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1. 代数式$-7x$的意义可以是( )
A.$-7与x$的和
B.$-7与x$的差
C.$-7与x$的积
D.$-7与x$的商
A.$-7与x$的和
B.$-7与x$的差
C.$-7与x$的积
D.$-7与x$的商
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆代数式的书写规则：数字与字母相乘时，乘号可以省略不写，因此数字和字母相邻且无其他运算符号时，默认表示二者的乘积。我们只需将每个选项对应的代数式写出来，和题干的$-7x$对比即可找到正确答案。
【解析】
逐个分析各选项对应的代数式：
A. $-7$与$x$的和，列式为$-7+x$，与题干代数式不符，错误；
B. $-7$与$x$的差，列式为$-7-x$，与题干代数式不符，错误；
C. $-7$与$x$的积，数字和字母相乘省略乘号后可写为$-7x$，与题干代数式一致，正确；
D. $-7$与$x$的商，列式为$\frac{-7}{x}$（或$-7÷ x$），与题干代数式不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
代数式的意义；代数式书写规范
【点评】
本题是基础概念题，主要考查代数式对应的运算含义，掌握数字与字母相乘的书写规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆代数式的书写规则：数字与字母相乘时，乘号可以省略不写，因此数字和字母相邻且无其他运算符号时，默认表示二者的乘积。我们只需将每个选项对应的代数式写出来，和题干的$-7x$对比即可找到正确答案。
【解析】
逐个分析各选项对应的代数式：
A. $-7$与$x$的和，列式为$-7+x$，与题干代数式不符，错误；
B. $-7$与$x$的差，列式为$-7-x$，与题干代数式不符，错误；
C. $-7$与$x$的积，数字和字母相乘省略乘号后可写为$-7x$，与题干代数式一致，正确；
D. $-7$与$x$的商，列式为$\frac{-7}{x}$（或$-7÷ x$），与题干代数式不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
代数式的意义；代数式书写规范
【点评】
本题是基础概念题，主要考查代数式对应的运算含义，掌握数字与字母相乘的书写规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 若$m^2 + 2m - 1 = 0$,则$2m^2 + 4m - 3$的值是( )
A.$-1$
B.$-5$
C.$5$
D.$-3$
A.$-1$
B.$-5$
C.$5$
D.$-3$
答案
A
解析
【分析】
本题已知含m的等式，求目标代数式的值，无需解出m的具体值，采用整体代入法求解即可。首先观察已知等式和所求代数式的关系：已知等式左边是$m^2+2m-1$，所求代数式前两项为$2m^2+4m$，刚好是$m^2+2m$的2倍，因此可先从已知等式求出$m^2+2m$的值，再将目标代数式变形为含有$m^2+2m$的形式，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because m^2 + 2m - 1 = 0$
$\therefore$ 移项可得 $m^2 + 2m = 1$
对所求代数式变形：
$2m^2 + 4m - 3 = 2(m^2 + 2m) - 3$
将$m^2 + 2m = 1$代入上式得：
原式$=2×1 - 3 = 2 - 3 = -1$
故选A
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是运用整体代入的思想简化运算，无需单独求出未知数的取值，是代数式求值类题目的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
本题已知含m的等式，求目标代数式的值，无需解出m的具体值，采用整体代入法求解即可。首先观察已知等式和所求代数式的关系：已知等式左边是$m^2+2m-1$，所求代数式前两项为$2m^2+4m$，刚好是$m^2+2m$的2倍，因此可先从已知等式求出$m^2+2m$的值，再将目标代数式变形为含有$m^2+2m$的形式，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because m^2 + 2m - 1 = 0$
$\therefore$ 移项可得 $m^2 + 2m = 1$
对所求代数式变形：
$2m^2 + 4m - 3 = 2(m^2 + 2m) - 3$
将$m^2 + 2m = 1$代入上式得：
原式$=2×1 - 3 = 2 - 3 = -1$
故选A
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是运用整体代入的思想简化运算，无需单独求出未知数的取值，是代数式求值类题目的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
3. 下面的三个问题中都有两个量：
①面积一定的三角形,它的一条边的长$y与这条边上的高x$；
②将泳池中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余水量$y与放水时间x$；
③计划从 A 地到 B 地铺设一段铁轨,每日铺设长度$y与铺设天数x$.
