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8. 求 $ 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{2021} $的值,可令 $ S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{2021} $,则 $ 2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{2022} $,因此 $ 2S - S = 2^{2022} - 1 $。仿照以上推理,计算出 $ 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{2021} $的值为( )。
A.$ 5^{2021} - 1 $
B.$ 5^{2022} - 1 $
C.$ \frac{5^{2022} - 1}{4} $
D.$ \frac{5^{2021} - 1}{4} $
A.$ 5^{2021} - 1 $
B.$ 5^{2022} - 1 $
C.$ \frac{5^{2022} - 1}{4} $
D.$ \frac{5^{2021} - 1}{4} $
答案
C
解析
令$ S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2021} $，
则$ 5S = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + \ldots + 5^{2022} $，
因此$ 5S - S = 5^{2022} - 1 $，
即$ 4S = 5^{2022} - 1 $，
所以$ S = \frac{5^{2022} - 1}{4} $。
C
则$ 5S = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + \ldots + 5^{2022} $，
因此$ 5S - S = 5^{2022} - 1 $，
即$ 4S = 5^{2022} - 1 $，
所以$ S = \frac{5^{2022} - 1}{4} $。
C
9. 在学习了有理数的加减法之后,老师讲解了例题 $ -1 + 2 - 3 + 4 + … - 2017 + 2018 $的计算思路: 将两个加数组合在一起作为一组,其和为 1,共有 1009 组,所以结果为 1009。根据这个思路学生改编了下列几题:
(1) 计算: ① $ 1 - 2 + 3 - 4 + … + 2017 - 2018 $；
② $ 1 - 3 + 5 - 7 + … + 2017 - 2019 $。
(2) 蚂蚁在数轴的原点 $ O $ 处,第一次向右爬行 1 个单位,第二次向右爬行 2 个单位,第三次向左爬行 3 个单位,第四次向左爬行 4 个单位,第五次向右爬行 5 个单位,第六次向右爬行 6 个单位,第七次向左爬行 7 个单位……按照这个规律,第 1024 次爬行后蚂蚁在数轴什么位置?
(1) 计算: ① $ 1 - 2 + 3 - 4 + … + 2017 - 2018 $；
② $ 1 - 3 + 5 - 7 + … + 2017 - 2019 $。
(2) 蚂蚁在数轴的原点 $ O $ 处,第一次向右爬行 1 个单位,第二次向右爬行 2 个单位,第三次向左爬行 3 个单位,第四次向左爬行 4 个单位,第五次向右爬行 5 个单位,第六次向右爬行 6 个单位,第七次向左爬行 7 个单位……按照这个规律,第 1024 次爬行后蚂蚁在数轴什么位置?
答案
（1）①$-1009$ ②$-1010$ （2）第1024次爬行后，蚂蚁在数轴上的位置：$1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+\dots +1021+1022-1023-1024=-4×256=-1024$。
解析
（1）①$1-2+3-4+\dots +2017-2018$
$=(1-2)+(3-4)+\dots +(2017-2018)$
$=(-1)+(-1)+\dots +(-1)$（共1009组）
$=-1009$
②$1-3+5-7+\dots +2017-2019$
$=(1-3)+(5-7)+\dots +(2017-2019)$
$=(-2)+(-2)+\dots +(-2)$（共505组）
$=-2×505=-1010$
（2）$1+2-3-4+5+6-7-8+\dots +1021+1022-1023-1024$
$=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+\dots +(1021+1022-1023-1024)$
$=(-4)+(-4)+\dots +(-4)$（共256组）
$=-4×256=-1024$
$=(1-2)+(3-4)+\dots +(2017-2018)$
$=(-1)+(-1)+\dots +(-1)$（共1009组）
$=-1009$
②$1-3+5-7+\dots +2017-2019$
$=(1-3)+(5-7)+\dots +(2017-2019)$
$=(-2)+(-2)+\dots +(-2)$（共505组）
$=-2×505=-1010$
（2）$1+2-3-4+5+6-7-8+\dots +1021+1022-1023-1024$
$=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+\dots +(1021+1022-1023-1024)$
$=(-4)+(-4)+\dots +(-4)$（共256组）
$=-4×256=-1024$
10. 请观察下列等式: $ 7^0 = 1 $,$ 7^1 = 7 $,$ 7^2 = 49 $,$ 7^3 = 343 $,$ 7^4 = 2401 $,$ 7^5 = 16807 $,$ 7^6 = 117649 $,$ 7^7 = 823543 $,$ 7^8 = 5764801 $,…。
【观察发现】
(1) 你发现等式右边数字的个位有什么变化规律?
【问题解决】
(2) $ 7^{11} $的个位数是______,$ 7^{2022} $的个位数是______。
【拓展运用】
(3) 根据其中的规律求 $ 7^0 + 7^1 + 7^2 + … + 7^{2022} $的结果的个位数字。
【观察发现】
(1) 你发现等式右边数字的个位有什么变化规律?
【问题解决】
(2) $ 7^{11} $的个位数是______,$ 7^{2022} $的个位数是______。
【拓展运用】
(3) 根据其中的规律求 $ 7^0 + 7^1 + 7^2 + … + 7^{2022} $的结果的个位数字。
答案
（1）观察等式发现，等式右边的个位按照1，7，9，3的顺序呈周期性出现。（2）3，9。（3）因为$2023÷4=505\cdots \cdots 3$，所以$7^{0}+7^{1}+7^{2}+\dots +7^{2022}$的个位数之和为$(1+7+9+3)+(1+7+9+3)+\dots +(1+7+9)=505×20+17=505×20+10+7$。因为$505×20+10+7$的个位数为7，所以$7^{0}+7^{1}+7^{2}+\dots +7^{2022}$的结果的个位数字为7。
解析
（1）等式右边数字的个位按照1，7，9，3的顺序呈周期性出现。
（2）3，9。
（3）因为$2022 - 0 + 1 = 2023$，$2023÷4 = 505\cdots\cdots3$，所以$7^0 + 7^1 + 7^2 + \cdots + 7^{2022}$的个位数之和为$505×(1 + 7 + 9 + 3)+(1 + 7 + 9)$。又因为$1 + 7 + 9 + 3 = 20$，$1 + 7 + 9 = 17$，所以$505×20 + 17$的个位数为$0 + 7 = 7$，故结果的个位数字为7。
（2）3，9。
（3）因为$2022 - 0 + 1 = 2023$，$2023÷4 = 505\cdots\cdots3$，所以$7^0 + 7^1 + 7^2 + \cdots + 7^{2022}$的个位数之和为$505×(1 + 7 + 9 + 3)+(1 + 7 + 9)$。又因为$1 + 7 + 9 + 3 = 20$，$1 + 7 + 9 = 17$，所以$505×20 + 17$的个位数为$0 + 7 = 7$，故结果的个位数字为7。
