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3. 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为$30^{\circ}$，高为$7 \mathrm{~m}$.求扶梯的长度.
答案
解：$\frac 7{sin 30°}=14(\mathrm {m})$
∴扶梯的长度为14米
∴扶梯的长度为14米
解析
【解析】
自动扶梯、地面与商场高度构成直角三角形，已知倾斜角为$30^{\circ}$，对应的对边（高）为$7\mathrm{m}$。根据正弦函数的定义：$\sin30^{\circ}=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}$，其中斜边为扶梯长度，因此扶梯长度$=\frac{7}{\sin30^{\circ}}$。代入$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，计算得$\frac{7}{\frac{1}{2}}=14(\mathrm{m})$。
【答案】
$14\mathrm{m}$
【知识点】
正弦函数的应用；特殊角三角函数值
【点评】
本题考查三角函数在实际生活中的应用，关键是利用直角三角形中正弦函数的定义建立关系，结合特殊角的三角函数值求解，题目基础，需熟练掌握特殊角的三角函数值。
自动扶梯、地面与商场高度构成直角三角形，已知倾斜角为$30^{\circ}$，对应的对边（高）为$7\mathrm{m}$。根据正弦函数的定义：$\sin30^{\circ}=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}$，其中斜边为扶梯长度，因此扶梯长度$=\frac{7}{\sin30^{\circ}}$。代入$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，计算得$\frac{7}{\frac{1}{2}}=14(\mathrm{m})$。
【答案】
$14\mathrm{m}$
【知识点】
正弦函数的应用；特殊角三角函数值
【点评】
本题考查三角函数在实际生活中的应用，关键是利用直角三角形中正弦函数的定义建立关系，结合特殊角的三角函数值求解，题目基础，需熟练掌握特殊角的三角函数值。
4. 如图，小明观察一棵树的顶部时，仰角$∠ C A D=30^{\circ}$.已知他与树之间的距离为$5 \mathrm{~m}$，他的眼睛离地面$1.5 \mathrm{~m}$，这棵树大约有多高（精确到$0.1 \mathrm{~m}$）？
答案
解：DE=AB=1.5m
$CD=AD · tan 30°=5×\frac {\sqrt 3}3≈2.9(\mathrm {m})$
$CE=DE+CD=1.5+2.9=4.4(\mathrm {m})$
答：这棵树大约有4.4米高。
$CD=AD · tan 30°=5×\frac {\sqrt 3}3≈2.9(\mathrm {m})$
$CE=DE+CD=1.5+2.9=4.4(\mathrm {m})$
答：这棵树大约有4.4米高。
解析
【解析】
由题意可知四边形ABED是矩形，因此$DE = AB = 1.5\mathrm{m}$，$AD = 5\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD = 30^{\circ}$，根据正切函数的定义$\tan∠ CAD = \frac{CD}{AD}$，可得：
$CD = AD · \tan30^{\circ} = 5×\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 2.9\mathrm{m}$
树的高度$CE = DE + CD = 1.5 + 2.9 = 4.4\mathrm{m}$。
【答案】
这棵树大约有$\boldsymbol{4.4}$米高。
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角问题，矩形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合矩形性质与解直角三角形解决实际仰角问题，关键是通过构造直角三角形求出树高出观测点的部分，再结合观测点高度得到树的总高度，计算时需注意特殊角三角函数值的准确运用与近似取值的精度。
由题意可知四边形ABED是矩形，因此$DE = AB = 1.5\mathrm{m}$，$AD = 5\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD = 30^{\circ}$，根据正切函数的定义$\tan∠ CAD = \frac{CD}{AD}$，可得：
$CD = AD · \tan30^{\circ} = 5×\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 2.9\mathrm{m}$
树的高度$CE = DE + CD = 1.5 + 2.9 = 4.4\mathrm{m}$。
【答案】
这棵树大约有$\boldsymbol{4.4}$米高。
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角问题，矩形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合矩形性质与解直角三角形解决实际仰角问题，关键是通过构造直角三角形求出树高出观测点的部分，再结合观测点高度得到树的总高度，计算时需注意特殊角三角函数值的准确运用与近似取值的精度。
1. 根据下列条件，求锐角$θ$的大小.