其中$y与x$成反比例关系的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
①面积一定的三角形,它的一条边的长$y与这条边上的高x$；
②将泳池中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余水量$y与放水时间x$；
③计划从 A 地到 B 地铺设一段铁轨,每日铺设长度$y与铺设天数x$.
其中$y与x$成反比例关系的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
B
解析
【分析】要判断y与x是否成反比例关系，首先要明确反比例关系的核心特征：两个相关联的量，若它们的乘积为固定不变的常数，则这两个量成反比例关系。解题时我们先逐个分析三个问题中y和x的数量关系，推导二者的乘积是否为定值，就能得出结论。
【解析】反比例关系的判定规则：若两个变量x、y满足$xy=k$（k为不等于0的常数），则y与x成反比例关系。
对三个问题逐一分析：
① 设三角形的面积为S（固定不变），根据三角形面积公式可得：$S=\frac{1}{2}xy$，变形得$xy=2S$，2S是固定常数，符合反比例关系的特征，故y与x成反比例。
② 设泳池原有水量为a，放水速度为v（匀速放水，v为定值），则剩余水量$y=a-vx$，y与x的乘积不是固定常数，属于一次函数关系，不符合反比例关系。
③ 设铁轨总长度为m（固定不变），则每日铺设长度×铺设天数=总长度，即$xy=m$，m是固定常数，符合反比例关系的特征，故y与x成反比例。
综上，①③中的y与x成反比例关系，对应选项B。
【答案】B
【知识点】反比例关系的判定，常见数量关系
【点评】本题考查反比例关系的实际应用，解题时需结合实际场景推导两个变量的关系式，紧扣“乘积为定值”的特征判断，注意区分反比例关系和线性递减的一次函数关系，避免误判。
【难度系数】0.7
【解析】反比例关系的判定规则：若两个变量x、y满足$xy=k$（k为不等于0的常数），则y与x成反比例关系。
对三个问题逐一分析：
① 设三角形的面积为S（固定不变），根据三角形面积公式可得：$S=\frac{1}{2}xy$，变形得$xy=2S$，2S是固定常数，符合反比例关系的特征，故y与x成反比例。
② 设泳池原有水量为a，放水速度为v（匀速放水，v为定值），则剩余水量$y=a-vx$，y与x的乘积不是固定常数，属于一次函数关系，不符合反比例关系。
③ 设铁轨总长度为m（固定不变），则每日铺设长度×铺设天数=总长度，即$xy=m$，m是固定常数，符合反比例关系的特征，故y与x成反比例。
综上，①③中的y与x成反比例关系，对应选项B。
【答案】B
【知识点】反比例关系的判定，常见数量关系
【点评】本题考查反比例关系的实际应用，解题时需结合实际场景推导两个变量的关系式，紧扣“乘积为定值”的特征判断，注意区分反比例关系和线性递减的一次函数关系，避免误判。
【难度系数】0.7
4. (2025·芜湖)下面四个式子中,不能表示图中阴影部分面积的是( )
A.$(x + 3)(x + 2) - 2x$
B.$x(x + 3) + 6$
C.$x^2 + 5x$
D.$3(x + 2) + x^2$
A.$(x + 3)(x + 2) - 2x$
B.$x(x + 3) + 6$
C.$x^2 + 5x$
D.$3(x + 2) + x^2$
答案
1. 首先，用大长方形面积减去空白部分面积：
大长方形的长为$(x + 3)$，宽为$(x + 2)$，根据长方形面积公式$S = ab$（$a$、$b$为长和宽），大长方形面积$S_1=(x + 3)(x + 2)$，空白部分面积$S_2 = 2x$。
则阴影部分面积$S=(x + 3)(x + 2)-2x$。
展开$(x + 3)(x + 2)-2x$：
根据多项式乘多项式法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，$(x + 3)(x + 2)=x^{2}+2x+3x + 6=x^{2}+5x + 6$，所以$(x + 3)(x + 2)-2x=x^{2}+5x + 6-2x=x^{2}+3x + 6$。
2. 然后，用分割法求阴影部分面积：
方法一：
把阴影部分分割成一个长为$(x + 3)$，宽为$x$的长方形和一个长为$3$，宽为$2$的长方形。
根据长方形面积公式，$S=x(x + 3)+3×2$，展开$x(x + 3)+6=x^{2}+3x + 6$。
方法二：
把阴影部分分割成一个长为$(x + 2)$，宽为$3$的长方形和一个边长为$x$的正方形。
根据长方形面积公式$S = ab$和正方形面积公式$S=a^{2}$，$S = 3(x + 2)+x^{2}$，展开$3(x + 2)+x^{2}=3x+6+x^{2}$。
而$x^{2}+5x\neq x^{2}+3x + 6$。
所以不能表示图中阴影部分面积的是$C$。
大长方形的长为$(x + 3)$，宽为$(x + 2)$，根据长方形面积公式$S = ab$（$a$、$b$为长和宽），大长方形面积$S_1=(x + 3)(x + 2)$，空白部分面积$S_2 = 2x$。
