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4. 在 $ △ ABC $ 中， $ AB = 5 $， $ BC = 13 $， $ AD $ 是边 $ BC $ 上的高， $ AD = 4 $。求 $ CD $、 $ \sin C $。
答案
解：如图所示
①在$Rt\triangle ABD$中，由勾股定理，得：
$BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=3$
∴CD=BC-BD=10
在$Rt\triangle ADC$中，$AC=\sqrt {CD^2+AD^2}=2\sqrt {29}$
∴$\sin C=\frac {AD}{AC}=\frac {4}{2\sqrt {29}}=\frac {2\sqrt {29}}{29}$
$ ②BD=\sqrt {AB²-AD²}=\sqrt {5²-4²}=3$
CD=BC+BD=13+3=16
$ AC=\sqrt {AD²+CD²}=\sqrt {4²+16²}=4\sqrt {17}$
∴$sinC=\frac {AD}{AC}=\frac {\sqrt {17}}{17}$
解析
【解析】
本题需分两种情况讨论，即高$AD$在$△ ABC$内部和外部：
① 当$AD$在$△ ABC$内部时：
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
则$CD=BC-BD=13-3=10$
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{10^2+4^2}=2\sqrt{29}$
根据锐角三角函数定义，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$
② 当$AD$在$△ ABC$外部时：
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
则$CD=BC+BD=13+3=16$
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{16^2+4^2}=4\sqrt{17}$
根据锐角三角函数定义，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{4\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$
【答案】
当$AD$在$△ ABC$内部时，$CD=10$，$\sin C=\frac{2\sqrt{29}}{29}$；当$AD$在$△ ABC$外部时，$CD=16$，$\sin C=\frac{\sqrt{17}}{17}$
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义、分类讨论思想
【点评】
本题需注意三角形的高可能在三角形内部或外部，要通过分类讨论求解，避免漏解。
本题需分两种情况讨论，即高$AD$在$△ ABC$内部和外部：
① 当$AD$在$△ ABC$内部时：
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
则$CD=BC-BD=13-3=10$
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{10^2+4^2}=2\sqrt{29}$
根据锐角三角函数定义，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$
② 当$AD$在$△ ABC$外部时：
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
则$CD=BC+BD=13+3=16$
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{16^2+4^2}=4\sqrt{17}$
根据锐角三角函数定义，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{4\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$
【答案】
当$AD$在$△ ABC$内部时，$CD=10$，$\sin C=\frac{2\sqrt{29}}{29}$；当$AD$在$△ ABC$外部时，$CD=16$，$\sin C=\frac{\sqrt{17}}{17}$
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义、分类讨论思想
【点评】
本题需注意三角形的高可能在三角形内部或外部，要通过分类讨论求解，避免漏解。
5. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中， $ ∠ BCA = 90^{\circ} $， $ CD $ 是中线， $ BC = 8 $， $ CD = 5 $。求 $ \sin ∠ ACD $、 $ \cos ∠ ACD $ 和 $ \tan ∠ ACD $。
答案
解：如图所示
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线
∴CD=AD=BD=5，AB=10，$AC=\sqrt {10^2-8^2}=6$
∴∠ACD=∠A
∴$sin∠ACD=sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {4}{5}$；$cos∠ACD=cosA=\frac {AC}{AB}=\frac {3}{5}$
$tan∠ACD=tanA=\frac {BC}{AC}=\frac {4}{3}$
解析
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠BCA=90^{\circ}$，CD是中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=AD=BD=5$，因此$AB=2CD=10$。
由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
因为$CD=AD$，所以$∠ACD=∠A$。
则：
$\sin∠ACD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$；
$\cos∠ACD=\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
$\tan∠ACD=\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\sin∠ACD=\frac{4}{5}$，$\cos∠ACD=\frac{3}{5}$，$\tan∠ACD=\frac{4}{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、勾股定理、锐角三角函数
【点评】
本题通过直角三角形斜边中线的性质将所求角转化为已知边对应的角，结合勾股定理求出未知边，再利用锐角三角函数的定义求解，关键是发现$∠ACD=∠A$，实现角的转化。
在$Rt△ABC$中，$∠BCA=90^{\circ}$，CD是中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=AD=BD=5$，因此$AB=2CD=10$。
由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
因为$CD=AD$，所以$∠ACD=∠A$。
则：
$\sin∠ACD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$；
$\cos∠ACD=\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
$\tan∠ACD=\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\sin∠ACD=\frac{4}{5}$，$\cos∠ACD=\frac{3}{5}$，$\tan∠ACD=\frac{4}{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、勾股定理、锐角三角函数
【点评】
本题通过直角三角形斜边中线的性质将所求角转化为已知边对应的角，结合勾股定理求出未知边，再利用锐角三角函数的定义求解，关键是发现$∠ACD=∠A$，实现角的转化。
1. 计算：
（1）$\sin 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}$； （2）$\sin ^{2} 60^{\circ}+\cos ^{2} 60^{\circ}+\tan 45^{\circ}$；
（3）$\tan 45^{\circ}-\sin 30^{\circ}$； （4）$\cos 60^{\circ}+\sin 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}$.
