例 1 $x$ 取哪些正整数时，不等式 $x + 3＞5$ 与 $2x + 1＜12$ 都成立？
【思路导析】分别求出两个不等式的解集再取公共部分，在公共部分中确定正整数解。
【请你解答】

【例1】$2＜x＜\frac{11}{2}$,故正整数为3,4,5

例 2 求不等式组$\begin{cases}x - 1≥0,\\4 - 2x＜0\end{cases}$的最小整数解。
【思路导析】先分别解两个不等式，再求公共解集中的整数 $x$ 值的最小值。
【请你解答】

【例2】不等式组的解集为$x＞2$.故$x$的最小整数解为3.

例 3 若关于 $x$ 的不等式组$\begin{cases}-(x - a)＜3,\\\dfrac{1 + 2x}{3}≥ x - 1\end{cases}$恰有 $2$ 个整数解，则 $a$ 的取值范围是 ______ 。
【探究点拨】解原不等式组，用含字母 $a$ 的式子表示原不等式组的解集，利用整数解的个数情况确定符合题意的整数解，进而确定 $a$ 的取值范围。
解不等式$-(x - a)＜3$，得 $x＞a - 3$。解不等式$\dfrac{1 + 2x}{3}≥ x - 1$，得 $x≤4$。所以原不等式组的解集为 $a - 3＜x≤4$。因为原不等式组恰有 $2$ 个整数解，所以原不等式组的整数解为 $3$，$4$。通过画数轴(图略)可知，$a - 3$ 在 $2$ 和 $3$ 之间，包括 $2$，但不包括 $3$，所以 $2≤ a - 3＜3$，解得 $5≤ a＜6$。
【规范解答】$5≤ a＜6$

解：
解不等式$-(x - a)＜3$，
去括号得：$-x + a＜3$，
移项、系数化为1得：$x＞a - 3$。
解不等式$\dfrac{1 + 2x}{3}≥ x - 1$，
两边同乘3得：$1 + 2x≥3(x - 1)$，
去括号得：$1 + 2x≥3x - 3$，
移项、合并同类项得：$-x≥-4$，
系数化为1得：$x≤4$。
所以原不等式组的解集为$a - 3＜x≤4$。
因为不等式组恰有2个整数解，所以整数解为3，4，
则$2≤a - 3＜3$，
解得$5≤a＜6$。
最终结论：$5≤a＜6$

例 4 红星商店计划用不超过 $4200$ 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 $60$ 元、$100$ 元的商品共 $50$ 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 $10$ 元、$20$ 元。两种商品均售完，若所获利润大于 $750$ 元，则该店进货方案有多少种？
【规范解答】设该店购进甲种商品 $x$ 件，则购进乙种商品$(50 - x)$件，根据题意，
得$\begin{cases}60x + 100(50 - x)≤4200,\\10x + 20(50 - x)＞750,\end{cases}$
解得 $20≤ x＜25$。
$\because x$ 为整数，
$\therefore x = 20$，$21$，$22$，$23$，$24$。
$\therefore$ 该店的进货方案有 $5$ 种。
若方程组$\begin{cases}x + y = 2k,\\x - y = 1 - k\end{cases}$的解集满足 $x＞-1$ 且 $y＜-1$，求 $k$ 的整数解。

【变式探究】
解方程组,得$\begin{cases} x=\dfrac{k+1}{2}, \\ y=\dfrac{3k-1}{2}. \end{cases}$ $\because x＞-1,y＜-1$,
$\therefore\begin{cases} \dfrac{k+1}{2}＞-1, \\ \dfrac{3k-1}{2}＜-1, \end{cases}$解得$-3＜k＜-\frac{1}{3}$.
故$k$的整数解为$-2,-1$.