则阴影部分面积$S=(x + 3)(x + 2)-2x$。
展开$(x + 3)(x + 2)-2x$：
根据多项式乘多项式法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，$(x + 3)(x + 2)=x^{2}+2x+3x + 6=x^{2}+5x + 6$，所以$(x + 3)(x + 2)-2x=x^{2}+5x + 6-2x=x^{2}+3x + 6$。
2. 然后，用分割法求阴影部分面积：
方法一：
把阴影部分分割成一个长为$(x + 3)$，宽为$x$的长方形和一个长为$3$，宽为$2$的长方形。
根据长方形面积公式，$S=x(x + 3)+3×2$，展开$x(x + 3)+6=x^{2}+3x + 6$。
方法二：
把阴影部分分割成一个长为$(x + 2)$，宽为$3$的长方形和一个边长为$x$的正方形。
根据长方形面积公式$S = ab$和正方形面积公式$S=a^{2}$，$S = 3(x + 2)+x^{2}$，展开$3(x + 2)+x^{2}=3x+6+x^{2}$。
而$x^{2}+5x\neq x^{2}+3x + 6$。
所以不能表示图中阴影部分面积的是$C$。
解析
【分析】
要判断哪个式子不能表示阴影部分面积，我们可以用两种常用的面积计算思路求解阴影面积的正确表达式：一是“整体减空白”，先算大长方形总面积，再减去空白部分的面积；二是“分割求和”，把阴影部分拆成多个规则图形，分别计算面积后相加。得到阴影面积的正确化简结果后，逐一验证四个选项即可找到不符合的式子。
【解析】
1. 用“整体减空白”计算阴影面积
大长方形的长为$(x+3)$，宽为$(x+2)$，根据长方形面积公式$S=ab$，大长方形面积为$(x+3)(x+2)$。
空白部分是长为$x$、宽为$2$的小长方形，面积为$2x$。
因此阴影面积$S=(x+3)(x+2)-2x$，展开化简得：
$(x+3)(x+2)-2x=x^2+2x+3x+6-2x=x^2+3x+6$，可知选项A的式子展开后等于$x^2+3x+6$，可以表示阴影面积。
2. 用“分割求和”验证其余选项
方法1：把阴影拆成上方长$(x+3)$、宽$x$的长方形，和下方长3、宽2的长方形，面积和为$x(x+3)+3×2=x(x+3)+6$，展开得$x^2+3x+6$，对应选项B的式子，可以表示阴影面积。
方法2：把阴影拆成左侧边长为$x$的正方形，和右侧长3、宽$(x+2)$的长方形，面积和为$x^2+3(x+2)$，展开得$x^2+3x+6$，对应选项D的式子，可以表示阴影面积。
3. 对比选项C
选项C的式子为$x^2+5x$，和阴影面积的正确结果$x^2+3x+6$不相等，因此不能表示阴影部分面积。
【答案】
C
【知识点】
长方形面积计算，整式乘法运算，代数式化简
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的等价性判断，需要掌握组合图形面积的两种常规计算思路，同时要准确完成整式的展开与化简运算。
【难度系数】
0.7
要判断哪个式子不能表示阴影部分面积，我们可以用两种常用的面积计算思路求解阴影面积的正确表达式：一是“整体减空白”，先算大长方形总面积，再减去空白部分的面积；二是“分割求和”，把阴影部分拆成多个规则图形，分别计算面积后相加。得到阴影面积的正确化简结果后，逐一验证四个选项即可找到不符合的式子。
【解析】
1. 用“整体减空白”计算阴影面积
大长方形的长为$(x+3)$，宽为$(x+2)$，根据长方形面积公式$S=ab$，大长方形面积为$(x+3)(x+2)$。
空白部分是长为$x$、宽为$2$的小长方形，面积为$2x$。
因此阴影面积$S=(x+3)(x+2)-2x$，展开化简得：
$(x+3)(x+2)-2x=x^2+2x+3x+6-2x=x^2+3x+6$，可知选项A的式子展开后等于$x^2+3x+6$，可以表示阴影面积。
2. 用“分割求和”验证其余选项
方法1：把阴影拆成上方长$(x+3)$、宽$x$的长方形，和下方长3、宽2的长方形，面积和为$x(x+3)+3×2=x(x+3)+6$，展开得$x^2+3x+6$，对应选项B的式子，可以表示阴影面积。
方法2：把阴影拆成左侧边长为$x$的正方形，和右侧长3、宽$(x+2)$的长方形，面积和为$x^2+3(x+2)$，展开得$x^2+3x+6$，对应选项D的式子，可以表示阴影面积。
3. 对比选项C
选项C的式子为$x^2+5x$，和阴影面积的正确结果$x^2+3x+6$不相等，因此不能表示阴影部分面积。
【答案】
C
【知识点】
长方形面积计算，整式乘法运算，代数式化简
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的等价性判断，需要掌握组合图形面积的两种常规计算思路，同时要准确完成整式的展开与化简运算。
【难度系数】
0.7
5. 下列式子中表示$y与x$成反比例关系的有______(填序号).