（1）$\sin 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}$； （2）$\sin ^{2} 60^{\circ}+\cos ^{2} 60^{\circ}+\tan 45^{\circ}$；
（3）$\tan 45^{\circ}-\sin 30^{\circ}$； （4）$\cos 60^{\circ}+\sin 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}$.
答案
$=\frac 12+\frac {\sqrt 2}2$
$=\frac {1+\sqrt 2}2$
$=(\frac {\sqrt 3}2)^2+(\frac 12)^2+1$
$=\frac 34+\frac 14+1$
=2
$=1-\frac 12$
$=\frac 12$
$=\frac 12+\frac {\sqrt 2}2-\frac {\sqrt 3}3$
$=\frac {1+\sqrt 2}2$
$=(\frac {\sqrt 3}2)^2+(\frac 12)^2+1$
$=\frac 34+\frac 14+1$
=2
$=1-\frac 12$
$=\frac 12$
$=\frac 12+\frac {\sqrt 2}2-\frac {\sqrt 3}3$
解析
【解析】
（1）代入特殊角的三角函数值计算：
$\sin 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
（2）代入特殊角的三角函数值计算：
$\sin ^{2} 60^{\circ}+\cos ^{2} 60^{\circ}+\tan 45^{\circ}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2+1=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+1=2$；
（3）代入特殊角的三角函数值计算：
$\tan 45^{\circ}-\sin 30^{\circ}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
（4）代入特殊角的三角函数值计算：
$\cos 60^{\circ}+\sin 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
（1）$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
（2）$2$；
（3）$\frac{1}{2}$；
（4）$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值；
2. 三角函数混合运算；
3. 同角三角函数平方关系。
【点评】
本题考查特殊角三角函数值的应用，需牢记30°、45°、60°的三角函数值，遵循实数混合运算顺序，注意根式的规范书写。
（1）代入特殊角的三角函数值计算：
$\sin 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
（2）代入特殊角的三角函数值计算：
$\sin ^{2} 60^{\circ}+\cos ^{2} 60^{\circ}+\tan 45^{\circ}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2+1=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+1=2$；
（3）代入特殊角的三角函数值计算：
$\tan 45^{\circ}-\sin 30^{\circ}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
（4）代入特殊角的三角函数值计算：
$\cos 60^{\circ}+\sin 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
（1）$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
（2）$2$；
（3）$\frac{1}{2}$；
（4）$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值；
2. 三角函数混合运算；
3. 同角三角函数平方关系。
【点评】
本题考查特殊角三角函数值的应用，需牢记30°、45°、60°的三角函数值，遵循实数混合运算顺序，注意根式的规范书写。
2. 求下列各式中的锐角$α$.
（1）$\tan α=\sqrt{3}$；（2）$2 \sin α=1$；（3）$2 \cos α-\sqrt{2}=0$.
（1）$\tan α=\sqrt{3}$；（2）$2 \sin α=1$；（3）$2 \cos α-\sqrt{2}=0$.
答案
解：(1)∵$\mathrm {tan}α=\sqrt 3$，∴α=60°
$(2)\mathrm {sin}α=\frac 12$，α=30°
$(3)\mathrm {cos}α=\frac {\sqrt 2}2$，α=45°
$(2)\mathrm {sin}α=\frac 12$，α=30°
$(3)\mathrm {cos}α=\frac {\sqrt 2}2$，α=45°
解析
【解析】
（1）
∵$\tan α=\sqrt{3}$，且α为锐角，根据特殊角的三角函数值，可得$α=60°$；
（2）对$2 \sin α=1$移项化简，得$\sin α=\frac{1}{2}$，结合α是锐角，根据特殊角的三角函数值，可得$α=30°$；
（3）对$2 \cos α-\sqrt{2}=0$移项化简，得$\cos α=\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合α是锐角，根据特殊角的三角函数值，可得$α=45°$。
【答案】
（1）$α=60°$；（2）$α=30°$；（3）$α=45°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题主要考查特殊角的三角函数值的应用，需牢记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，熟练掌握根据三角函数值求对应锐角的方法。
（1）
∵$\tan α=\sqrt{3}$，且α为锐角，根据特殊角的三角函数值，可得$α=60°$；
（2）对$2 \sin α=1$移项化简，得$\sin α=\frac{1}{2}$，结合α是锐角，根据特殊角的三角函数值，可得$α=30°$；
（3）对$2 \cos α-\sqrt{2}=0$移项化简，得$\cos α=\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合α是锐角，根据特殊角的三角函数值，可得$α=45°$。
【答案】
（1）$α=60°$；（2）$α=30°$；（3）$α=45°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题主要考查特殊角的三角函数值的应用，需牢记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，熟练掌握根据三角函数值求对应锐角的方法。
