称的四边形 ABCD；
(2) 在图②中，画一个以 AB 为边的既是轴对称又是中心对称的图形；
(3) 在图③中，画一个以 AB 为对角线的矩形 AFBE，且使得 AF = $\sqrt{2}$，BF = $2\sqrt{2}$.
答案
（画图略，需按上述步骤在对应图中绘制）
解析
(1) 在图①中，以AB为边作平行四边形ABCD，使AB与对边CD平行且相等，利用格点确保面积为12，且图形仅中心对称（非轴对称）。
(2) 在图②中，以AB为边作矩形（或菱形、正方形），使其既是轴对称图形（对称轴为对边中点连线）又是中心对称图形（对称中心为对角线交点）。
(3) 在图③中，先确定AB中点O，在格点中找F使AF=√2（A点水平1、垂直1格），BF=2√2（B点水平2、垂直2格），且∠AFB=90°，再找F关于O的对称点E，连接AF、FB、BE、EA得矩形AFBE。
(2) 在图②中，以AB为边作矩形（或菱形、正方形），使其既是轴对称图形（对称轴为对边中点连线）又是中心对称图形（对称中心为对角线交点）。
(3) 在图③中，先确定AB中点O，在格点中找F使AF=√2（A点水平1、垂直1格），BF=2√2（B点水平2、垂直2格），且∠AFB=90°，再找F关于O的对称点E，连接AF、FB、BE、EA得矩形AFBE。
4. 封闭的中心对称图形都可以过对称中心作一条直线把它分成面积相等的两部分. 例如，经过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分(图①). 请在图②、图③中分别画一条直线把它们都分成面积相等的两部分，其中图②中的四边形 ABCD 是平行四边形，图③中的∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠EFD = 90°.
答案
图②（平行四边形ABCD）
连接平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD，交于点O（对称中心），过点O作任意一条直线（如直线AC或BD），即可将其分成面积相等的两部分。
图③（多边形）
该图形由两个矩形组成（假设为矩形ABFE和矩形FBCD），分别作两矩形的对角线，交于各自对称中心O₁、O₂，连接O₁O₂，直线O₁O₂将图形分成面积相等的两部分。
连接平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD，交于点O（对称中心），过点O作任意一条直线（如直线AC或BD），即可将其分成面积相等的两部分。
图③（多边形）
该图形由两个矩形组成（假设为矩形ABFE和矩形FBCD），分别作两矩形的对角线，交于各自对称中心O₁、O₂，连接O₁O₂，直线O₁O₂将图形分成面积相等的两部分。