①$y = -2x$；②$y = -\frac{1}{x}$；③$y = x^2$；④$y = \frac{2}{x - 1}$；⑤$y = \frac{x}{3}$.
①$y = -2x$；②$y = -\frac{1}{x}$；③$y = x^2$；④$y = \frac{2}{x - 1}$；⑤$y = \frac{x}{3}$.
答案
②
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确y与x成反比例关系的判定标准：如果两个变量x、y满足$ y=\frac{k}{x} $（其中k是不为0的常数），也就是x与y的乘积为固定的非零常数，那么y与x成反比例关系。接下来我们只需逐个判断给出的式子是否符合该标准即可。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：若y与x成反比例，需满足形如$ y=\frac{k}{x} $（k为常数，且$ k≠0 $）的形式，且分母只能是自变量x本身，不能包含其他运算。
逐个分析所给式子：
① $ y=-2x $ 是正比例形式，y与x的比值为定值-2，属于正比例关系，不符合反比例要求；
② $ y=-\frac{1}{x} $ 符合$ y=\frac{k}{x} $的形式，其中$ k=-1≠0 $，满足反比例关系的定义；
③ $ y=x^2 $ 中y是x的平方，x与y的乘积不是定值，不属于反比例关系；
④ $ y=\frac{2}{x-1} $ 的分母是$ x-1 $，是y与$ x-1 $成反比例，不是y与x成反比例，不符合要求；
⑤ $ y=\frac{x}{3} $ 可变形为$ y=\frac{1}{3}x $，属于正比例关系，不符合反比例要求。
综上，只有②符合y与x成反比例关系的要求。
【答案】
②
【知识点】
反比例关系的判定，正比例关系的识别
【点评】
本题重点考查正反比例关系的区分，解题时要严格紧扣反比例关系的定义，注意分母只能是自变量x本身，不能含有常数项或其他运算，避免因概念理解不透彻选错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确y与x成反比例关系的判定标准：如果两个变量x、y满足$ y=\frac{k}{x} $（其中k是不为0的常数），也就是x与y的乘积为固定的非零常数，那么y与x成反比例关系。接下来我们只需逐个判断给出的式子是否符合该标准即可。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：若y与x成反比例，需满足形如$ y=\frac{k}{x} $（k为常数，且$ k≠0 $）的形式，且分母只能是自变量x本身，不能包含其他运算。
逐个分析所给式子：
① $ y=-2x $ 是正比例形式，y与x的比值为定值-2，属于正比例关系，不符合反比例要求；
② $ y=-\frac{1}{x} $ 符合$ y=\frac{k}{x} $的形式，其中$ k=-1≠0 $，满足反比例关系的定义；
③ $ y=x^2 $ 中y是x的平方，x与y的乘积不是定值，不属于反比例关系；
④ $ y=\frac{2}{x-1} $ 的分母是$ x-1 $，是y与$ x-1 $成反比例，不是y与x成反比例，不符合要求；
⑤ $ y=\frac{x}{3} $ 可变形为$ y=\frac{1}{3}x $，属于正比例关系，不符合反比例要求。
综上，只有②符合y与x成反比例关系的要求。
【答案】
②
【知识点】
反比例关系的判定，正比例关系的识别
【点评】
本题重点考查正反比例关系的区分，解题时要严格紧扣反比例关系的定义，注意分母只能是自变量x本身，不能含有常数项或其他运算，避免因概念理解不透彻选错。
【难度系数】
0.7
6. 某同学参加了$7.5$km 马拉松健康跑项目,他从起点开始以平均每分钟$x$km 的速度跑了$10$min,此时他离健康跑终点的路程为______km(用含$x$的代数式表示).