(1)$\tanθ=\sqrt{3}$； (2)$\sinθ=0.5$； (3)$\cosθ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
(1)$\tanθ=\sqrt{3}$； (2)$\sinθ=0.5$； (3)$\cosθ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
答案
解：(1)θ=60°；(2)θ=30°；(3)θ=45°
解析
【解析】
根据特殊角的三角函数值，结合θ为锐角求解：
(1) 因为$\tan60°=\sqrt{3}$，且θ是锐角，所以$θ=60°$；
(2) 因为$\sin30°=0.5$，且θ是锐角，所以$θ=30°$；
(3) 因为$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且θ是锐角，所以$θ=45°$。
【答案】
(1)$θ=60°$；(2)$θ=30°$；(3)$θ=45°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查特殊角的三角函数值的应用，需牢记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，准确建立函数值与锐角的对应关系。
根据特殊角的三角函数值，结合θ为锐角求解：
(1) 因为$\tan60°=\sqrt{3}$，且θ是锐角，所以$θ=60°$；
(2) 因为$\sin30°=0.5$，且θ是锐角，所以$θ=30°$；
(3) 因为$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且θ是锐角，所以$θ=45°$。
【答案】
(1)$θ=60°$；(2)$θ=30°$；(3)$θ=45°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查特殊角的三角函数值的应用，需牢记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，准确建立函数值与锐角的对应关系。
2. 根据下列条件，求锐角$θ$的大小(精确到$0.1^{\circ}$).
(1)$\tanθ=2.9888$；(2)$\sinθ=0.3957$；(3)$\cosθ=0.7850$.
(1)$\tanθ=2.9888$；(2)$\sinθ=0.3957$；(3)$\cosθ=0.7850$.
答案
解：(1)θ≈71.5°；(2)θ≈23.3°；(3)θ≈38.3°
解析
【解析】
使用计算器计算对应的反三角函数值，步骤如下：
(1) 已知$\tanθ=2.9888$，则$θ=\arctan2.9888$，通过计算器计算得$θ≈71.5^{\circ}$；
(2) 已知$\sinθ=0.3957$，则$θ=\arcsin0.3957$，通过计算器计算得$θ≈23.3^{\circ}$；
(3) 已知$\cosθ=0.7850$，则$θ=\arccos0.7850$，通过计算器计算得$θ≈38.3^{\circ}$。
【答案】
(1)$θ≈71.5^{\circ}$；(2)$θ≈23.3^{\circ}$；(3)$θ≈38.3^{\circ}$
【知识点】
反三角函数应用、计算器求锐角、三角函数逆运算
【点评】
本题考查根据三角函数值求锐角的方法，需熟练掌握计算器的操作，注意结果精确到$0.1^{\circ}$，是对三角函数逆运算的基础考查。
使用计算器计算对应的反三角函数值，步骤如下：
(1) 已知$\tanθ=2.9888$，则$θ=\arctan2.9888$，通过计算器计算得$θ≈71.5^{\circ}$；
(2) 已知$\sinθ=0.3957$，则$θ=\arcsin0.3957$，通过计算器计算得$θ≈23.3^{\circ}$；
(3) 已知$\cosθ=0.7850$，则$θ=\arccos0.7850$，通过计算器计算得$θ≈38.3^{\circ}$。
【答案】
(1)$θ≈71.5^{\circ}$；(2)$θ≈23.3^{\circ}$；(3)$θ≈38.3^{\circ}$
【知识点】
反三角函数应用、计算器求锐角、三角函数逆运算
【点评】
本题考查根据三角函数值求锐角的方法，需熟练掌握计算器的操作，注意结果精确到$0.1^{\circ}$，是对三角函数逆运算的基础考查。
