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11. 如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,依次类推。
(1) 填写下表:
|层次|1|2|3|4|5|6|
|该层对应的点数| | | | | | |
|所有层的总点数| | | | | | |
(2) 写出第 $ n $ 层($ n \geq 2 $)所对应的点数；
(3) 求出六边形的点阵共有 $ n $ 层($ n \geq 2 $)时的总点数。
(1) 填写下表:
|层次|1|2|3|4|5|6|
|该层对应的点数| | | | | | |
|所有层的总点数| | | | | | |
(2) 写出第 $ n $ 层($ n \geq 2 $)所对应的点数；
(3) 求出六边形的点阵共有 $ n $ 层($ n \geq 2 $)时的总点数。
答案
（1）填表如下：层次 1 2 3 4 5 6 该层对应的点数 1 6 12 18 24 30 所有层的总点数 1 7 19 37 61 91 （2）根据分析可得第$n(n\geq 2)$层的点数之和为$6(n-1)$。（3）根据分析可得共有$n(n\geq 2)$层时的总点数为$1+3n(n-1)$。
解析
（1）
|层次|1|2|3|4|5|6|
|----|----|----|----|----|----|----|
|该层对应的点数|1|6|12|18|24|30|
|所有层的总点数|1|7|19|37|61|91|
（2）$6(n - 1)$
（3）$1 + 3n(n - 1)$
|层次|1|2|3|4|5|6|
|----|----|----|----|----|----|----|
|该层对应的点数|1|6|12|18|24|30|
|所有层的总点数|1|7|19|37|61|91|
（2）$6(n - 1)$
（3）$1 + 3n(n - 1)$