答案
$(7.5-10x)$
解析
【分析】
解题时先明确数量关系：离终点的路程=总路程-已经跑过的路程。首先回忆行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，先根据已知的跑步速度和时间算出已经跑的路程，再用总路程减去已跑路程，就能得到最终结果，最后按照代数式的书写规范整理即可。
【解析】
1. 计算10分钟跑过的路程：根据路程=速度×时间，已知速度为平均每分钟$x$km，时间为10min，所以已跑路程为$10× x=10x$（km）。
2. 计算离终点的路程：总路程为7.5km，因此剩余路程=总路程-已跑路程，即$7.5-10x$，用代数式规范表示为$(7.5-10x)$。
【答案】
$(7.5-10x)$
【知识点】
列代数式；行程问题基本数量关系
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对行程问题数量关系的应用和代数式的书写规范，只要掌握路程、速度、时间三者的关系，就能快速求解，注意最终书写代数式时格式要符合要求。
【难度系数】
0.9
解题时先明确数量关系：离终点的路程=总路程-已经跑过的路程。首先回忆行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，先根据已知的跑步速度和时间算出已经跑的路程，再用总路程减去已跑路程，就能得到最终结果，最后按照代数式的书写规范整理即可。
【解析】
1. 计算10分钟跑过的路程：根据路程=速度×时间，已知速度为平均每分钟$x$km，时间为10min，所以已跑路程为$10× x=10x$（km）。
2. 计算离终点的路程：总路程为7.5km，因此剩余路程=总路程-已跑路程，即$7.5-10x$，用代数式规范表示为$(7.5-10x)$。
【答案】
$(7.5-10x)$
【知识点】
列代数式；行程问题基本数量关系
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对行程问题数量关系的应用和代数式的书写规范，只要掌握路程、速度、时间三者的关系，就能快速求解，注意最终书写代数式时格式要符合要求。
【难度系数】
0.9
7. 用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形地板砖按如图所示的规律拼成若干个地板图案,第$1个图案中白色地板砖的块数为6$,第$2个图案中白色地板砖的块数为10$,第$3个图案中白色地板砖的块数为14$……则第$n$个图案中白色地板砖的块数为______.(用含$n$的代数式表示)
答案
1. 首先分析图案规律：
第$1$个图案中白色地板砖的块数$a_{1}=6 = 4×1 + 2$；
第$2$个图案中白色地板砖的块数$a_{2}=10 = 4×2+2$；
第$3$个图案中白色地板砖的块数$a_{3}=14 = 4×3 + 2$。
2. 然后总结通项公式：
设第$n$个图案中白色地板砖的块数为$a_{n}$，通过观察上述式子，根据等差数列通项公式$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$（这里$a_{1}=6$，公差$d = 4$），也可直接根据规律得出$a_{n}=4n+2$。
故第$n$个图案中白色地板砖的块数为$4n + 2$。
第$1$个图案中白色地板砖的块数$a_{1}=6 = 4×1 + 2$；
第$2$个图案中白色地板砖的块数$a_{2}=10 = 4×2+2$；
第$3$个图案中白色地板砖的块数$a_{3}=14 = 4×3 + 2$。
2. 然后总结通项公式：
设第$n$个图案中白色地板砖的块数为$a_{n}$，通过观察上述式子，根据等差数列通项公式$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$（这里$a_{1}=6$，公差$d = 4$），也可直接根据规律得出$a_{n}=4n+2$。
故第$n$个图案中白色地板砖的块数为$4n + 2$。
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：首先先整理已知的前3个图案白色地板砖的数量：第1个6块、第2个10块、第3个14块；接着对比相邻两个图案的数量差，发现每增加1个黑色地板砖，白色地板砖就固定增加4块；最后我们可以将每个图案的白色砖数量写成“4×图案序号 + 固定数”的形式，就可以推导出第n个图案的白色砖数量。
【解析】
观察已知图案的白色地板砖块数：
第1个图案：$ 6 = 4 × 1 + 2 $
第2个图案：$ 10 = 4 × 2 + 2 $
第3个图案：$ 14 = 4 × 3 + 2 $
由此可归纳规律：第$ n $个图案中白色地板砖的块数为4乘$ n $再加2，即$ 4n+2 $。
【答案】
$ 4n+2 $
