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10. (20 分)剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在校园文化艺术节的剪纸展示中,小华在一张长为$a$cm、宽为$b$cm 的长方形纸片上,剪掉一个大圆和两个半径相等的小圆(如图所示).
(1) 列出表示剩余纸片(图中阴影部分)面积的代数式(结果可不化简)；
(2) 当$a = 6$,$b = 4$时,求阴影部分的面积($\pi取3.14$).
(1) 列出表示剩余纸片(图中阴影部分)面积的代数式(结果可不化简)；
(2) 当$a = 6$,$b = 4$时,求阴影部分的面积($\pi取3.14$).
答案
(1)从图中看出:大圆半径为$\frac{b}{2}$cm,小圆半径为$\frac{b}{4}$cm,所以阴影部分面积为长方形面积-大圆面积-2个小圆面积$=ab-\pi(\frac{b}{2})^{2}-\pi(\frac{b}{4})^{2}×2=ab-\frac{\pi b^{2}}{4}-\frac{\pi b^{2}}{8}(cm^{2})$.
(2)因为$a=6$,$b=4$,$\pi$取3.14,所以阴影部分面积$=ab-\frac{\pi b^{2}}{4}-\frac{\pi b^{2}}{8}\approx6×4-\frac{3.14×4^{2}}{4}-\frac{3.14×4^{2}}{8}=5.16(cm^{2})$.
解析
【分析】
本题考查组合图形阴影面积的计算，解题思路如下：
（1）求阴影部分面积可采用“割补法”，用长方形总面积减去空白部分（1个大圆和2个小圆）的面积即可。首先确定各圆的半径：观察图形可知，大圆的直径等于长方形的宽$b$，因此大圆半径为$\frac{b}{2}$；右边两个小圆上下排列，总高度等于长方形的宽$b$，因此每个小圆的直径为$\frac{b}{2}$，半径为$\frac{b}{4}$。再分别计算长方形、大圆、2个小圆的面积，作差即可得到阴影面积的代数式。
（2）第二问属于代数式求值，直接把$a=6$、$b=4$、$π=3.14$代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
（1）各部分面积计算如下：
长方形面积：$ab\ \mathrm{cm}^2$
大圆半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，大圆面积：$π×(\frac{b}{2})^2\ \mathrm{cm}^2$
小圆半径为$\frac{b}{4}\ \mathrm{cm}$，2个小圆的总面积：$2×π×(\frac{b}{4})^2\ \mathrm{cm}^2$
阴影部分面积=长方形面积-大圆面积-2个小圆面积，即：
$ab-π(\frac{b}{2})^2-2π(\frac{b}{4})^2=ab-\frac{π b^2}{4}-\frac{π b^2}{8}\ (\mathrm{cm}^2)$
（2）将$a=6$，$b=4$，$π=3.14$代入上述代数式计算：
$\begin{split}\mathrm{阴影部分面积}&=6×4 - \frac{3.14×4^2}{4} - \frac{3.14×4^2}{8}\\&=24 - 12.56 - 6.28\\&=5.16\ (\mathrm{cm}^2)\end{split}$
【答案】
(1) $ab-\frac{π b^2}{4}-\frac{π b^2}{8}\ \mathrm{cm}^2$（或$ab-π(\frac{b}{2})^2-2π(\frac{b}{4})^2\ \mathrm{cm}^2$）
(2) $5.16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题结合传统剪纸文化出题，贴近生活，核心是掌握阴影面积的割补求解方法，解题的关键是通过图形的边长关系准确求出大圆和小圆的半径，代入数值计算时要注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查组合图形阴影面积的计算，解题思路如下：
（1）求阴影部分面积可采用“割补法”，用长方形总面积减去空白部分（1个大圆和2个小圆）的面积即可。首先确定各圆的半径：观察图形可知，大圆的直径等于长方形的宽$b$，因此大圆半径为$\frac{b}{2}$；右边两个小圆上下排列，总高度等于长方形的宽$b$，因此每个小圆的直径为$\frac{b}{2}$，半径为$\frac{b}{4}$。再分别计算长方形、大圆、2个小圆的面积，作差即可得到阴影面积的代数式。
（2）第二问属于代数式求值，直接把$a=6$、$b=4$、$π=3.14$代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
（1）各部分面积计算如下：
长方形面积：$ab\ \mathrm{cm}^2$
大圆半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，大圆面积：$π×(\frac{b}{2})^2\ \mathrm{cm}^2$
小圆半径为$\frac{b}{4}\ \mathrm{cm}$，2个小圆的总面积：$2×π×(\frac{b}{4})^2\ \mathrm{cm}^2$
阴影部分面积=长方形面积-大圆面积-2个小圆面积，即：
$ab-π(\frac{b}{2})^2-2π(\frac{b}{4})^2=ab-\frac{π b^2}{4}-\frac{π b^2}{8}\ (\mathrm{cm}^2)$
（2）将$a=6$，$b=4$，$π=3.14$代入上述代数式计算：
$\begin{split}\mathrm{阴影部分面积}&=6×4 - \frac{3.14×4^2}{4} - \frac{3.14×4^2}{8}\\&=24 - 12.56 - 6.28\\&=5.16\ (\mathrm{cm}^2)\end{split}$
【答案】
(1) $ab-\frac{π b^2}{4}-\frac{π b^2}{8}\ \mathrm{cm}^2$（或$ab-π(\frac{b}{2})^2-2π(\frac{b}{4})^2\ \mathrm{cm}^2$）
(2) $5.16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题结合传统剪纸文化出题，贴近生活，核心是掌握阴影面积的割补求解方法，解题的关键是通过图形的边长关系准确求出大圆和小圆的半径，代入数值计算时要注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
11. (20 分)在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中,发现在水沸腾前,水的温度$y$(℃)与加热时间$x$(min)之间成一定的关系,下表记录了实验中水的温度$y$(℃)和加热时间$x$(min)变化的部分数据.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline 加热时间$x$/min & $5$ & $10$ & $15$ & $20$ & $25$ \\
\hline 温度$y$/℃ & $25$ & $40$ & $55$ & $70$ & $85$ \\
\hline
\end{tabular}\\
\hline
(1) 用式子表示水在沸腾前,水的温度$y$(℃)与加热时间$x$(min)之间的关系；
(2) 求当加热$18$min 时水的温度.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline 加热时间$x$/min & $5$ & $10$ & $15$ & $20$ & $25$ \\
\hline 温度$y$/℃ & $25$ & $40$ & $55$ & $70$ & $85$ \\
\hline
\end{tabular}\\
\hline
(1) 用式子表示水在沸腾前,水的温度$y$(℃)与加热时间$x$(min)之间的关系；
(2) 求当加热$18$min 时水的温度.
