1. 计算 $ m(a + b + c) $.

$m(a + b + c)$
$=ma+mb+mc$

【分析】
这是一道单项式乘多项式的基础运算题，解题思路是运用乘法分配律：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。首先明确运算对象是单项式$m$和多项式$(a+b+c)$，接下来只需将$m$分别与多项式中的每一项$a$、$b$、$c$相乘，最后把得到的三个积相加即可得到结果。
【解析】
$m(a + b + c)$
$=m· a + m· b + m· c$
$=ma+mb+mc$
【答案】
$ma+mb+mc$
【知识点】
单项式乘多项式、乘法分配律
【点评】
本题考查整式乘法中的基础运算，核心是对乘法分配律的应用，是后续学习整式化简、因式分解及方程求解等内容的基础，题目难度较低，旨在帮助学生熟练掌握单项式与多项式的乘法法则。
【难度系数】
0.9

2. 计算 $ (m + n)(a + b + c) $.

$(m + n)(a + b + c)$
$= m(a + b + c) + n(a + b + c)$
$= ma + mb + mc + na + nb + nc$

【分析】
这是一道多项式乘多项式的计算题，解题核心是运用乘法分配律逐步展开。首先把$(m + n)$看作一个整体，根据乘法分配律，将$m$和$n$分别与$(a + b + c)$相乘，得到两个单项式乘多项式的式子；接着对这两个式子再次运用乘法分配律，将$m$、$n$分别与$a$、$b$、$c$逐一相乘，最后写出所有展开项即可，注意不要漏乘任何一项。
【解析】
$\begin{aligned}&(m + n)(a + b + c)\\=& m(a + b + c) + n(a + b + c) \quad \mathrm{（运用乘法分配律，将}(m+n)\mathrm{的每一项与}(a+b+c)\mathrm{相乘）}\\=& ma + mb + mc + na + nb + nc \quad \mathrm{（再次运用乘法分配律，展开单项式乘多项式）}\end{aligned}$
【答案】
$ma + mb + mc + na + nb + nc$
【知识点】
多项式乘多项式，乘法分配律
【点评】
本题是多项式乘法的基础题型，重点考查乘法分配律的多次应用。解题时需按顺序展开，确保每个因式中的每一项都与另一个因式的每一项相乘，避免漏项，这类题目是后续复杂多项式运算的基础。
【难度系数】
0.9

例 若 $ (x^{2} + mx + n)(2x - 1) $ 的乘积中不含 $ x^{2} $ 和 $ x $ 项，求 $ m $，$ n $ 的值.
分析 多项式中不含 $ x^{2} $ 和 $ x $ 项，即指 $ x^{2} $ 项和 $ x $ 项的系数都为 0.

$(x^{2} + mx + n)(2x - 1)$
$=x^{2}·2x + x^{2}·(-1) + mx·2x + mx·(-1) + n·2x + n·(-1)$
$=2x^{3} - x^{2} + 2mx^{2} - mx + 2nx - n$
$=2x^{3} + (-1 + 2m)x^{2} + (-m + 2n)x - n$
因为乘积中不含$x^{2}$和$x$项，所以$x^{2}$项和$x$项的系数为0。
$\begin{cases}-1 + 2m = 0 \\ -m + 2n = 0\end{cases}$
由$-1 + 2m = 0$，得$m = \frac{1}{2}$。
将$m = \frac{1}{2}$代入$-m + 2n = 0$，得$-\frac{1}{2} + 2n = 0$，解得$n = \frac{1}{4}$。
$m = \frac{1}{2}$，$n = \frac{1}{4}$

【分析】
要解决这个问题，首先要明确“乘积中不含$x^2$和$x$项”意味着这两项的系数为0。解题思路如下：第一步，运用多项式乘多项式的法则将原式展开；第二步，合并同类项，把式子整理为标准多项式形式；第三步，找出$x^2$和$x$项的系数，令它们分别等于0，得到关于$m$、$n$的二元一次方程组；第四步，解这个方程组，即可求出$m$和$n$的值。
【解析】
$\begin{aligned}&(x^{2} + mx + n)(2x - 1)\\=&x^{2}·2x + x^{2}·(-1) + mx·2x + mx·(-1) + n·2x + n·(-1)\\=&2x^{3} - x^{2} + 2mx^{2} - mx + 2nx - n\\=&2x^{3} + (-1 + 2m)x^{2} + (-m + 2n)x - n\end{aligned}$
因为乘积中不含$x^{2}$和$x$项，所以$x^{2}$项和$x$项的系数为0，可得方程组：
$\begin{cases}-1 + 2m = 0 \\-m + 2n = 0\end{cases}$
由$-1 + 2m = 0$，解得$m = \frac{1}{2}$。
将$m = \frac{1}{2}$代入$-m + 2n = 0$，得$-\frac{1}{2} + 2n = 0$，解得$n = \frac{1}{4}$。
【答案】
$m = \frac{1}{2}$，$n = \frac{1}{4}$
【知识点】
多项式乘多项式、解二元一次方程组
【点评】
本题核心是理解“多项式中不含某一项”即该项的系数为0，需熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，通过展开、合并同类项得到各项系数，再列方程组求解参数，是整式运算的基础典型题型，有助于加深对整式运算本质的理解。
【难度系数】
0.7

1. 填空题：
(1) $ (a + b)(c + d) = $；
(2) $ (a + 2)(a + 3) = a^{2} + 3a + \_\_\_\_\_\_ a + \_\_\_\_\_\_ = $；
(3) $ (x + 4)(x + \_\_\_\_\_\_) = x^{2} + 5x + $.