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题属于基础规律探究题，核心是找到相邻图案的数量变化的固定增量，再结合初始值推导通用表达式，掌握这类题的解法能提升观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：首先先整理已知的前3个图案白色地板砖的数量：第1个6块、第2个10块、第3个14块；接着对比相邻两个图案的数量差，发现每增加1个黑色地板砖，白色地板砖就固定增加4块；最后我们可以将每个图案的白色砖数量写成“4×图案序号 + 固定数”的形式，就可以推导出第n个图案的白色砖数量。
【解析】
观察已知图案的白色地板砖块数：
第1个图案：$ 6 = 4 × 1 + 2 $
第2个图案：$ 10 = 4 × 2 + 2 $
第3个图案：$ 14 = 4 × 3 + 2 $
由此可归纳规律：第$ n $个图案中白色地板砖的块数为4乘$ n $再加2，即$ 4n+2 $。
【答案】
$ 4n+2 $
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题属于基础规律探究题，核心是找到相邻图案的数量变化的固定增量，再结合初始值推导通用表达式，掌握这类题的解法能提升观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
8. (新定义)在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：当$x ≤ y$时,$x★y = x^2$；当$x ＞ y$时,$x★y = y$,则当$z = -3$时,代数式$(-2★z)(-4★z)$的值为______.
答案
-48
解析
【分析】
解题时首先要明确新运算“★”的规则：运算结果根据x和y的大小关系分为两种，当x≤y时结果为x²，当x＞y时结果为y。已知z=-3，我们需要先分别计算两个括号内的新运算结果：先比较每个新运算中两个数的大小，匹配对应的运算规则算出结果，最后将两个结果相乘即可得到代数式的值。
【解析】
把z=-3代入代数式，分别计算两个括号的值：
1. 计算$(-2★z)=(-2★-3)$：
比较-2和-3的大小，得$-2 ＞ -3$，符合“$x＞y$时，$x★y = y$”的规则，因此$(-2★-3) = -3$；
2. 计算$(-4★z)=(-4★-3)$：
比较-4和-3的大小，得$-4 ≤ -3$，符合“$x ≤ y$时，$x★y = x^2$”的规则，因此$(-4★-3) = (-4)^2 = 16$；
3. 计算乘积：$(-3)×16 = -48$。
【答案】
-48
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较，有理数乘方运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新运算的分类规则，先判断参与运算的两个数的大小关系，再选择对应公式计算，计算过程中要注意负数比较大小的规则和乘方运算的符号问题，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确新运算“★”的规则：运算结果根据x和y的大小关系分为两种，当x≤y时结果为x²，当x＞y时结果为y。已知z=-3，我们需要先分别计算两个括号内的新运算结果：先比较每个新运算中两个数的大小，匹配对应的运算规则算出结果，最后将两个结果相乘即可得到代数式的值。
【解析】
把z=-3代入代数式，分别计算两个括号的值：
1. 计算$(-2★z)=(-2★-3)$：
比较-2和-3的大小，得$-2 ＞ -3$，符合“$x＞y$时，$x★y = y$”的规则，因此$(-2★-3) = -3$；
2. 计算$(-4★z)=(-4★-3)$：
比较-4和-3的大小，得$-4 ≤ -3$，符合“$x ≤ y$时，$x★y = x^2$”的规则，因此$(-4★-3) = (-4)^2 = 16$；
3. 计算乘积：$(-3)×16 = -48$。
【答案】
-48
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较，有理数乘方运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新运算的分类规则，先判断参与运算的两个数的大小关系，再选择对应公式计算，计算过程中要注意负数比较大小的规则和乘方运算的符号问题，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
9. (20 分)运用整体思想求代数式的值非常重要.
例如：已知$a^2 + 2a = 1$,则代数式$2a^2 + 4a + 4 = 2(a^2 + 2a) + 4 = 2×1 + 4 = 6$.