答案
(1)由表格数据知y与x的关系可用式子$y=3x+10$表示.
(2)当$x=18$时,$y=3×18+10=64(^{\circ}C)$,所以加热18 min时水的温度是$64^{\circ}C$.
解析
【分析】
（1）要推导水的温度$y$和加热时间$x$的关系，首先观察表格数据：加热时间每增加$5\mathrm{min}$，水的温度就升高$15℃$，可先算出每分钟水升高的温度；再计算加热时间为$0$时水的初始温度，即可得到$y$与$x$的关系式，最后代入其余表格数据验证关系式是否正确。
（2）求加热$18\mathrm{min}$时的温度，只需把$x=18$代入第（1）问得到的关系式，计算出$y$的值即可。
【解析】
（1）观察表格中的数据：
加热时间从$5\mathrm{min}$增加到$10\mathrm{min}$，时长增加了$10-5=5\mathrm{min}$，温度从$25℃$升高到$40℃$，温度升高了$40-25=15℃$，因此每分钟水升高的温度为$15÷5=3℃$。
计算初始温度（加热时间为$0$时的温度）：当$x=5$时，$y=25℃$，因此初始温度为$25-5×3=10℃$。
水的温度$y$等于初始温度加上$x$分钟升高的温度，因此可得关系式：$y=3x+10$。
验证：将$x=15$代入得$y=3×15+10=55℃$，与表格数据一致；将$x=20$、$x=25$代入也均符合表格数据，关系式成立。
（2）当加热时间$x=18\mathrm{min}$时，将其代入$y=3x+10$得：
$y=3×18+10=64(℃)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=3x+10}$
(2) $\boldsymbol{64℃}$
【知识点】
变量关系探究，代数式求值，规律探索
【点评】
本题结合物理实验场景考查变量关系的实际应用，解题核心是通过表格数据找到温度随时间的变化规律，推导得到两个变量的关系式后代入计算即可，解题时注意验证推导的关系式是否符合所有已知数据，避免出错。
【难度系数】
0.8
（1）要推导水的温度$y$和加热时间$x$的关系，首先观察表格数据：加热时间每增加$5\mathrm{min}$，水的温度就升高$15℃$，可先算出每分钟水升高的温度；再计算加热时间为$0$时水的初始温度，即可得到$y$与$x$的关系式，最后代入其余表格数据验证关系式是否正确。
（2）求加热$18\mathrm{min}$时的温度，只需把$x=18$代入第（1）问得到的关系式，计算出$y$的值即可。
【解析】
（1）观察表格中的数据：
加热时间从$5\mathrm{min}$增加到$10\mathrm{min}$，时长增加了$10-5=5\mathrm{min}$，温度从$25℃$升高到$40℃$，温度升高了$40-25=15℃$，因此每分钟水升高的温度为$15÷5=3℃$。
计算初始温度（加热时间为$0$时的温度）：当$x=5$时，$y=25℃$，因此初始温度为$25-5×3=10℃$。
水的温度$y$等于初始温度加上$x$分钟升高的温度，因此可得关系式：$y=3x+10$。
验证：将$x=15$代入得$y=3×15+10=55℃$，与表格数据一致；将$x=20$、$x=25$代入也均符合表格数据，关系式成立。
（2）当加热时间$x=18\mathrm{min}$时，将其代入$y=3x+10$得：
$y=3×18+10=64(℃)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=3x+10}$
(2) $\boldsymbol{64℃}$
【知识点】
变量关系探究，代数式求值，规律探索
【点评】
本题结合物理实验场景考查变量关系的实际应用，解题核心是通过表格数据找到温度随时间的变化规律，推导得到两个变量的关系式后代入计算即可，解题时注意验证推导的关系式是否符合所有已知数据，避免出错。
【难度系数】
0.8