(1) $ac+ad+bc+bd$；
(2) $2$，$6$，$a^{2}+5a + 6$；
(3) $1$，$4$

(1) 根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$；
(2) $(a + 2)(a + 3)$，用$a$乘$a$得$a^2$，$a$乘$3$得$3a$，$2$乘$a$得$2a$，$2$乘$3$得$6$，所以中间两项为$3a + 2a$，合并同类项后结果为$a^2 + 5a + 6$；
(3) 设所填数为$m$，则$(x + 4)(x + m)=x^2 + mx + 4x + 4m=x^2+(m + 4)x + 4m$，已知结果中一次项系数为$5$，所以$m + 4 = 5$，解得$m = 1$，常数项为$4m = 4×1 = 4$。

2. 下列计算是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并改正.
(1) $ (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 2 $；
(2) $ (x + 1)(y + 1) = xy + x + y $；
(3) $ (a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2} $.

(1) ×；(2) ×；(3) √。

(1) 利用多项式乘多项式法则：$(x + 1)(x + 2) = x · x + x · 2 + 1 · x + 1 · 2 = x^{2} + 3x + 2$，原式 $x^{2} + 2$ 错误。
(2) 利用多项式乘多项式法则：$(x + 1)(y + 1) = x · y + x · 1 + 1 · y + 1 · 1 = xy + x + y + 1$，原式 $xy + x + y$ 错误。
(3) 利用平方差公式：$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$，原式正确。

3. 计算：
(1) $ (2a - b)(a + 3b) $；
(2) $ (x^{2} + 7)(x^{2} - 9) $；
(3) $ (xy + 1)(xy + 1) $；
(4) $ (-2a + 1)(-2a - 1) $.

(1)
$\begin{aligned}(2a - b)(a + 3b)&=2a · a + 2a · 3b - b · a - b · 3b\\&=2a^{2} + 6ab - ab - 3b^{2}\\&=2a^{2} + 5ab - 3b^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x^{2} + 7)(x^{2} - 9)&=x^{2} · x^{2} + x^{2} · (-9) + 7 · x^{2} + 7 · (-9)\\&=x^{4} - 9x^{2} + 7x^{2} - 63\\&=x^{4} - 2x^{2} - 63\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(xy + 1)(xy + 1)&=(xy)^{2} + xy · 1 + 1 · xy + 1 · 1\\&=x^{2}y^{2} + xy + xy + 1\\&=x^{2}y^{2} + 2xy + 1\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(-2a + 1)(-2a - 1)&=(-2a)^{2} + (-2a) · (-1) + 1 · (-2a) + 1 · (-1)\\&=4a^{2} + 2a - 2a - 1\\&=4a^{2} - 1\end{aligned}$

【分析】
这四道题均为多项式与多项式的乘法运算，解题核心是运用多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项完成化简。其中第(4)题还可观察到符合平方差公式形式，能简化计算；第(3)题是两个相同因式相乘，也可借助完全平方公式计算。具体思考步骤如下：
1. 对于(1)，将$2a$和$-b$分别与$a+3b$的每一项相乘，再合并同类项；
2. 对于(2)，把$x^2$和7分别与$x^2-9$的每一项相乘，之后合并同类项；
3. 对于(3)，把$xy$和1分别与另一个因式的每一项相乘，再合并同类项；
4. 对于(4)，既可以用多项式乘多项式法则展开计算，也可利用平方差公式快速得出结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(2a - b)(a + 3b)&=2a · a + 2a · 3b - b · a - b · 3b\\&=2a^{2} + 6ab - ab - 3b^{2}\\&=2a^{2} + 5ab - 3b^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x^{2} + 7)(x^{2} - 9)&=x^{2} · x^{2} + x^{2} · (-9) + 7 · x^{2} + 7 · (-9)\\&=x^{4} - 9x^{2} + 7x^{2} - 63\\&=x^{4} - 2x^{2} - 63\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(xy + 1)(xy + 1)&=(xy)^{2} + xy · 1 + 1 · xy + 1 · 1\\&=x^{2}y^{2} + xy + xy + 1\\&=x^{2}y^{2} + 2xy + 1\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(-2a + 1)(-2a - 1)&=(-2a)^{2} + (-2a) · (-1) + 1 · (-2a) + 1 · (-1)\\&=4a^{2} + 2a - 2a - 1\\&=4a^{2} - 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2a^{2} + 5ab - 3b^{2}}$；
(2) $\boldsymbol{x^{4} - 2x^{2} - 63}$；
(3) $\boldsymbol{x^{2}y^{2} + 2xy + 1}$；
(4) $\boldsymbol{4a^{2} - 1}$
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题重点考查多项式与多项式的乘法运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题基础，同时要留意式子的结构特征，合理运用平方差公式、完全平方公式可简化计算过程，计算时需注意符号处理和同类项的准确合并。
【难度系数】
0.7