请你根据以上材料,解答下列问题：
(1) 若$x^2 - 3x = 2$,求$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2$的值；
(2) 已知当$x = 1$时,代数式$px^3 + qx + 1的值是6$,求当$x = -1$时,代数式$px^3 + qx + 1$的值.
例如：已知$a^2 + 2a = 1$,则代数式$2a^2 + 4a + 4 = 2(a^2 + 2a) + 4 = 2×1 + 4 = 6$.
请你根据以上材料,解答下列问题：
(1) 若$x^2 - 3x = 2$,求$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2$的值；
(2) 已知当$x = 1$时,代数式$px^3 + qx + 1的值是6$,求当$x = -1$时,代数式$px^3 + qx + 1$的值.
答案
(1)因为$x^{2}-3x=2$,所以$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x-2=\frac{1}{2}(x^{2}-3x)-2=\frac{1}{2}×2-2=-1$.
(2)由题意,得$p+q+1=6$,所以$p+q=5$.所以当$x=-1$时,$px^{3}+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-5+1=-4$.
解析
【分析】
本题考查整体代入思想求代数式的值，解题思路如下：
(1) 观察待求代数式$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2$，前两项提取公因式$\frac{1}{2}$后，可得到含已知式$x^2-3x$的结构，将$x^2-3x=2$整体代入计算即可，无需单独求解$x$的值。
(2) 先将$x=1$代入代数式$px^3+qx+1$，得到$p$与$q$的和的数值，再将$x=-1$代入待求代数式，把含$p$、$q$的部分变形为含有$p+q$的结构，最后整体代入$p+q$的值计算即可，无需分别求$p$、$q$的具体值。
【解析】
(1) 已知$x^2 - 3x = 2$，对待求式变形可得：
$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 = \frac{1}{2}(x^2 - 3x) - 2$
将$x^2 - 3x = 2$代入上式计算：
原式$=\frac{1}{2}×2 - 2 = 1 - 2 = -1$
(2) 当$x=1$时，代入$px^3 + qx + 1$可得：
$p×1^3 + q×1 + 1 = p + q + 1 = 6$
整理得$p + q = 5$
当$x=-1$时，代入$px^3 + qx + 1$可得：
$p×(-1)^3 + q×(-1) + 1 = -p - q + 1 = -(p + q) + 1$
将$p + q = 5$代入上式计算：
原式$= -5 + 1 = -4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-4}$
【知识点】
1. 代数式求值 2. 整体代入思想 3. 整式变形
【点评】
本题是代数式求值类的典型题型，核心考查整体代入法的应用，解题时无需计算单个未知数的取值，只需将待求式变形为含已知条件的结构，整体代入即可大幅简化计算过程，熟练掌握该方法可有效提升代数式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.75
本题考查整体代入思想求代数式的值，解题思路如下：
(1) 观察待求代数式$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2$，前两项提取公因式$\frac{1}{2}$后，可得到含已知式$x^2-3x$的结构，将$x^2-3x=2$整体代入计算即可，无需单独求解$x$的值。
(2) 先将$x=1$代入代数式$px^3+qx+1$，得到$p$与$q$的和的数值，再将$x=-1$代入待求代数式，把含$p$、$q$的部分变形为含有$p+q$的结构，最后整体代入$p+q$的值计算即可，无需分别求$p$、$q$的具体值。
【解析】
(1) 已知$x^2 - 3x = 2$，对待求式变形可得：
$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 = \frac{1}{2}(x^2 - 3x) - 2$
将$x^2 - 3x = 2$代入上式计算：
原式$=\frac{1}{2}×2 - 2 = 1 - 2 = -1$
(2) 当$x=1$时，代入$px^3 + qx + 1$可得：
$p×1^3 + q×1 + 1 = p + q + 1 = 6$
整理得$p + q = 5$
当$x=-1$时，代入$px^3 + qx + 1$可得：
$p×(-1)^3 + q×(-1) + 1 = -p - q + 1 = -(p + q) + 1$
将$p + q = 5$代入上式计算：
原式$= -5 + 1 = -4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-4}$
【知识点】
1. 代数式求值 2. 整体代入思想 3. 整式变形
【点评】
本题是代数式求值类的典型题型，核心考查整体代入法的应用，解题时无需计算单个未知数的取值，只需将待求式变形为含已知条件的结构，整体代入即可大幅简化计算过程，熟练掌握该方法可有效提升代数式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.75
